Infimum dan supremum

 

Batas bawah himpunan bagian ${\displaystyle S}$  dari himpunan terurut parsial ${\displaystyle (P,\leq )}$  merupakan suatu anggota ${\displaystyle a}$  dari ${\displaystyle P}$  sehingga ${\displaystyle a\leq x}$  untuk semua ${\displaystyle x}$  dalam ${\displaystyle S}$ . Batas bawah ${\displaystyle a}$  dari ${\displaystyle S}$  disebut infimum ${\displaystyle S}$  jika untuk semua batas bawah ${\displaystyle y}$  dari ${\displaystyle S}$  di ${\displaystyle P}$ , maka ${\displaystyle y\leq a}$ , dalam artian bahwa ${\displaystyle a}$  lebih besar dari atau sama dengan setiap batas bawah lainnya.

Dengan definisi yang serupa, batas atas himpunan bagian ${\displaystyle S}$  dari himpunan terurut parsial ${\displaystyle (P,\leq )}$  merupakan suatu anggota ${\displaystyle b}$  dari ${\displaystyle P}$  sehingga ${\displaystyle b\geq x}$ , untuk semua ${\displaystyle x}$  dalam ${\displaystyle S}$ . Batas atas ${\displaystyle b}$  dari ${\displaystyle S}$  disebut supremum dari ${\displaystyle S}$  jika untuk semua batas atas ${\displaystyle z}$  pada ${\displaystyle S}$  dalam ${\displaystyle P}$ , maka ${\displaystyle z\geq b}$ , dalam artian bahwa ${\displaystyle b}$  lebih kecil daripada atau sama dengan setiap batas atas lainnya.

Infimum dan supremum tidak sepenuhnya harus ada. Keberadaan infimum dari himpunan terurut parsial ${\displaystyle S}$  dari ${\displaystyle P}$  dapat gagal jika ${\displaystyle S}$  tidak memiliki batas bawah sama sekali, atau jika himpunan batas bawah tidak berisi suatu anggota terbesar. Namun, jika infimum atau supremum ada, maka batasnya dikatakan tunggal.

Keberadaan infimum dalam himpunan terurut parsial menjadi sangat menarik. Sebagai contoh, kekisi adalah suatu himpunan terurut parsial dengan semua himpunan bagian tak kosong terhingga di dalamnya memiliki supremum dan infimum, serta kekisi sempurna adalah suatu himpunan terurut parsial dengan semua himpunan bagian di dalamnya memiliki supremum dan infimum.

Jika supremum himpunan bagian ${\displaystyle S}$  ada, batasnya dikatakan tunggal, Jika ${\displaystyle S}$  berisi suatu anggota terbesar, maka anggota itu supremum, dan jika tidak, maka supremum bukan milik ${\displaystyle S}$  (alias tidak ada). Begitupula untuk infimum: Jika infimum ada, batasnya dikatakan tunggal. Jika ${\displaystyle S}$  berisi suatu anggota terkecil, maka anggota itu adalah infimum, dan jika tidak, infimum bukan miliki ${\displaystyle S}$  (alias tidak ada).

Infimum himpunan bagian ${\displaystyle S}$  dari himpunan terurut parsial ${\displaystyle P}$ , asumsi kalau ada, tidak perlu milik ${\displaystyle S}$ . Jika hal tersebut benar, maka dapat dikatakan mempunyai anggota terkecil ${\displaystyle S}$ . Demikian pula, jika supremum ${\displaystyle S}$  milik ${\displaystyle S}$ , maka batasnya adalah anggota terbesar ${\displaystyle S}$ .

Sebagai contoh, misalkan ada himpunan bilangan real negatif (tak nol). Himpunan ini tidak memiliki anggota terbesar, karena untuk setiap anggota himpunan, masih ada anggota lain yang lebih besar. Katakanlah, untuk setiap bilangan real negatif ${\displaystyle x}$ , masih ada bilangan real negatif ${\textstyle {\frac {x}{2}}}$  yang lebih besar. Di samping itu, setiap bilangan real lebih besar atau sama dengan nol pasti merupakan suatu batas atas himpunan tersebut. Karenanya, 0 adalah batas atas terkecil dari bilangan real negatif, jadi supremumnya adalah 0. Himpunan ini memiliki suatu supremum tetapi bukan anggota terbesar.

Namun, definisi anggota maksimum dan minimum adalah definisi yang lebih umum. Secara khusus, suatu himpunan dapat memiliki banyak anggota maksimum dan miniuml, sedangkan infimum dan supremum adalah tunggal. Anggota maksimum dan minimum harus merupakan anggota dari himpunan bagian yang diketahui, sedangkan infimum dan supremum himpunan bagian tidak perlu anggota dari himpunan bagian itu sendiri.

Suatu himpunan terurut parsial dapat memiliki banyak batas atas minimum tanpa memiliki sebuah batas atas terkecil. Batas atas minimum adalah batas atas yang tidak ada anggota terkecil yang merupakan sebuah batas atas. Ini bukan berarti bahwa setiap batas atas minimum lebih kecil daripada semua batas atas lainnya, melainkan hanya tidak lebih besar. Perbedaan antara "minimal" dan "paling kecil" hanya mungkin ketika urutan yang diberikan bukanlah terurut total. Dalam himpunan terurut total, seperti bilangan real, konsepnya sama.

Sebagai contoh, misalkan ${\displaystyle S}$  adalah himpunan dari semua himpunan bagian bilangan asli terhingga, dan misalkan himpunan terurut parsial diperoleh dengan mengambil semua himpunan-himpunan dari ${\displaystyle S}$  bersama dengan himpunan bilangan bulat ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  dan himpunan bilangan real positif ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ , yang diurutkan dari inklusi himpunan bagian seperti yang dijelaskan sebelumnya. Maka jelaslah ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  dan ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$  lebih besar daripada semua himpunan bilangan asli terhingga. Akan tetapi, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ lebih kecil dari ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  maupun sebaliknya tidak berlaku benar, sebab kedua himpunan tersebut merupakan batas atas minimum, tetapi tak ada satupun di antaranya yang merupakan supremum.

Sifat batas atas terkecil adalah sebuah contoh sifat kelengkapan yang dijelaskan sebelumnya, yang khususnya untuk himpunan bilangan real. Sifat ini terkadang disebut kelengkapan Dedekind.

Jika suatu himpunan terurut ${\displaystyle S}$  memiliki sifat bahwa setiap himpunan bagian tak kosong ${\displaystyle S}$  memiliki suatu batas atas yang juga memiliki suatu batas atas terkecil, maka ${\displaystyle S}$  dikatakan memiliki sifat batas atas terkecil. Seperti yang disebutkan di atas, himpunan ${\displaystyle \mathbb {R} }$  dari semua bilangan real memiliki sifat batas atas terkecil. Demikian pula, himpunan ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  dari bilangan bulat memiliki sifat batas atas terkecilil, jika ${\displaystyle S}$  adalah suatu himpunan bagian tak kosong dari ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  dan ada suatu bilangan ${\displaystyle n}$  sehingga setiap anggota ${\displaystyle s}$  dari ${\displaystyle S}$  lebih kecil dari atau sama dengan ${\displaystyle n}$ , maka terdapat suatu batas atas terkecil ${\displaystyle u}$  untuk ${\displaystyle S}$ , sebuah bilangan bulat yang merupakan batas atas untuk ${\displaystyle S}$  dan yang lebih kecil dari atau sama dengan setiap batas atas lainnya untuk ${\displaystyle S}$ . Himpunan terurut rapi juga memiliki sifat batas atas terkecil, dan himpunan bagian tak kosong juga memiliki suatu batas atas terkecil, yaitu anggota terkecil dari seluruh himpunan.

Ada sebuah contoh untuk himpunan yang memiliki sedikit sifat batas atas terkecil, yaitu ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ , himpunan bilangan rasional. Misalkan ${\displaystyle S}$  adalah himpunan dari semua bilangan rasional ${\displaystyle q}$ , sehingga ${\displaystyle q^{2}<2}$ . Maka ${\displaystyle S}$  memiliki sebuah batas atas (1000, sebagai contoh, atau 6) tetapi tidak ada batas atas di ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ . Jika memisalkan ${\displaystyle p\in \mathbb {Q} }$  adalah batas atas terkecil, maka dapat disimpulkan adanya kontradiksi, karena antara setiap dua bilangan real ${\displaystyle x}$  dan ${\displaystyle y}$  (seperti ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$  dan ${\displaystyle p}$ ), terdapat suatu bilangan rasional ${\displaystyle p'}$ , yang sendirinya akan menjadi batas atas terkecil (jika ${\displaystyle p>{\sqrt {2}}}$ ). Contoh lainnya adalah bilangan hiperreal sebab tidak punya batas atas terkecil dari himpunan infinitesimal positif.

Terdapat sebuah sifat batas bawah terbesar yang sama, suatu himpunan terurut memiliki sifat batas bawah terbesar jika dan hanya jila himpunan tersebut juga memiliki sifat batas atas terkecil; batas atas terkecil dari himpunan batas bawah dari himpunan adalah batas bawah terbesar, dan batas bawah terbesar dari himpunan batas atas dari sebuah himpunan adalah batas atas terkecil dari himpunan.

Jika setiap himpunan bagian berbatas memiliki sebuah supremum di himpunan terurut parsial ${\displaystyle P}$ , maka ini juga berlaku bahwa untuk setiap himpunan ${\displaystyle X}$ , akan ada semua fungsi yang dipetakan dari ${\displaystyle X}$  ke ${\displaystyle P}$  dalam ruang fungsi, dengan ${\displaystyle f\leq g}$  jika dan hanya jika ${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$  untuk semua ${\displaystyle x}$  dalam ${\displaystyle X}$ . Sebagai contoh, pernyataan tersebut berlaku untuk fungsi real, bilangan real ${\displaystyle n}$ -tupel dan barisan bilangan real, sebab dapat dianggap kasus fungsi khusus.

Sifat batas atas terkecil adalah indikator dari supremum.

Dalam analisis matematika, infimum dan supremum himpunan bagian ${\displaystyle S}$  dari bilangan real sangat penting. Sebagai contoh, bilangan real negatif tidak memiliki sebuah anggota terbesar, dan supremumnya adalah 0 (yang bukan bilangan real negatif).^[3] Kelengkapan bilangan real mengimplikasikan (dan ekuivalen dengan pernyataan) bahwa setiap himpunan bagian tak kosong berbatas ${\displaystyle S}$  dari bilangan real memiliki satu buah infimum dan satu buah supremum. Jika ${\displaystyle S}$  tidak berbatas bawah, maka umumnya ditulis secara formal, yaitu ${\displaystyle \inf(S)=-\infty }$ . Jika ${\displaystyle S}$  kosong, maka ditulis ${\displaystyle \inf(S)=+\infty }$ .

Rumus berikut bergantung pada sebuah notasi bahwa dengan mudah menggeneralisasi operasi-operasi aritmetika di himpunan. Misalkan himpunan ${\displaystyle A,B\subseteq \mathbb {R} }$ , dan misalkan skalar ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$ . Hal ini mendefinisikan

• ${\displaystyle r\cdot A=\{r\cdot a:a\in A\}}$ , hasil kali skalar dari suatu himpunan hanyalah skalar dikalikan oleh setiap anggota di himpunan.
• ${\displaystyle A+B=\{a+b:a\in A,b\in B\}}$ , disebut sebagai penjumlahan Minkowski, penjumlahan aritmetika dua himpunan adalah jumlah dari semua kemungkinan pasangan bilangan, anggota dari setiap himpunan.
• ${\displaystyle A\cdot B=\{a\cdot b:a\in A,b\in B\}}$ , hasil kali artimetika dua himpunan adalah hasil kali semua pasangan anggota, anggota dari setiap himpunan.

Dalam kasus tersebut untuk himpunan ${\displaystyle A}$  dan ${\displaystyle B}$  mempunyai infimum dan supremum, berlaku identitas berikutː

• ${\displaystyle p=\inf A}$  jika dan hanya jika untuk setiap ${\displaystyle \varepsilon >0}$ , terdapat ${\displaystyle x\in A}$  dengan ${\displaystyle x<p+\varepsilon }$ , dan ${\displaystyle x\geq p}$  untuk setiap ${\displaystyle x\in A}$ .
• ${\displaystyle p=\sup A}$  jika dan hanya jika setiap ${\displaystyle \varepsilon >0}$ , terdapat ${\displaystyle x\in A}$  dengan ${\displaystyle x>p-\varepsilon }$  untuk setiap ${\displaystyle x\in A}$ .
• Jika ${\displaystyle A\subseteq B}$ , maka ${\displaystyle \inf A\geq \inf B}$  dan ${\displaystyle \sup A\leq \sup B}$ .

• Jika ${\displaystyle r\geq 0}$ , maka ${\displaystyle \inf(r\cdot A)=r\cdot (\inf A)}$  dan ${\displaystyle \sup(r\cdot A)=r\cdot (\sup A)}$ .
• Jika ${\displaystyle r\leq 0}$ , maka ${\displaystyle \inf(r\cdot A)=r\cdot (\sup A)}$  dan ${\displaystyle \sup(r\cdot A)=r\cdot (\inf A)}$ .
• ${\displaystyle \inf(A+B)=(\inf A)+(\inf B)}$ , dan ${\displaystyle \sup(A+B)=(\sup A)+(\sup B)}$ .
• Jika ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$  himpunn tak kosong bilangan real positif maka ${\displaystyle \inf(A\cdot B)=(\inf A)\cdot (\inf B)}$ , dan hal ini berlaku sama untuk supremum.^[4]

Jika dualitas dilambangkan dengan ${\displaystyle P^{\operatorname {op} }}$ , maka himpunan terurut parsial ${\displaystyle P}$  dengan relasi urutan berlawanan, dalam artian: ${\displaystyle x\leq y}$  di ${\displaystyle P^{\operatorname {op} }}$ jika dan hanya jika ${\displaystyle x\geq y}$  dalam ${\displaystyle P}$ , untuk semua ${\displaystyle x}$  dan ${\displaystyle y}$ , maka infimum himpunan bagian ${\displaystyle S}$  di ${\displaystyle P}$  sama dengan ${\displaystyle P^{\operatorname {op} }}$ , dan begitupula untuk sebaliknya.

Untuk himpunan bagian dari bilangan real, terdapat dualitas lain yang berlaku ${\displaystyle \inf S=-\sup(-S)}$ , dengan ${\displaystyle -S=\{-s\mid s\in S\}}$ .

• Infimum himpunan bilangan ${\displaystyle \{2,3,4\}}$  adalah ${\displaystyle 2}$ . ${\displaystyle 1}$  adalah batas bawah, tetapi bukan batas bawah terbesar, dan karena itu, ${\displaystyle 1}$  bukanlah infimum.
• Lebih umum, jika suatu himpunan memiliki anggota terkecil, maka anggota terkecil adalah infimum untuk himpunan. Dalam kasus ini, anggota terkecil itu juga disebut minimum dari himpunan.
• ${\displaystyle \inf\{1,2,3,\dots \}=1}$ .
• ${\displaystyle \inf\{x\in \mathbb {R} \mid 0<x<1\}=0}$ , ${\displaystyle \inf\{x\in \mathbb {R} \mid 0<x<1\}=0}$ 
• ${\displaystyle \inf \left\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{3}>2\right\}={\sqrt[{3}]{2}}}$ .
• ${\displaystyle \inf \left\{(-1)^{n}+{\tfrac {1}{n}}\mid n=1,2,3,\ldots \right\}=-1}$ .
• Jika ${\displaystyle x_{n}}$  adalah barisan menurun dengan limit ${\displaystyle x}$ , maka ${\displaystyle \inf x_{n}=x}$ .

• Supremum himpunan bilangan ${\displaystyle \{1,2,3\}}$  adalah ${\displaystyle 3}$ . ${\displaystyle 4}$  adalah batas atas, tetapi bukan batas atas terkecil, dan karena itu, ${\displaystyle 4}$  bukanlah supremum.
• ${\displaystyle \sup\{x\in \mathbb {R} \mid 0<x<1\}=\sup\{x\in \mathbb {R} \mid 0\leq x\leq 1\}=1}$ .
• ${\displaystyle \sup \left\{(-1)^{n}-{\tfrac {1}{n}}\mid n=1,2,3,\ldots \right\}=1}$ .
• ${\displaystyle \sup\{a+b\mid a\in A,b\in B\}=\sup A+\sup B}$ .
• ${\displaystyle \sup\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}<2\}={\sqrt {2}}}$ .

Di contoh terakhir, supremum himpunan bilangan rasional adalah bilangan irasional, yang berarti bahwa rasional tidak lengkap.

Salah satu sifat dasar dari supremum adalah$${\displaystyle \sup\{f(t)+g(t)\mid t\in A\}\leq \sup\{f(t)\mid t\in A\}+\sup\{g(t)\mid t\in A\}}$$ untuk setiap fungsional ${\displaystyle f}$  dan ${\displaystyle g}$ .

Supremum himpunan bagian ${\displaystyle S}$  dari ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\mid )}$ , dengan ${\displaystyle \mid }$  melambangkan notasi pembagi, adalah kelipatan persekutuan terkecil anggota ${\displaystyle S}$ .

Supremum himpunan ${\displaystyle S}$  yang mengandung beberapa himpunan ${\displaystyle X}$  merupakan gabungan subhimpunan dari himpunan terurut parsial ${\displaystyle (P,\subseteq )}$ , dengan ${\displaystyle P}$  menyatakan pangkat kuasa dari ${\displaystyle X}$ , dan ${\displaystyle \subseteq }$  menyatakan himpunan bagian.

• Anggota maksimal dan minimal
• Anggota terbesar dan terkecil
• Batas atas dan bawah
• Superior limit dan inferior limit (limit infimum)
• Supremum esensial dan infimum esensial

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Upper and lower bounds", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Infimum dan supremum". MathWorld.