Pirámide (xeometría)

Unha pirámide é un poliedro, que está formado por un polígono (chamado base) e triángulos que teñen a súa base en cada lado poligonal; todos os triángulos teñen un vértice común chamado vértice da pirámide. Os triángulos chámanse caras laterais. O lado común a dúas caras laterais chámase aresta, do mesmo modo que calquera lado da base. O número total das arestas é o duplo do número de lados da base. Estritamente, o poliedro ten ${\displaystyle n+1}$ vértices, onde ${\displaystyle n}$ é o número de vértices da base.

Chámase pirámide a un corpo xeométrico que é a unión de todos os segmentos que unen todos os puntos dun polígono S cun punto P exterior ao plano do polígono. Considérase que o polígono é unha parte do plano e é un conxunto bidimensional. A pirámide ten sido descrita por moitos matemáticos desde tempos antigos.Euclides definiuna nos seus Elementos como unha figura sólida construída desde un plano a un punto.

• Base é o polígono do que os puntos son os extremos dos segmentos que se unen co punto exterior.
• Vértice da pirámide é o punto exterior ao plano da base.
• Aresta lateral é o segmento que une cada vértice do polígono co vértice da figura do espazo.
• Altura é o segmento perpendicular do vértice da pirámide ao plano da base. Tamén o é a súa medida.
• Cada lado da base co vértice da pirámide ao unilos polos seus extremos determina unha rexión triangular, chamada cara lateral ^[1]
• Apotema é un segmento perpendicular que vai do vértice da pirámide a un lado da base.

Unha pirámide recta é un tipo de pirámide na que a proxección ortogonal do ápice sobre a base coincide co seu centroide.

Unha pirámide oblicua é unha pirámide que non é recta. Se a base dunha pirámide oblicua non é un polígono regular, é posible que todas as súas caras laterais sexan triángulos isósceles.Hai tres tipos de pirámides oblicuas:

Unha pirámide aguda ten a proxección da cúspide por dentro da base..

Unha pirámide en ángulo recto (ou rectángula) ten a proxección da cúspide sobre un lado ou vértice da base.

Unha pirámide obtusa ten a proxección da cúspide por fóra da base.

Unha pirámide de base regular é unha pirámide cuxa base é un polígono regular.

Unha pirámide regular é unha pirámide recta que ten como base un polígono regular. Neste tipo de pirámides cada cara lateral é un triángulo isóscele igual aos demais e a súa altura é o apotema da pirámide. Unha pirámide cunha base regular con n lados ten n + 1 vértices, n + 1 caras e 2n lados. Así, hai pirámides cadradas, pentagonais, etc.

Unha pirámide convexa ten como base un polígono convexo.

Unha pirámide cóncava ten como base un polígono cóncavo.

Existen tres tipos de pirámides con caras que son triángulos equiláteros, con bases de 3, 4 e 5 lados respectivamente. Un tetraedro regular é unha pirámide na que todas as súas caras son triángulos equiláteros.

Área dun polígono regular

A área dun polígono regular pode calcularse en función da lonxitude de cada lado e o seu número de lados. Un polígono regular de n lados pode dividirse en n triángulos isósceles (equiláteros no caso do hexágono regular) con bases os lados do polígono regular. A altura de cada un destes triángulos é un apotema do polígono regular e divide cada un dos triángulos isósceles en dous triángulos rectángulos, dividindo así o polígono en 2n triángulos rectángulos.

A área do polígono regular (A_b) é igual á suma das áreas dos triángulos rectángulos (A_t):

${\displaystyle A_{b}=2\ n\cdot A_{t}=2\ n\ {\frac {{\frac {l}{2}}\ a}{2}}={\frac {n}{2}}\ l\cdot a}$

Onde a é o apotema do polígono regular. Para calcular a lonxitude do apotema aplícase a trigonometría. Calcúlase entón o apotema a, onde α é o ángulo do vértice do triángulo rectángulo que coincide co centro do polígono regular:

${\displaystyle \tan(\alpha )={\frac {\frac {l}{2}}{a}}}$

${\displaystyle \tan(\alpha )={\frac {l}{2\cdot a}}}$

${\displaystyle a={\frac {l}{2\cdot \tan(\alpha )}}}$

Substituíndo o valor do apotema a na área do polígono regular (A_b) temos:

${\displaystyle A_{b}={\frac {n}{2}}\ l\cdot a={\frac {n}{2}}\ l\cdot {\frac {l}{2\cdot \tan(\alpha )}}={\frac {n}{4}}\ l^{2}\cdot \cot(\alpha )}$

O valor do ángulo α resulta de dividir o (2π) polo número de triángulos rectángulos (2n), entón ${\displaystyle \alpha =2\pi /2n=\pi /n}$.

(1) ${\displaystyle A_{b}={\frac {n}{4}}\ l^{2}\cdot \cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$

A área lateral dunha pirámide é a suma das áreas das caras laterais.

Nunha pirámide regular, as caras laterais son triángulos isósceles. A área de cada cara é o semiproduto da súa base (que é igual ao lado da base da pirámide l ) pola súa altura (que é o apotema da pirámide a_p ). A área lateral dunha pirámide regular resulta de multiplicar a área dunha das súas caras laterais polo número de caras laterais.

(2) ${\displaystyle A_{l}=n\cdot {\frac {l\cdot a_{p}}{2}}={\frac {p\cdot a_{p}}{2}}}$

Onde a_p é o apotema da pirámide e p é o perímetro da base.

O apotema da pirámide (a_p) pode calcularse a partir do apotema da base (a_b) e da altura da pirámide (h) aplicando o teorema de Pitágoras.

${\displaystyle a_{p}^{2}=a_{b}^{2}+h^{2}}$

A área total da pirámide é a suma da área da base e a área lateral.

(3) ${\displaystyle A=A_{b}+A_{l}\,}$

No caso dunha pirámide regular, substituíndo a área da base (1) e a área lateral (2) na ecuación (3), obtense:

${\displaystyle A={\frac {n}{4}}\ l^{2}\cdot \cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)+{\frac {p\cdot a_{p}}{2}}}$

O volume dunha pirámide pode obterse mediante cálculo diferencial. A área dun plano de corte transversal é directamente proporcional á área da base (A_b) e ao cadrado da distancia do plano de corte respecto do vértice da pirámide. Esta distancia (d) é a diferenza entre a altura da pirámide (h) e altura do plano de corte (z).

${\displaystyle d=h-z\,}$

Polo tanto, a área dun plano de corte transversal situado a unha altura z por riba da base é

${\displaystyle A\left(z\right)=A_{b}\ {\frac {d^{2}}{h^{2}}}=A_{b}\ {\frac {(h-z)^{2}}{h^{2}}}}$

O volume dunha pirámide pode calcularse coñecendo a área da súa base e a súa altura, independentemente da forma da base e da posición do ápice nun plano paralelo á base.

${\displaystyle V=\int _{0}^{h}A\left(z\right)\ dz=A_{b}\int _{0}^{h}{\frac {(h-z)^{2}}{h^{2}}}\ dz=-A_{b}{\frac {(h-z)^{3}}{3h^{2}}}{\bigg |}_{0}^{h}}$

(4) ${\displaystyle V={\frac {\ A_{b}\ h}{3}}}$

Esta fórmula tamén é válida para o cono, xa que non depende da forma da base, senón da súa área.

O volume dunha pirámide que ten de base un polígono regular pode calcularse a partir do lado do polígono regular que define a súa base e a altura da pirámide. Substituíndo a área da base A_b (1) na ecuación do volume da pirámide (4) obtense:

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}\cdot {\frac {n}{4}}\cdot l^{2}\cdot \cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cdot \ h}$

${\displaystyle V={\frac {n}{12}}\cdot l^{2}\cdot h\cdot \cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$

Como un polígono regular pode inscribirse, pode empregarse o raio r da circunferencia circunscrita, o ángulo α interior do polígono, a altura h e o número n de lados, e calcular, con estes datos, o volume segundo a seguinte fórmula:^[2]

${\displaystyle V={\frac {n}{6}}hr^{2}sen2\alpha }$

O centroide ou baricentro dun tetraedro regular está situado na súa altura. O punto onde se cortan as catro posibles alturas, atópase a unha distancia da base igual a ${\displaystyle {\frac {1}{4}}\cdot h}$

Coincide co centro de masas dun tetraedro regular de densidade uniforme. Tamén coincide co centro de gravidade dun tetraedro regular de densidade uniforme e campo gravitacional uniforme.

O centro de gravidade dunha pirámide de densidade e campo uniforme está situado a unha distancia da base igual a un cuarto da súa altura.^[3]

Dada unha pirámide recta de altura h, a pirámide homotética que ten como volume a metade terá unha altura h':

${\displaystyle h'=h\cdot {\sqrt[{3}]{1/2}}}$

Demostración

O plano paralelo á base, situado a esa distancia da cúspide, cortará a pirámide en dúas partes de igual volume. Buscamos a razón da homotecia: o coeficiente polo que temos que multiplicar os lados da base e a altura, para obter as dimensións da pirámide homotética con volume a metade do total.

Se o volume total da pirámide é:

${\displaystyle V={\frac {a\cdot b\cdot h}{3}}}$

A pirámide que ten como volume a metade, terá:

${\displaystyle V'={\frac {xa\cdot xb\cdot xh}{3}}}$

sendo x a razón da homotecia, o coeficiente de proporcionalidade.

Como

${\displaystyle V'={\frac {1}{2}}\cdot V}$

deducimos

${\displaystyle {\frac {xa\cdot xb\cdot xh}{3}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {a\cdot b\cdot h}{3}}}$

simplificando

${\displaystyle x^{3}\cdot a\cdot b\cdot h={\frac {1}{2}}\cdot a\cdot b\cdot h}$

${\displaystyle x^{3}={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle x={\sqrt[{3}]{1/2}}}$

a razón da homotecia é 0,79370053 aproximadamente.

A táboa que segue contén fórmulas para as propiedades xeométricas dunha pirámide recta regular xeral na columna 2. As columnas 3 e 4 son especificamente para os casos ${\displaystyle n=4}$ e ${\displaystyle n=3}$.

Dimensións dunha pirámide regular con altura ${\displaystyle h}$ e un ${\displaystyle n}$-ágono regular de lado ${\displaystyle a}$ como base
	Caso xeral	Pirámide cadrada	Pirámide triangular regular
Volume	${\displaystyle V={\frac {na^{2}h}{12}}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$	${\displaystyle V={\frac {a^{2}h}{3}}}$	${\displaystyle V={\frac {a^{2}h}{12}}{\sqrt {3}}}$
Superficie	${\displaystyle O={\frac {na}{4}}\left(a\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)+{\sqrt {4h^{2}+a^{2}\cot ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)}}\right)}$	${\displaystyle O=a^{2}+a{\sqrt {4h^{2}+a^{2}}}}$	${\displaystyle O={\frac {3a}{4}}\left({\frac {a}{3}}{\sqrt {3}}+{\sqrt {4h^{2}+{\frac {a^{2}}{3}}}}\right)}$
Lonxitude da aresta lateral	${\displaystyle l=\left(h^{2}+{\frac {a^{2}}{4\operatorname {sen} ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)}}\right)^{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle l={\sqrt {h^{2}+{\frac {a^{2}}{2}}}}}$	${\displaystyle l={\sqrt {h^{2}+{\frac {a^{2}}{3}}}}}$
Raio da esfera circunscrita	${\displaystyle r_{u}={\frac {h}{2}}+{\frac {a^{2}}{8h\operatorname {sen} ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)}}}$	${\displaystyle r_{u}={\frac {h}{2}}+{\frac {a^{2}}{4h}}}$	${\displaystyle r_{u}={\frac {h}{2}}+{\frac {a^{2}}{6h}}}$
Radio da esfera inscrita	${\displaystyle r_{i}={\frac {ah}{a+{\sqrt {4h^{2}\tan ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)+a^{2}}}}}}$	${\displaystyle r_{i}={\frac {ah}{a+{\sqrt {4h^{2}+a^{2}}}}}}$	${\displaystyle r_{i}={\frac {ah}{a+{\sqrt {12h^{2}+a^{2}}}}}}$
Ángulos base dos triángulos isósceles ${\displaystyle \alpha _{2}=\alpha _{1}}$	${\displaystyle \alpha _{1}=\arctan \left({\frac {1}{a}}{\sqrt {4h^{2}+a^{2}\cot ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)}}\right)}$	${\displaystyle \alpha _{1}=\arctan \left({\frac {1}{a}}{\sqrt {4h^{2}+a^{2}}}\right)}$	${\displaystyle \alpha _{1}=\arctan \left({\frac {1}{a}}{\sqrt {4h^{2}+{\frac {a^{2}}{3}}}}\right)}$
Ángulo no vértice dos triángulos isósceles	${\displaystyle \alpha _{3}=2\arctan \left({\frac {a}{\sqrt {4h^{2}+a^{2}\cot ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)}}}\right)}$	${\displaystyle \alpha _{3}=2\arctan \left({\frac {a}{\sqrt {4h^{2}+a^{2}}}}\right)}$	${\displaystyle \alpha _{3}=2\arctan \left({\frac {a}{\sqrt {4h^{2}+{\frac {a^{2}}{3}}}}}\right)}$
Ángulo entre a base e os triángulos isósceles	${\displaystyle \beta _{1}=\arctan \left({\frac {2h\tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)}{a}}\right)}$	${\displaystyle \beta _{1}=\arctan \left({\frac {2h}{a}}\right)}$	${\displaystyle \beta _{1}=\arctan \left({\frac {2{\sqrt {3}}h}{a}}\right)}$
Ángulos entre os triángulos isósceles	${\displaystyle \beta _{2}=2\arctan \left({\frac {1}{2h}}\left({\frac {4h^{2}\operatorname {sen} ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)+a^{2}}{\tan ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)-\operatorname {sen} ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)}}\right)^{\frac {1}{2}}\right)}$	${\displaystyle \beta _{2}=2\arctan \left({\frac {1}{2h}}{\sqrt {4h^{2}+2a^{2}}}\right)}$	${\displaystyle \beta _{2}=2\arctan \left({\frac {1}{3h}}{\sqrt {3h^{2}+a^{2}}}\right)}$
Ángulo entre o bordo lateral e a base	${\displaystyle \gamma =\arctan \left({\frac {2h\operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{n}}\right)}{a}}\right)}$	${\displaystyle \gamma =\arctan \left({\frac {2h}{{\sqrt {2}}a}}\right)}$	${\displaystyle \gamma =\arctan \left({\frac {{\sqrt {3}}h}{a}}\right)}$
Ángulo sólido na base	${\displaystyle \Omega _{1}=4\arctan \left({\sqrt {\tan \left({\frac {2\beta _{1}+\beta _{2}}{4}}\right)\tan \left({\frac {2\beta _{1}-\beta _{2}}{4}}\right)\tan ^{2}\left({\frac {\beta _{2}}{4}}\right)}}\right)}$
Ángulo sólido no vértice	${\displaystyle \Omega _{2}=2\pi -2n\arcsin \left(\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right){\sqrt {\tan ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)-\tan ^{2}\left({\frac {\alpha _{3}}{2}}\right)}}\right)}$

Pirámide pentagonal nun icosaedro

Casos especiais:

Para certos valores de ${\displaystyle n}$ e ${\displaystyle h}$ existen conexións cos sólidos platónicos:

• Para ${\displaystyle n=3}$ e ${\displaystyle h={\frac {a}{3}}{\sqrt {6}}}$ obtense un tetraedro regular.
• Para ${\displaystyle n=4}$ e ${\displaystyle h={\frac {a}{2}}{\sqrt {2}}}$ obtense unha pirámide cadrada que é a metade dun octaedro regular.
• Para ${\displaystyle n=5}$ e ${\displaystyle h={\frac {a}{10}}{\sqrt {50-10{\sqrt {5}}}}}$ xérase unha pirámide pentagonal que forma parte do icosaedro.

Entre todas as pirámides uniformes de n lados con área de superficie dada ${\displaystyle O}$ (incluída a base), para a de maior volume cómprese que:

${\displaystyle a={\sqrt {\frac {O}{n\cot {\frac {\pi }{n}}}}},}$

${\displaystyle h={\sqrt {2\;O}}\;{\sqrt {\frac {\cot {\frac {\pi }{n}}}{n}}}={\sqrt {\tfrac {2\;O}{\pi }}}\cdot {\sqrt {{\tfrac {\pi }{n}}\cot {\tfrac {\pi }{n}}}}}$

e, polo tanto, aplícase que ${\displaystyle \ h=a{\sqrt {2}}\cot {\tfrac {\pi }{n}}\ }$.

No circunradio do polígono base é

${\displaystyle \ r_{u}={\frac {a}{2\operatorname {sen} {\tfrac {\pi }{n}}}}={\sqrt {\tfrac {O}{4\pi }}}\cdot {\sqrt {\frac {\tfrac {2\pi }{n}}{\operatorname {sen} {\frac {2\pi }{n}}}}}\ }$.

O volume máximo é ${\displaystyle V={\tfrac {O}{12}}{\sqrt {\tfrac {2\;O}{\pi }}}\cdot {\sqrt {{\tfrac {\pi }{n}}\cot {\tfrac {\pi }{n}}}}\ }$.

Cando ${\displaystyle n}$ tende a infinito, ${\displaystyle a}$ decrece monotonamente cara ${\displaystyle 0}$ e ${\displaystyle h}$ aumenta monotonamentecara ${\displaystyle h_{c}={\sqrt {\tfrac {2\;O}{\pi }}}}$. Esta última é a altura dun cono con volume máximo para unha superficie dada ${\displaystyle O}$. Para obter este resultado pártese do límite coñecido ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\tfrac {\operatorname {sen} x}{x}}=1}$.

O radio do círculo base do cono que maximiza o volume é ${\displaystyle \ r_{c}={\sqrt {\tfrac {O}{4\pi }}}}$,

a súa altura é ${\displaystyle \ h_{c}=2{\sqrt {2}}\;r_{c}={\sqrt {\tfrac {2\;O}{\pi }}}\ }$

e o seu volume vale ${\displaystyle \ V_{c}={\tfrac {O}{12}}{\sqrt {\tfrac {2\;O}{\pi }}}\ }$.

A relación entre os volumes é: ${\displaystyle V_{Piram}/V_{Cono}={\sqrt {{\tfrac {\pi }{n}}\cot {\tfrac {\pi }{n}}}}}$,

tendendo a 1 para ${\displaystyle n\to \infty }$.

A hiperpirámide é a xeralización dunha pirámide nun espazo n-dimensional. No caso da pirámide, todos os vértices da base, un polígono nun plano, conéctanse a un punto exterior, chamado vértice. A altura da pirámide é a distancia do vértice ao plano. Esta construción xeralízase a n dimensións. A base é un (n − 1)-politopo nun hiperplano (n − 1)--dimensional. Un punto chamado ápice está situado fóra do hiperplano e está conectado a todos os vértices do politopo; a distancia do ápice ao hiperplano chámase altura.

Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría:  Pirámide

• Pirámide (construción)
• Tronco de pirámide
• Tetraedro
• Eudoxo de Cnidos
• Bipirámide (unión de dúas pirámides polas súas bases)

• MathWorld