Estrem superiôr e estrem inferiôr

In matematiche, l'estrem superiôr di un insiemi di numars reâi al è il plui piçul numar reâl che al è plui grant o avuâl a ducj i elements dal insiemi. In maniere duâl, l'estrem inferiôr al è il plui grant numar reâl che al è plui piçul o avuâl a ducj i elements dal insiemi.

I estrems superiôr e inferiôr si diferenziin dal massim e dal minim dal insiemi parcè che a puedin no apartignî al insiemi considerât.

Al sedi ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$ un insiemi di numars reâi. Si dîs maiorant di ${\displaystyle A}$ cualsisei numar reâl plui grant o avuâl a ducj i elements di ${\displaystyle A}$ (viodi ancje la figure a diestre). Invezit, i numars reâi che a son plui piçui o avuâi a ducj i elements di ${\displaystyle A}$ si disin minorants di ${\displaystyle A}$. In maniere formâl

• ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ al è un maiorant di ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$ se e dome se ${\displaystyle a\leq x}$, ${\displaystyle \forall a\in A}$;
• ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$ al è un minorant di ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$ se e dome se ${\displaystyle a\geq y}$, ${\displaystyle \forall a\in A}$.

Un insiemi si dîs superiormentri (inferiormentri) limitât se al à almancul un maiorant (minorant) e superiormentri (inferiormentri) ilimitât se no 'nd à nissun. Un insiemi superiormentri e inferiormentri limitât si dîs, in maniere semplice, limitât. I esemplis che a seguissin a consolidin i concets presentâts.

• L'interval sierât ${\displaystyle A=[0;2]}$ al è un insiemi limitât. Ducj i numars reâi maiôrs o avuâi a 2 a son maiorants di ${\displaystyle A}$. Al contrari, i minorants di ${\displaystyle A}$ a son ducj i numars minôrs o avuâi a 0.
• L'interval sierât e ilimitât a diestre ${\displaystyle B=[1;+\infty )}$ al è un insiemi inferiormentri limitât e superiormentri ilimitât. Duncje, nol à maiorants e, invezit, ducj i numars minôrs o avuâi a 1 a son siei minorants.
• L'insiemi dai numars intîrs ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ nol à ni maiorants ni minorants. Duncje, al è ilimitât.
• L'insiemi ${\displaystyle D=\{n^{-1}:n{\text{ intîr diviers di 0}}\}}$ al à par maiorants ducj i numars maiôrs o avuâi a 1 e par minorants ducj i numars minôrs o avuâi a –1.

Si clame estrem superiôr di un insiemi di numars reâi ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$ il minim dai siei maiorants. In maniere simile, l'estrem inferiôr al è il plui grant dai minorants di ${\displaystyle A}$. Stant che i doi concets a son duâi, si centrarìn cumò sul estrem superiôr, savint che risultâts analics a valin ancje par l'estrem inferiôr.

Daûr de definizion parsore, un numar reâl ${\displaystyle s}$ al è l'estrem superiôr di un sotinsiemi ${\displaystyle A}$ di ${\displaystyle \mathbb {R} }$, e si scrîf ${\displaystyle s=\sup A}$, se e dome se si verifichin chestis dôs condizions:

1. ${\displaystyle s}$ al è maiôr di ducj i elements di ${\displaystyle A}$ e
2. par cualsisei ${\displaystyle s'}$ reâl minôr di ${\displaystyle s}$, al è simpri pussibil cjatâ almancul un element di ${\displaystyle A}$ che i è maiôr.

In fat, si à ${\displaystyle s\geq a}$, cualsisei ${\displaystyle a\in A}$, viodût che ${\displaystyle s=\sup A}$ al à di jessi un maiorant di ${\displaystyle A}$. Però ${\displaystyle s}$ al è il plui piçul dai maiorants: se ${\displaystyle s'<s}$, alore ${\displaystyle s'}$ nol è un maiorant di ${\displaystyle A}$ e, duncje, al esist almancul un element ${\displaystyle a\in A}$ tal che ${\displaystyle a>s'}$.

Si puedin alore gjavâ fûr cualchi considerazion. Prin, un insiemi al pues no vê estrem superiôr, par esempli parcè che al è superiormentri ilimitât. Secont, se l'estrem superiôr al esist, alore al è unic. Tierç, i concets di estrem superiôr e massim di un insiemi a son une vore leâts, ma a son diviers. In maniere specifiche, se l'insiemi ${\displaystyle A\in \mathbb {R} }$ al à massim ${\displaystyle m}$, alore si à ${\displaystyle m=\sup A}$. In fat, l'insiemi dai maiorants di ${\displaystyle A}$ al è $${\displaystyle M=\{x:x\geq a,\forall a\in A\}=\{x:x\geq \max A\}=[m;+\infty ).}$$ L'estrem superiôr di ${\displaystyle A}$ al è il minim dai siei maiorants e, duncje, $${\displaystyle \sup A=\min M=m=\max A.}$$

In maniere reciproche, se un insiemi ${\displaystyle A}$ al à estrem superiôr e chest al aparten al stes insiemi ${\displaystyle A}$, alore l'estrem superiôr al è ancje il massim dal insiemi ${\displaystyle A}$. Al baste pensâ che ${\displaystyle s=\sup A}$ al è un maiorant di ${\displaystyle A}$ (il plui piçul) e, duncje, ${\displaystyle s\geq a}$ par cualsisei ${\displaystyle a\in A}$. Però, cheste proprietât di ${\displaystyle s}$ e coincît cun la definizion di massim di ${\displaystyle A}$ cuant che ${\displaystyle s\in A}$ o, in curt, $${\displaystyle (s=\sup A){\text{ e }}(s\in A)\Rightarrow s=\max A.}$$

Considerant i esemplis fats prime, l'interval ${\displaystyle B=[1;+\infty )}$ e l'insiemi dai numars intîrs ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ a son superiormentri ilimitâts: no vint maiorants no àn nancje estrem superiôr.

L'insiemi dai maiorants dal interval ${\displaystyle A=[0;2]}$, invezit, al è $${\displaystyle M=\{x\in \mathbb {R} :x\geq 2\}=[2;+\infty )}$$ e, duncje, l'estrem superiôr di ${\displaystyle A}$ al è $${\displaystyle \sup A=\min M=2.}$$ Inte stesse maniere, si pues dedusi che l'estrem superiôr dal insiemi $${\displaystyle D={\biggl \{}{\frac {1}{n}}:n{\text{ intîr diviers di 0}}{\biggr \}}}$$ al è ${\displaystyle \sup D=1}$.

Intai ultins doi câs, l'estrem superiôr al esist e si pues viodi che al coincît cul massim dal insiemi. L'esempli che al ven daûr al dimostre che nol è simpri cussì: par l'interval viert ${\displaystyle E=(1;3)}$ l'insiemi dai maiorants al è $${\displaystyle M=\{x\in \mathbb {R} :x\geq 3\}=[3;+\infty ).}$$ Chest al vûl dî che $${\displaystyle \sup E=\min M=3.}$$ Però in chest câs il numar 3 nol aparten al interval viert ${\displaystyle E}$, che nol presente massim.

Un altri esempli di insiemi che al à estrem superiôr però nol à massim al è $${\displaystyle F={\biggl \{}-{\frac {1}{n}}:n\in \mathbb {N} \setminus \{0\}{\biggr \}}={\biggl \{}-1;-{\frac {1}{2}};-{\frac {1}{3}};-{\frac {1}{4}}\dots {\biggr \}}.}$$ I maiorants a son i elements dal interval superiormentri ilimitât ${\displaystyle M=[0;+\infty )}$ e si à ${\displaystyle \sup F=\min M=0}$. Si sa però che nol esist nissun numar naturâl che al sedi l'inviers di 0 (i.e., ${\displaystyle \nexists n\in \mathbb {N} :n^{-1}=0}$) e, duncje, ${\displaystyle F}$ nol à massim.

Come comentât prime par i maiorants e i minorants, si pues cjacarâ di estrems par ogni insiemi là che al è pussibil definî une relazion di ordin, sedi parziâl o totâl. Par esempli, si puedin studiâ i estrems di cualsisei sotinsiemi di numars intîrs o razionâi.

O vin ancje viodût un ciert numar di esemplis di sotinsiemis superiormentri limitâts di ${\displaystyle \mathbb {R} }$ che a àn estrem superiôr. Chest nol è un câs, e je anzit une proprietât fondamentâl che e distinc i numars reâi dai numars razionâi: ogni sotinsiemi di ${\displaystyle \mathbb {R} }$ che al sedi no vueit e superiormentri limitât al amet estrem superiôr reâl. Cheste proprietât e je cognossude come la completece di ${\displaystyle \mathbb {R} }$ secont Dedekind. Al contrari, un insiemi che nol è complet al pues vê dai sotinsiemis no vueits e limitâts cence estrem superiôr. I numars razionâi ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ a fasin part di cheste tipologjie di insiemis.

Par sclarî un pôc miôr la diference tra numars reâi e numars razionâi in tiermins di completece, considerìn l'esempli dal insiemi $${\displaystyle S={\Bigl \{}x\in \mathbb {Q} :x^{2}\leq 2{\Bigr \}}={\Bigl \{}x\in \mathbb {Q} :-{\sqrt {2}}\leq x\leq {\sqrt {2}}{\Bigr \}}.}$$

Cuant che o cjalìn ${\displaystyle S}$ come un sotinsiemi dai numars razionâi, l'insiemi dai soi maiorants al è $${\displaystyle M_{\mathbb {Q} }={\Bigl \{}q\in \mathbb {Q} :q\geq {\sqrt {2}}{\Bigr \}}}$$ Jessint che ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ nol è un numar razionâl, o podin ancje scrivi $${\displaystyle M_{\mathbb {Q} }={\Bigl \{}q\in \mathbb {Q} :q>{\sqrt {2}}{\Bigr \}}.}$$ Si conclût che l'insiemi dai maiorants razionâi ${\displaystyle M_{\mathbb {Q} }}$ nol à minim e, duncje, l'insiemi ${\displaystyle S}$ nol à estrem superiôr razionâl.

Invezit, l'insiemi dai maiorants di ${\displaystyle S}$ pensât come un sotinsiemi dai numars reâi al è $${\displaystyle M_{\mathbb {R} }={\Bigl \{}r\in \mathbb {R} :r\geq {\sqrt {2}}{\Bigr \}}.}$$ Cheste volte sì che o podìn dî che ${\displaystyle \min M_{\mathbb {R} }={\sqrt {2}}}$, sint ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ un numar reâl (irazionâl). La conclusion e je che, intai reâi, ${\displaystyle \sup S={\sqrt {2}}}$.

• AA. VV. Infinitesimale, analisi, in Grande Dizionario Enciclopedico, 4^a ed. Torino: UTET, 1990. ISBN 88-02-04230-6.
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• Wikipedia Contributors. Least-Upper-Bound Property, in Wikipedia, The Free Enciclopedia, 4 Zenâr 2016, <https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Least-upper-bound_property&oldid=694192706>.
• Contributori di Wikipedia, Maggiorante e Minorante, in Wikipedia, L’Enciclopedia Libera, 4 Zenâr 2016, <http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Maggiorante_e_minorante&oldid=75781659>.
• Contributori di Wikipedia, Estremo Superiore e Estremo Inferiore, in Wikipedia, L’Enciclopeida Libera, 4 Zenâr 2016, <http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Estremo_superiore_e_estremo_inferiore&oldid=75472083>.
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