Ínfimo e supremo

En matemáticas, o ínfimo (abreviado inf) dun subconxunto ${\displaystyle S}$ dun conxunto parcialmente ordenado ${\displaystyle P}$ é o maior elemento en ${\displaystyle P}$ que é menor ou igual a cada elemento de ${\displaystyle S,}$ se tal elemento existe. ^[1] Se o ínfimo de ${\displaystyle S}$ existe, é único, e se b é un límite inferior de ${\displaystyle S}$, entón b é menor ou igual ao ínfimo de ${\displaystyle S}$. En consecuencia, o termo límite inferior máximo (abreviado como GLB en inglés) tamén se usa habitualmente. ^[1] O supremo (abreviado sup) dun subconxunto ${\displaystyle S}$ dun conxunto parcialmente ordenado ${\displaystyle P}$ é o menor elemento ${\displaystyle P}$ que é maior ou igual a cada elemento de ${\displaystyle S,}$ se tal elemento existe. ^[1] Se o supremo de ${\displaystyle S}$ existe, é único, e se b é un límite superior de ${\displaystyle S}$, entón o supremo de ${\displaystyle S}$ é menor ou igual a b. O supremo tamén se refire como o límite superior mínimo (ou LUB en inglés). ^[1]

Os conceptos de ínfimo e supremo están relacionados con mínimo e máximo, mais son máis útiles na análise porque caracterizan mellor os conxuntos especiais que poden non ter mínimo ou máximo. Por exemplo, o conxunto de números reais positivos ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ (sen incluír ${\displaystyle 0}$) non ten un mínimo, porque calquera elemento dado de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ podería simplemente dividirse á metade, resultando un número menor que aínda está en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}.}$ Non obstante, hai exactamente un ínfimo dos números reais positivos relativos aos números reais: ${\displaystyle 0,}$ que é menor que todos os números reais positivos e maior que calquera outro número real que se poida usar como cota inferior.

Un límite inferior ${\displaystyle a}$ de ${\displaystyle S}$ chámase ínfimo (ou límite inferior máximo) de ${\displaystyle S}$ se

• ${\displaystyle a\leq x}$ para todo ${\displaystyle x\in S.}$

• para todos os límites inferiores ${\displaystyle y}$ de ${\displaystyle S}$ en ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle y\leq a}$ (${\displaystyle a}$ é maior que calquera outro límite inferior).

Do mesmo xeito, un límite superior dun subconxunto ${\displaystyle S}$ dun conxunto parcialmente ordenado ${\displaystyle (P,\leq )}$ é un elemento ${\displaystyle b}$ de ${\displaystyle P}$ tal que

• ${\displaystyle b\geq x}$ para todo ${\displaystyle x\in S.}$

• para todos os límites superiores ${\displaystyle z}$ de ${\displaystyle S}$ en ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle z\geq b}$ (${\displaystyle b}$ é menor que calquera outro límite superior).

Ínfimo e supremo non necesariamente existen. A existencia dun ínfimo dun subconxunto ${\displaystyle S}$ de ${\displaystyle P}$ pode fallar se ${\displaystyle S}$ non ten límite inferior, ou se o conxunto de límites inferiores non contén un elemento maior. (Un exemplo diso é o subconxunto ${\displaystyle \{x\in \mathbb {Q} :x^{2}<2\}}$ de ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, que ten límites superiores, como 1.5, mais non ten límites superiores en ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.)

Se o supremo dun subconxunto ${\displaystyle S}$ existe, é único. Así mesmo, se o infimum existe, é único.

O ínfimo dun subconxunto ${\displaystyle S}$ dun conxunto parcialmente ordenado ${\displaystyle P,}$ supoñendo que exista, non necesariamente pertence a ${\displaystyle S.}$ Se o fai, é un elemento mínimo ou mínimo de ${\displaystyle S.}$ Do mesmo xeito, se o supremo de ${\displaystyle S}$ pertence a ${\displaystyle S,}$ é un elemento máximo de ${\displaystyle S.}$

Por exemplo, considere o conxunto de números reais negativos (excluíndo o cero). Este conxunto non ten elemento maior, xa que para cada elemento do conxunto, hai outro elemento máis grande. Por exemplo, para calquera número real negativo ${\displaystyle x,}$ hai outro número real negativo ${\displaystyle {\tfrac {x}{2}},}$ que é maior. Por outra banda, todo número real maior ou igual a cero é certamente un límite superior neste conxunto. Polo tanto, ${\displaystyle 0}$ é o límite superior mínimo dos reais negativos, polo que o supremo é 0. Este conxunto ten un supremo pero non un maior elemento.

No entanto, a definición de elementos máximais e mínimais é máis xeral. En particular, un conxunto pode ter moitos elementos máximais e mínimais, mentres que ínfimo e supremo son únicos.

Mentres que os máximos e mínimos deben ser membros do subconxunto que se está a considerar, o ínfimo e o supremo dun subconxunto non teñen por que ser membros dese subconxunto.$${\displaystyle f(\sup S)=f\left(\lim _{n\to \infty }s_{n}\right)=\lim _{n\to \infty }f\left(s_{n}\right),}$$que (por exemplo) garante ^{[note 1]} que ${\displaystyle f(\sup S)}$ é un punto adherente do conxunto ${\displaystyle f(S)\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\{f(s):s\in S\}.}$ Se ademais do asumido, a función continua ${\displaystyle f}$ é tamén unha función crecente ou non decrecente, entón incluso é posible concluír que ${\displaystyle \sup f(S)=f(\sup S).}$ Isto pódese aplicar, por exemplo, para concluír que sempre que ${\displaystyle g}$ é unha función de valor real (ou complexa ) con dominio ${\displaystyle \Omega \neq \varnothing }$ cuxa norma sup ${\displaystyle \|g\|_{\infty }\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\sup _{x\in \Omega }|g(x)|}$ é finita, entón para cada número real non negativo ${\displaystyle q,}$

O produto dun número real ${\displaystyle r}$ e un conxunto ${\displaystyle B}$ dos números reais é o conxunto

Que o conxunto dos números reais sexa completo iimplica (e é equivalente a) que calquera subconxunto non baleiro limitado ${\displaystyle S}$ dos números reais ten un ínfimo e un supremo. Se ${\displaystyle S}$ non está limitado por baixo, adoita escribirse formalmente ${\displaystyle \inf _{}S=-\infty .}$ Se ${\displaystyle S}$ está baleiro, escríbese ${\displaystyle \inf _{}S=+\infty .}$

Se ${\displaystyle A}$ é calquera conxunto de números reais entón ${\displaystyle A\neq \varnothing }$ se e só se ${\displaystyle \sup A\geq \inf A,}$ e doutro xeito ${\displaystyle -\infty =\sup \varnothing <\inf \varnothing =\infty .}$ ^[2]

Se ${\displaystyle A\subseteq B}$ son conxuntos de números reais entón ${\displaystyle \inf A\geq \inf B}$ (a non ser que ${\displaystyle A=\varnothing \neq B}$ ) e ${\displaystyle \sup A\leq \sup B.}$

Identificando o ínfimo e o supremo

Se o ínfimo de ${\displaystyle A}$ existe (é dicir, ${\displaystyle \inf A}$ é un número real) e se ${\displaystyle p}$ é calquera número real entón ${\displaystyle p=\inf A}$ se e só se ${\displaystyle p}$ é un límite inferior e para cada ${\displaystyle \epsilon >0}$ hai un ${\displaystyle a_{\epsilon }\in A}$ con ${\displaystyle a_{\epsilon }<p+\epsilon .}$ Do mesmo xeito, se ${\displaystyle \sup A}$ é un número real e se ${\displaystyle p}$ é calquera número real entón ${\displaystyle p=\sup A}$ se e só se ${\displaystyle p}$ é un límite superior e se para cada ${\displaystyle \epsilon >0}$ hai un ${\displaystyle a_{\epsilon }\in A}$ con ${\displaystyle a_{\epsilon }>p-\epsilon .}$

Relación cos límites de secuencias

Se ${\displaystyle S\neq \varnothing }$ é calquera conxunto non baleiro de números reais, entón sempre existe unha secuencia non decrecente ${\displaystyle s_{1}\leq s_{2}\leq \cdots }$ en ${\displaystyle S}$ tal que ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=\sup S.}$ Do mesmo xeito, existirá unha secuencia non crecente (posiblemente diferente). ${\displaystyle s_{1}\geq s_{2}\geq \cdots }$ en ${\displaystyle S}$ tal que ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=\inf S.}$

Expresar o ínfimo e o supremo como límite dunha secuencia deste tipo permite aplicar teoremas de varias ramas das matemáticas. Considere por exemplo o feito ben coñecido en topoloxía que se ${\displaystyle f}$ é unha función continua e ${\displaystyle s_{1},s_{2},\ldots }$ é unha secuencia de puntos do seu dominio que converxe a un punto ${\displaystyle p,}$ entón ${\displaystyle f\left(s_{1}\right),f\left(s_{2}\right),\ldots }$ converxe necesariamente a ${\displaystyle f(p).}$ Implica que se ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=\sup S}$ é un número real (onde todos ${\displaystyle s_{1},s_{2},\ldots }$ están en ${\displaystyle S}$ ) e se ${\displaystyle f}$ é unha función continua cuxo dominio contén ${\displaystyle S}$ e ${\displaystyle \sup S,}$ entón$${\displaystyle \|g\|_{\infty }^{q}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(\sup _{x\in \Omega }|g(x)|\right)^{q}=\sup _{x\in \Omega }\left(|g(x)|^{q}\right)}$$posto que o mapa ${\displaystyle f:[0,\infty )\to \mathbb {R} }$ definido por ${\displaystyle f(x)=x^{q}}$ é unha función continua non decrecente cuxo dominio ${\displaystyle [0,\infty )}$ sempre contén ${\displaystyle S:=\{|g(x)|:x\in \Omega \}}$ e ${\displaystyle \sup S\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\|g\|_{\infty }.}$$${\displaystyle A+B~:=~\{a+b:a\in A,b\in B\}}$$Aínda que esta discusión centrouse en ${\displaystyle \sup ,}$ pódese chegar a conclusións semellantes con ${\displaystyle \inf }$ cos cambios adecuados (como esixir que ${\displaystyle f}$ ser non crecente en lugar de non diminuír). Outras normas definidas en termos de ${\displaystyle \sup }$ ou ${\displaystyle \inf }$ inclúen as normas de espazos febles ${\displaystyle L^{p,w}}$(para ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ ), a norma no espazo de Lebesgue ${\displaystyle L^{\infty }(\Omega ,\mu ),}$ e normas de operador. As secuencias monótonas en ${\displaystyle S}$ que converxen a ${\displaystyle \sup S}$ (ou a ${\displaystyle \inf S}$) tamén se pode usar para axudar a probar moitas das fórmulas que se indican a continuación, xa que a suma e a multiplicación de números reais son operacións continuas.

As seguintes fórmulas dependen dunha notación que xeneraliza convenientemente as operacións aritméticas sobre conxuntos. En todo o que segue, ${\displaystyle A,B\subseteq \mathbb {R} }$ son conxuntos de números reais.

Suma de conxuntos

A suma de Minkowski de dous conxuntos ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ dos números reais é o conxunto$${\displaystyle \inf(A+B)=(\inf A)+(\inf B)}$$composto por todas as posibles sumas aritméticas de pares de números, un de cada conxunto. O ínfimo e o supremo da suma de Minkowski satisfai$${\displaystyle \sup(A+B)=(\sup A)+(\sup B).}$$A multiplicación de dous conxuntos ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ dos números reais defínese de forma similar á súa suma de Minkowski:$${\displaystyle A\cdot B~:=~\{a\cdot b:a\in A,b\in B\}.}$$Produto de conxuntos$${\displaystyle rB~:=~\{r\cdot b:b\in B\}.}$$Se ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ son conxuntos non baleiros de números reais positivos daquela ${\displaystyle \inf(A\cdot B)=(\inf A)\cdot (\inf B)}$ e do mesmo xeito para o supremo ${\displaystyle \sup(A\cdot B)=(\sup A)\cdot (\sup B).}$ ^[3]

Produto escalar dun conxunto$${\displaystyle \inf(r\cdot A)=r(\inf A)\quad {\text{ and }}\quad \sup(r\cdot A)=r(\sup A),}$$Se ${\displaystyle r\geq 0}$ daquela$${\displaystyle \inf(r\cdot A)=r(\sup A)\quad {\text{ and }}\quad \sup(r\cdot A)=r(\inf A).}$$mentres que se ${\displaystyle r\leq 0}$ entón$${\displaystyle \inf(-A)=-\sup A\quad {\text{ and }}\quad \sup(-A)=-\inf A.}$$$${\displaystyle {\frac {1}{S}}~:=\;\left\{{\tfrac {1}{s}}:s\in S\right\}.}$$Inverso multiplicativo dun conxunto

Para calquera conxunto ${\displaystyle S}$ que non contén ${\displaystyle 0,}$ sexa$${\displaystyle {\frac {1}{\sup _{}S}}~=~\inf _{}{\frac {1}{S}}}$$Se ${\displaystyle S\subseteq (0,\infty )}$ non está baleiro entón$${\displaystyle x\leq y{\text{ en }}P^{\operatorname {op} }\quad {\text{ se e só se }}\quad x\geq y{\text{ en }}P,}$$onde esta ecuación tamén vale cando ${\displaystyle \sup _{}S=\infty }$ se usamos a definición ${\displaystyle {\frac {1}{\infty }}:=0}$. ^{[note 2]} Esta igualdade pódese escribir alternativamente como ${\displaystyle {\frac {1}{\displaystyle \sup _{s\in S}s}}=\inf _{s\in S}{\tfrac {1}{s}}.}$ Alén diso, ${\displaystyle \inf _{}S=0}$ se e só se ${\displaystyle \sup _{}{\tfrac {1}{S}}=\infty ,}$ onde se ^{[note 2]} ${\displaystyle \inf _{}S>0,}$ entón ${\displaystyle {\tfrac {1}{\inf _{}S}}=\sup _{}{\tfrac {1}{S}}.}$

Se se denota por ${\displaystyle P^{\operatorname {op} }}$ o conxunto parcialmente ordenado ${\displaystyle P}$ coa relación de orde oposta; é dicir, para todo ${\displaystyle x{\text{ e }}y,}$ declaramos:$${\displaystyle \sup\{f(t)+g(t):t\in A\}~\leq ~\sup\{f(t):t\in A\}+\sup\{g(t):t\in A\}}$$entón o ínfimo dun subconxunto ${\displaystyle S}$ en ${\displaystyle P}$ é igual ao supremo de ${\displaystyle S}$ en ${\displaystyle P^{\operatorname {op} }}$ e viceversa.

Para os subconxuntos dos números reais, cúmprese outro tipo de dualidade: ${\displaystyle \inf S=-\sup(-S),}$ onde ${\displaystyle -S:=\{-s~:~s\in S\}.}$

• O ínfimo do conxunto dos números ${\displaystyle \{2,3,4\}}$ é ${\displaystyle 2.}$ O número ${\displaystyle 1}$ é un límite inferior, mais non o límite inferior maior e, polo tanto, non é o ínfimo. Para conxuntos finitos totalmente ordenados, o ínfimo e o mínimo son iguais.
• Máis xeralmente, se un conxunto ten un elemento máis pequeno, entón o elemento máis pequeno é o ínfimo para o conxunto. Neste caso, tamén se denomina mínimo do conxunto.
• ${\displaystyle \inf\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=0.}$
• ${\displaystyle \inf \left\{x\in \mathbb {Q} :x^{3}>2\right\}={\sqrt[{3}]{2}}.}$
• ${\displaystyle \inf \left\{(-1)^{n}+{\tfrac {1}{n}}:n=1,2,3,\ldots \right\}=-1.}$
• Se ${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ é unha secuencia decrecente con límite ${\displaystyle x,}$ entón ${\displaystyle \inf x_{n}=x.}$

• O supremo do conxunto de números ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ é ${\displaystyle 3.}$ O número ${\displaystyle 4}$ é un límite superior, mais non é o límite superior mínimo e, polo tanto, non é o supremo. Para conxuntos finitos totalmente ordenados, o supremo e o máximo son iguais.
• ${\displaystyle \sup\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=\sup\{x\in \mathbb {R} :0\leq x\leq 1\}=1.}$
• ${\displaystyle \sup \left\{(-1)^{n}-{\tfrac {1}{n}}:n=1,2,3,\ldots \right\}=1.}$
• ${\displaystyle \sup\{a+b:a\in A,b\in B\}=\sup A+\sup B.}$
• ${\displaystyle \sup \left\{x\in \mathbb {Q} :x^{2}<2\right\}={\sqrt {2}}.}$

No último exemplo, o supremo dun conxunto de racionais é irracional, o que significa que os racionais son incompletos.

Unha propiedade básica do supremo é$${\displaystyle \sup\{f(t)+g(t):t\in A\}~\leq ~\sup\{f(t):t\in A\}+\sup\{g(t):t\in A\}}$$ para calquera funcionais ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g.}$

O supremo dun subconxunto ${\displaystyle S}$ de ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\mid \,)}$ onde ${\displaystyle \,\mid \,}$ denota " divide", é o mínimo común múltiplo dos elementos de ${\displaystyle S.}$

• Elemento maximal e minimal
• Límite superior e límite inferior
• Elemento maiorante e minorante

• https://encyclopediaofmath.org/wiki/Upper_and_lower_bounds, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Breitenbach, Jerome R.; Weisstein, Eric W. "Ínfimo e supremo". MathWorld.