[go: up one dir, main page]

Lompat ke isi

Akar satuan

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Terdapat lima akar satuan di bidang kompleks. Akar-akar satuan tersebut ditandai dengan titik berwarna biru.

Dalam matematika, akar satuan (bahasa Inggris: root of unity),[a] berarti bahwa untuk sebarang bilangan kompleks akan menghasilkan 1 apabila dipangkatkan suatu bilangan bulat n. Akar satuan digunakan pada berbagai cabang ilmu matematika, dan sangat penting untuk teori bilangan dan transformasi Fourier diskrit.

Definisi umum

[sunting | sunting sumber]

Akar satuan ke-n, dengan n adalah bilangan bulat positif, adalah sebuah bilangan z yang memenuhi persamaan

Terdapat pengecualian bahwa kalau ditentukan, akar satuan dapat dianggap bilangan kompleks (termasuk bilangan 1, dan bilangan −1 jika n itu genap, yang merupakan bilangan kompleks dengan bagian imajinernya 0), dan dalam kasus ini, akar satuan ke-n ialah

Sifat dasar

[sunting | sunting sumber]

Setiap perpangkatan bilangan bulat dari akar satuan ke-n juga merupakan akar satuan ke-n, sebab

Hal ini juga berlaku untuk pangkat negatif. Lebih jelasnya, invers perkalian dari akar satuan ke-n adalah konjugat kompleksnya, yang sama-sama merupakan akar satuan ke-n:

Sifat pada grup

[sunting | sunting sumber]

Grup semua akar satuan

[sunting | sunting sumber]

Hasil perkalian dan invers perkalian dari dua akar satuan juga merupakan akar satuan. Bahkan, jika xm = 1 dan yn = 1, maka (x−1)m = 1, dan (xy)k = 1, dengan k adalah kelipatan persekutuan terkecil dari m dan n.

Oleh karena itu, himpunan akar satuan membentuk grup abelian terhadap perkalian. group ini merupakan subgrup torsi dari grup lingkaran.

Grup akar satuan ke-n

[sunting | sunting sumber]

Untuk bilangan bulat n, hasil perkalian dan invers perkalian dari dua akar satuan ke-n juga merupakan akar satuan ke-n. Oleh karena itu, akar satuan ke-n membentuk gruo abelian terhadap perkalian.

Ekspresi trigonometri

[sunting | sunting sumber]

Rumus de Moivre, yang valid untuk setiap bilangan riil x dan bilangan bulat n, adalah

Substitusi x = n menghasilkan akar satuan primitif ke-n – yaitu

akan tetapi

untuk k = 1, 2, …, n − 1. Dengan kata lain,

merupakan akar satuan primitif ke-n.

Dalam bidang kompleks, rumus ini menunjukkan kalau akar satuan ke-n berada pada sudut sebuah segi-n beraturan di dalam lingkaran satuan, dengan satu sudut di 1 (lihat gambar n = 3 dan n = 5 di kanan).

Rumus Euler

yang valid untuk setiap bilangan riil x, bisa digunakan untuk mengubah akar satuan ke-n dalam bentuk

Grup siklik

[sunting | sunting sumber]

Akar satuan ke-n membentuk grup siklik dengan orde n terhadap perkalian, dan bahkan grup ini mencakup semua subgrup berhingga dari grup perkalian dalam bidang kompleks.

  1. ^ Terkadang akar satuan disebut juga sebagai bilangan de Moivre.