Distribución t de Student

Distribución t de Student

Función de densidade
Función de distribución
Parámetros	${\displaystyle \nu >0\!}$ graos de liberdade (real)
Soporte	${\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\!}$
Función de densidade	${\displaystyle {\frac {\Gamma ((\nu +1)/2)}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma (\nu /2)}}(1+x^{2}/\nu )^{-(\nu +1)/2}\!}$
Función de distribución	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}+x\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\cdot \\[0.5em]{\frac {\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {\nu +1}{2}};{\frac {3}{2}};-{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\end{matrix}}}$ onde ${\displaystyle \,_{2}F_{1}}$ é a función hiperxeométrica
Media	${\displaystyle 0}$ para ${\displaystyle \nu >1}$, indefinida para outros valores
Mediana	${\displaystyle 0}$
Moda	${\displaystyle 0}$
Varianza	${\displaystyle {\frac {\nu }{\nu -2}}\!}$ para ${\displaystyle \nu >2}$, indefinida para outros valores
Asimetría	${\displaystyle 0}$ para ${\displaystyle \nu >3}$
Curtose	${\displaystyle {\frac {6}{\nu -4}}\!}$ para ${\displaystyle \nu >4}$
Entropía	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\nu +1}{2}}\left[\psi ({\frac {1+\nu }{2}})-\psi ({\frac {\nu }{2}})\right]\\[0.5em]+\log {\left[{\sqrt {\nu }}B({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2}})\right]}\end{matrix}}}$ ${\displaystyle \psi }$: función digamma, ${\displaystyle B}$: función beta
F. xeradora de momentos	(Non definida)
Func. caract.

A distribución t (de Student) é unha distribución de probabilidade que xorde do problema de estimar a media dunha poboación normalmente distribuída cando o tamaño da mostra é pequeno.

Aparece de xeito natural ao realizar a proba t de Student para a determinación das diferenzas entre dúas medias das mostras e para a construción do intervalo de confianza para a diferenza entre as medias de dúas poboacións cando se descoñece o desvío estándar dunha poboación e esta debe ser estimada a partir dos datos dunha mostra.

A distribución t de Student é a distribución de probabilidade do cociente

${\displaystyle T={\frac {Z}{\sqrt {V/\nu \ }}}=Z{\sqrt {\frac {\nu \ }{V}}}}$

onde

• Z é unha variable aleatoria distribuída segundo unha normal típica (de media nula e varianza 1).
• V é unha variable aleatoria que segue unha distribución χ² con ${\displaystyle \nu \ }$ graos de liberdade.
• Z e V son independentes

Se μ é unha constante non nula, o cociente ${\displaystyle {\frac {Z+\mu }{\sqrt {V/\nu \ }}}}$ é unha variable aleatoria que segue a distribución t de Student non central con parámetro de non-centralidade ${\displaystyle \mu }$.

Supóñase que X₁,..., X_n son variables aleatorias independentes distribuídas normalmente, con media μ e varianza σ²

Sexa

${\displaystyle {\overline {X}}_{n}=(X_{1}+\cdots +X_{n})/n}$

a media da mostra. Entón

${\displaystyle Z={\frac {{\overline {X}}_{n}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}}$

segue unha distribución normal de media 0 e varianza 1.

Non obstante, dado que o desvío estándar non sempre se coñece previamente, Gosset estudou un cociente relacionado,

${\displaystyle T={\frac {{\overline {X}}_{n}-\mu }{S_{n}/{\sqrt {n}}}},}$

${\displaystyle S^{2}(x)={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}$

é a varianza da mostra e demostrou que a función de densidade de T é

${\displaystyle f(t)={\frac {\Gamma ((\nu +1)/2)}{{\sqrt {\nu \pi \,}}\,\Gamma (\nu /2)}}(1+t^{2}/\nu )^{-(\nu +1)/2}}$

onde ${\displaystyle \nu \ }$ é igual a n − 1.

A distribución de T chámase agora a distribución-t de Student.

O parámetro ${\displaystyle \nu \ }$ representa o número de graos de liberdade. A distribución depende de ${\displaystyle \nu \ }$, pero non de ${\displaystyle \mu }$ ou ${\displaystyle \sigma }$, o que é moi importante na práctica.

O procedemento para o cálculo do intervalo de confianza baseado na t de Student consiste en estimar o desvío estándar dos datos S e calcular o erro estándar da media: ${\displaystyle {\overline {X}}={\frac {S}{\sqrt {n}}}}$, sendo entón o intervalo de confianza para a media: ${\displaystyle {\overline {X}}=\pm t_{\alpha /2,n-1}{\frac {S}{\sqrt {n}}}}$ .

Este resultado é o que se emprega no test de Student: posto que a diferenza das medias de mostras de dúas distribucións normais distribúese tamén normalmente, a distribución t pode empregarse para examinar se esa diferenza se pode supor razoablemente igual a cero.

Para efectos prácticos o valor esperado e a varianza son:

${\displaystyle E(t(n))=0}$ e ${\displaystyle Var(t(n-1))=n/(n-2)}$ para ${\displaystyle n>3}$ ${\displaystyle E(t(n))=0}$ e ${\displaystyle Var(t(n-1))=n/(n-2)}$ para ${\displaystyle n>3}$ ${\displaystyle E(t(n))=0}$ e ${\displaystyle Var(t(n-1))=n/(n-2)}$ para ${\displaystyle n>3}$ ${\displaystyle E(t(n))=0}$ e ${\displaystyle Var(t(n-1))=n/(n-2)}$ para ${\displaystyle n>3}$

A distribución de Student foi descrita en 1908 por William Sealy Gosset. Gosset traballaba nunha fábrica de cervexa, Guinness, que prohibía aos seus empregados a publicación de artigos científicos debido a unha difusión previa de segredos industriais. Por ese motivo, Gosset publicou os seus resultados baixo o pseudónimo de Student (“estudante”).^[1]

A distribución t pode xeralizarse a 3 parámetros, introducindo un parámero locacional ${\displaystyle \mu }$ e outro de escala ${\displaystyle \sigma }$. O resultado é unha distribución t de Student non estandarizada cunha densidade que está definida por:^[2]

${\displaystyle p(x|\nu ,\mu ,\sigma )={\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{\Gamma ({\frac {\nu }{2}}){\sqrt {\pi \nu }}\sigma }}\left(1+{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}}$

Equivalentemente, pode escribirse en termos de ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ (correspondente á varianza en vez de ao desvío estándar):

${\displaystyle p(x|\nu ,\mu ,\sigma ^{2})={\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{\Gamma ({\frac {\nu }{2}}){\sqrt {\pi \nu \sigma ^{2}}}}}\left(1+{\frac {1}{\nu }}{\frac {(x-\mu )^{2}}{\sigma ^{2}}}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}}$

Outras propiedades desta versión da distribución t son:^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (X)&=\mu \quad \quad \quad {\text{para }}\,\nu >1,\\{\text{Var}}(X)&=\sigma ^{2}{\frac {\nu }{\nu -2}}\,\quad {\text{para }}\,\nu >2,\\{\text{Moda}}(X)&=\mu .\end{aligned}}}$

• Tabla de distribución de t de Student
• Prueba t de Student na UPTC de Colombia
• Distribución t-Student: Puntos porcentuais para probabilidade superior
• Cálculo da probabilidade dunha distribución t de Student con R (linguaxe de programación)