Hiperboloid

Egyköpenyű hiperboloid

Kúp

Kétköpenyű hiperboloid

Hiperboloid alatt olyan másodfokú felületet értünk, amely a következő egyenletekkel jellemezhető:

${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1}$   (egyköpenyű hiperboloid vagy hiperbolikus hiperboloid),

vagy

${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=-1}$   (kétköpenyű hiperboloid vagy elliptikus hiperboloid).

Mind a két felület aszimptotikusan megközelít egy kúpfelületet (az ún. aszimptotikus kúpot) az x vagy y növekedésével:

${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=0}$

Akkor - és csak akkor -, ha a = b,  forgási hiperboloidot kapunk.

Egyköpenyű hiperboloid: v ∈ [-∞, ∞]

${\displaystyle x=a\cosh v\cos \theta }$

${\displaystyle y=b\cosh v\sin \theta }$

${\displaystyle z=c\sinh v}$

Kétköpenyű hiperboloid: v ∈ [0, ∞]

${\displaystyle x=a\sinh v\cos \theta }$

${\displaystyle y=b\sinh v\sin \theta }$

${\displaystyle z=\pm c\cosh v}$

Egyköpenyű forgási hiperboloidot kapunk, ha a hiperbolát képzetes tengelye (kistengelye) körül megforgatjuk. Amennyiben a forgatás a valós tengely (nagytengely) körül történik, kétköpenyű forgási hiperboloidot kapunk. Utóbbi felület úgy is értelmezhető, mint olyan pontok halmaza a térben, amelyeknek két ponttól (azaz a két fókuszponttól) való távolságának különbsége állandó.

Az egyköpenyű forgási hiperboloid minden pontján két alkotó megy keresztül, az alkotók két rendet alkotnak. Ebből következik, hogy egyköpenyű hiperboloidot kapunk, ha két kitérő egyenes közül az egyik megforgatjuk a másik körül.

• Ellipszoid
• hiperbola
• Paraboloid
• Vonalfelület
• Vlagyimir Grigorjevics Suhov

Ez a szócikk részben vagy egészben a Hyperboloid című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.