Lényeges szingularitás

A komplex analízisben egy függvény lényeges szingularitása egy erős szingularitás, azaz olyan hely, aminek közelében a függvény furcsán viselkedik. A viselkedést analitikus esetben a nagy Picard-tétel írja le. A szingularitások harmadik fajtája a megszüntethető szingularitás és a pólus mellett.

Legyen U a C nyílt részhalmaza, és a az U egy eleme, továbbá f : U \ {a} → C holomorf függvény. Az a pont lényeges szingularitása az f függvénynek, ha szingularitása, de nem megszüntethető és nem is pólus.

Például az f(z) = e^1/z függvénynek lényeges szingularitása van a z = 0 helyen.

A következőkben a komplex szám, és az f(z) függvény nem értelmezhető a-ban, de egy U környezetében igen; továbbá a minden környezetének nem üres a metszete U-val.

Ha a :${\displaystyle \lim _{z\to a}f(z)}$   és   ${\displaystyle \lim _{z\to a}{\frac {1}{f(z)}}}$  határértékek egyike sem létezik, akkor a szingularitás lényeges.

Holomorf esetben a lényeges szingularitás környékén a Casorati–Weierstrass-tétel és a nagy Picard-tétel szerint viselkedik. Ezek azt mondják ki, hogy a lényeges szingularitás minden környezetében legfeljebb egy kivétellel minden érték fel van véve, mégpedig végtelenszer.

A lényeges szingularitás jellemzője, hogy a szingularitás körüli Laurent-sornak végtelen sok negatív fokú tagja van, azaz a lényegi rész végtelen sok tagból áll. Egy kapcsolódó definíció szerint ha van egy ${\displaystyle a}$ pont, ahol az ${\displaystyle f(z)(z-a)^{n}}$ egyik deriváltja sem konvergál egy határértékhez, ha ${\displaystyle z}$ tart ${\displaystyle a}$-hoz, akkor ${\displaystyle a}$ lényeges szingularitása az ${\displaystyle f(z)}$ függvénynek.^[1]

• Lars V. Ahlfors; Complex Analysis, McGraw-Hill, 1979
• Rajendra Kumar Jain, S. R. K. Iyengar; Advanced Engineering Mathematics. Page 920. Alpha Science International, Limited, 2004. ISBN 1-84265-185-4

Ez a szócikk részben vagy egészben az Essential singularity című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.