Curva kappa

In geometria la curva kappa o curva di Gutschoven è una curva algebrica bidimensionale che assomiglia alla lettera dell'alfabeto greco κ (kappa). I due rami della curva hanno nell'origine un punto di contatto detto tacnodo.

Mediante le coordinate cartesiane essa può essere individuata dall'equazione:

${\displaystyle x^{4}+x^{2}y^{2}=a^{2}y^{2}}$

oppure dalle equazioni parametriche:

${\displaystyle {\begin{cases}x=a\cos t\\y=a\cos t\cot t\end{cases}}}$

In coordinate polari essa è data da una funzione molto semplice:

${\displaystyle r=a\tan \theta }$

Essa presenta due asintoti verticali dati dalle equazioni ${\displaystyle x=\pm a}$ (nel grafico sono segnati come linee a trattini blu).

La curvatura della curva kappa è:

${\displaystyle \kappa (\theta )={\frac {8\left(3-\sin ^{2}\theta \right)\sin ^{4}\theta }{a\left[\sin ^{2}(2\theta )+4\right]^{3/2}}}}$

L'angolo della sua tangente nel suo punto individuato come funzione della coordinata angolare θ è espresso da:

${\displaystyle \phi (\theta )=-\arctan \left[{\frac {1}{2}}\sin(2\theta )\right]}$

Delle quartiche razionali, categoria alla quale appartiene appunto la curva kappa, fanno parte le cosiddette "quartiche piriformi", secondo la definizione del matematico francese Guy de Longchamps a fine Ottocento.

Nel carteggio tra de Sluse e Huygens viene citata una curva proposta da Gerard von Gutschoven (primo a studiarla nel 1662 circa e da questi prese il nome). Tra gli altri matematici famosi che si sono occupati di essa vi sono Isaac Newton e Johann Bernoulli. Le sue tangenti sono state calcolate per la prima volta da Isaac Barrow nel XVII secolo.

• Curva kappa in MacTutor
• Una applet Java per giocare con la curva, su www-groups.dcs.st-and.ac.uk. URL consultato il 27 aprile 2006 (archiviato dall'url originale il 23 ottobre 2019).

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