Eltolás

A geometriában az eltolás az egybevágósági transzformációk közé tartozik. Ha a sík vagy a tér minden pontjának képe ugyanabban az irányban, ugyanakkora távolságban fekszik, akkor a transzformáció eltolás. Ha adva van a $v$ vektor, akkor a vele való eltolásban minden $P$ pont $P'$ képére teljesül, hogy a ${\overrightarrow {PP'}}$ vektor egyenlő $v$ -vel. Az identitás is felfogható eltolásnak; ekkor az eltolásvektor a nullvektor.

Tulajdonságok

antiszimmetria
nincs fixpontja, kivéve, ha identitás
az eltolás irányával párhuzamos egyenesek, síkok invariánsak
az egyenesek, síkok, … párhuzamosak képükkel
megtartja a körüljárási irányt
több egymás utáni eltolás szorzata egy eltolással helyettesíthető
előáll két, az eltolás irányára merőleges tengelyű (síkra) tükrözés szorzataként, amely tengelyek (síkok) távolsága egyenlő az eltolási vektor hosszának felével
a síkban eltolás és forgatás szorzata forgatás; a térben csavarmozgás
egy adott sík vagy tér forgatásai csoportot alkotnak
az eltolás inverze az ellentett vektorral vett eltolás
megadható eltolásvektorral vagy (pont, pont képe) párral

Algebra

Az n-dimenziós tér eltolásai Abel-csoportot alkotnak, amiben a művelet az eltolások egymás utáni elvégzése. Ebben a csoportban a kompozíciós (○) helyett inkább az additív (+) jelölést használják, mert így elmondható, hogy az eltolások összegének vektora az összeadandó eltolások vektorainak összege.

Több is igaz. Az n dimenziós $\mathbb {K}$ test fölötti vektortér eltolásai mint leképezések vektorteret alkotnak az összeadás és a skaláris szorzás műveleteivel, hiszen egy eltolási leképezést megfeleltethetünk az eltolási vektorának. Ezért az eltolások mint leképezések halmazának struktúrája az irányított szakaszok osztályainak struktúrájával ekvivalens: vektortér, ahol a skalárok a $\mathbb {K}$ test elemei. Ennek a vektortérnek a dimenziója n, ugyanúgy, mint a kiindulási vektortéré.

Fontos megjegyezni, hogy valódi eltolás nem lineáris leképezés, mert a nullvektort nem hagyja helyben.

Eltolás homogén koordinátákban

Ha a derékszögű koordinátákhoz hozzáveszünk még egy koordinátát, és azonosnak tekintjük azokat a pontokat, amik skalárszorosai egymásnak. Tehát homogén koordinátákban $[x_{0}:x_{1}:...:x_{n}]=[\lambda x_{0}:\lambda x_{1}:...:\lambda x_{n}]$ .

A homogén koordináták használatával

kezelhetővé válik az n dimenziós tér projektív lezártja
a geometriai transzformációk mátrixszorzással hajthatók végre: egységesen lehet kezelni az eltolást és a lineáris leképezéseket
a transzformációk több dimenzióra is általánosíthatók
több transzformáció egymásutánja a megfelelő mátrixok szorzatával helyettesíthető

Mindezekkel csökken a számítási igény, ami fontos például a képalkotásban.

Három dimenzió esetén az eltolás homogén koordinátákban megadott mátrixa így néz ki:

T_{\mathbf {v} }={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}.\!

ahol $v_{x},v_{y},v_{z}$ rendre a v eltolásvektor x,y,z koordinátája.

A képalkotó eljárásokban balról szokták szorozni a mátrixokat: ha az A mátrixot szorozzák az x vektorral, akkor az $xA$ szorzatot veszik. Ezért az eltolásvektor koordinátái az utolsó sorba kerülnek: