Egységgyök

A matematikában n-edik komplex egységgyökök azok a z komplex számok, melyekre igaz, hogy

${\displaystyle z^{n}=1,\,}$

ahol n = 1,2,3,… egy pozitív egész szám.

Egy n-edik egységgyök primitív egységgyök, ha semmilyen k < n, k = 1,2,…,n−1 pozitív egész szám esetén nem k-adik egységgyök.

A komplex számok ${\displaystyle \mathbb {C} }$ testében az n-edik egységgyökök pontosan az

${\displaystyle \exp \left({2\pi \mathrm {i} k \over n}\right),\quad k=0,1,\ldots ,n-1}$

alakú számok.

Legyen ${\displaystyle \varepsilon _{n}=\exp \left({2\pi \mathrm {i} \over n}\right)}$. Ekkor az n-edik egységgyökök alakja:

${\displaystyle 1,\varepsilon _{n},\varepsilon _{n}^{2},\dots ,\varepsilon _{n}^{n-1}}$.

Ha nyilvánvaló, hogy hányadik egységgyökökről van szó, akkor sokszor elhagyják az alsó indexet.

${\displaystyle \omega }$ n-edik primitív egységgyök, ha n-edik hatványa 1, de semmilyen kisebb kitevős hatványa nem az. Az egyik primitív egységgyök

${\displaystyle \varepsilon _{n}=\exp \left({2\pi \mathrm {i} \over n}\right)}$.

A további primitív egységgyökök ${\displaystyle \varepsilon _{n}}$ n-hez relatív prímkitevős hatványai.

Az n-edik egységgyökök száma n, a primitív n-edik egységgyököké ${\displaystyle \phi (n)}$.

A körosztási testek ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ bővítései, amelyek tartalmazzák az egységgyököket: az n-edik körosztási test az n-edik egységgyököket.

Ha ${\displaystyle \varepsilon }$ n-edik egységgyök, akkor: ${\displaystyle 1+\varepsilon +\varepsilon ^{2}+\dots +\varepsilon ^{n-1}={\begin{cases}1,&\mathrm {ha} \ n=1\\0,&\mathrm {ha} \ n\not =1.\end{cases}}}$

Ez a mértani sorozatok összegzési képletéből következik.

A komplex egységgyökök annak az egységkörbe írt szabályos n-szögnek a csúcsaiban vannak, amelynek egyik csúcsa az 1.

Így a ${\displaystyle \varepsilon _{n}^{k}=x_{k}+\mathrm {i} \,y_{k}}$ egységgyök valós és képzetes része ezeknek a csúcsoknak a koordinátái, vagyis ${\displaystyle k=0,1,\dots ,n-1}$-re

${\displaystyle x_{k}=\cos(2\pi k/n)=\cos(360^{\circ }\cdot k/n)}$    és   ${\displaystyle y_{k}=\sin(2\pi k/n)=\sin(360^{\circ }\cdot k/n)}$.

A második egységgyökök: 1 és −1.

A harmadik egységgyökök: ${\displaystyle \varepsilon _{1}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {\mathrm {i} }{2}}{\sqrt {3}},\quad \varepsilon _{2}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}{\sqrt {3}},\quad \varepsilon _{3}=1}$;

A negyedik egységgyökök alakja ismét egyszerűbb: : ${\displaystyle \varepsilon _{1}=\mathrm {i} ,\quad \varepsilon _{2}=-1,\quad \varepsilon _{3}=-\mathrm {i} ,\quad \varepsilon _{4}=1}$,

A ${\displaystyle 0=1+\varepsilon +\varepsilon ^{2}+\varepsilon ^{3}+\varepsilon ^{4}}$ egyenlőség alapján

${\displaystyle 0={\frac {1}{\varepsilon ^{2}}}+{\frac {1}{\varepsilon }}+1+\varepsilon +\varepsilon ^{2}=\left({\varepsilon }+{\frac {1}{\varepsilon }}\right)^{2}+\left({\varepsilon }+{\frac {1}{\varepsilon }}\right)-1=w^{2}+w-1}$

ahol ${\displaystyle w=\varepsilon +{\frac {1}{\varepsilon }}=\varepsilon +\varepsilon ^{4}=2\cos(72^{\circ })}$.

Ezt a negyedfokú egyenletet megoldva ${\displaystyle w=-{\frac {1}{2}}\pm {\sqrt {\frac {5}{4}}}}$ adódik. Mivel a ${\displaystyle 72^{\circ }}$ szög az 1. negyedben fekszik, azért ${\displaystyle w}$ pozitív, és így ${\displaystyle \cos(72^{\circ })={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}$. A valós rész ez alapján nyilvánvaló; a képzetes rész Pitagorasz-tétellel adódik.

Az n-edik primitív egységgyökök az n-edik körosztási polinom gyökei. A körosztási polinom megkapható a következőképpen:

Gyűjtsük össze azokat az ${\displaystyle x^{k}-1}$ alakú polinomokat, ahol k < n osztója n-nek. Vegyük ezek ${\displaystyle g_{n}}$ legkisebb közös többszörösét. Ekkor van egy ${\displaystyle f_{n}}$ polinom, amit ${\displaystyle g_{n}}$-nel szorozva ${\displaystyle x^{n}-1}$-et kapunk. Ez az ${\displaystyle f_{n}}$ polinom az n-edik körosztási polinom. Ezen az úton absztrakt testekhez, sőt gyűrűkhöz is definiálható körosztási polinom azokra az n-ekre, amelyek nem oszthatók a test (gyűrű) karakterisztikájával. Az absztrakt körosztási polinomok nem feltétlenül irreducibilisek, de a racionális számok teste fölöttiek igen.

Legyen ${\displaystyle R}$ egységelemes kommutatív gyűrű, és ${\displaystyle n\geq 1}$ természetes szám. Egy ${\displaystyle \zeta \in R}$ egységgyök, ha eleget tesz a következő, egymással ekvivalens definíciónak:

• ${\displaystyle \zeta ^{n}=1}$;
• ${\displaystyle \zeta }$ a ${\displaystyle X^{n}-1}$ polinom gyöke.

Az n-edik ${\displaystyle R}$-beli egységgyökök részcsoportot alkotnak a gyűrű multiplikatív csoportjában.

A ${\displaystyle K}$ testben az n-edik egységgyökök ciklikus részcsoportot alkotnak. Számuk mindig osztója n-nek. Ha egyenlő vele, akkor a test tartalmazza az n-edik egységgyököket. Ekkor a primitív egységgyökök egyike generálja az n-edik egységgyökök ciklikus részcsoportját. Az n-edik primitív egységgyökök a fenti előállítás szerinti körosztási polinom gyökei.

• Szele Tibor: Bevezetés az algebrába
• Fried Ervin: Algebra I–II.