Distribución de probabilidade

En teoría da probabilidade e estatística, a distribución de probabilidade dunha variable aleatoria é unha función que asigna a cada suceso definido sobre a variable aleatoria a probabilidade de que ese suceso ocorra. A distribución de probabilidade está definida sobre o conxunto de todos os sucesos; cada un dos sucesos é o rango de valores da variable aleatoria.

Para definir distribucións de probabilidade para o caso específico de variables aleatorias (de xeito que o espazo mostral pode verse como un conxunto numérico), é común distinguir entre discretas e absolutamente continuas. No caso discreto, abonda con especificar unha función masa de probabilidade, ${\displaystyle \ p\ }$, asignando unha probabilidade a cada posible resultado (por exemplo, cando se lanza un dado cada un dos seis díxitos “1” a “6”, correspondentes ao número de puntos do dado, ten a probabilidade ${\displaystyle \ {\tfrac {1}{6}})}$. A probabilidade dun evento defínese logo como a suma das probabilidades de todos os resultados que satisfán o evento; por exemplo, a probabilidade do evento "sae un valor par" é $${\displaystyle \ p({\text{“}}2{\text{”}})+p({\text{“}}4{\text{”}})+p({\text{“}}6{\text{ ”}})={\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{6}}={\tfrac {1}{2}}.}$$

Pola contra, cando unha variable aleatoria toma valores dun continuo, daquela por convención, a calquera resultado individual atribúeselle probabilidade cero. Para esas variables aleatorias continuas, só os eventos que inclúen un intervalo de resultados, teñen unha probabilidade superior a 0. Nese caso podemos usar tanto a función de densidade de probabilidade como a función de distribución acumulada para calcular a probabilidade, sendo normalmente máis cómodo usar esta última.

As distribucións de probabilidade absolutamente continuas pódense describir de varias maneiras. A función de densidade de probabilidade describe a probabilidade infinitesimal de calquera valor dado, e a probabilidade de que o resultado estea nun intervalo dado pódese calcular integrando a función de densidade de probabilidade sobre ese intervalo. Unha descrición alternativa da distribución é mediante a función de distribución acumulada, que describe a probabilidade de que a variable aleatoria non sexa maior que un valor determinado (é dicir,${\displaystyle P(X<x){\text{ para algún }}x}$). A función de distribución acumulada é a área baixo a función de densidade de probabilidade desde ${\displaystyle -\infty {\text{ a }}+\infty }$, como se mostra na figura 1.^[1]

Unha distribución de probabilidade pódese describir de varias formas, como unha función masa de probabilidade ou unha función de distribución acumulada. Unha das descricións máis xerais, que se aplica a variables absolutamente continuas e discretas, é mediante unha función de probabilidade ${\displaystyle P\colon {\mathcal {A}}\to \mathbb {R} }$ cuxo espazo de entrada ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ é unha σ-álxebra, e dá de resultado un número real como valor da probabilidade, en particular, un número no intervalo ${\displaystyle [0,1]\subseteq \mathbb {R} }$.

É común estudar distribucións de probabilidade cuxo argumento son subconxuntos do conxunto de números,^[2] e todas as distribucións de probabilidade que se comentan neste artigo son deste tipo. É común denotar como ${\displaystyle P(X\in E)}$ a probabilidade de que un determinado valor da variable ${\displaystyle X}$ pertenza a un determinado evento ${\displaystyle E}$.^[3][4]

A función de probabilidade só caracteriza unha distribución de probabilidade se satisfai todos os axiomas de Kolmogorov, é dicir:

1. ${\displaystyle P(X\in E)\geq 0\;\forall E\in {\mathcal {A}}}$, polo que a probabilidade non é negativa.
2. ${\displaystyle P(X\in E)\leq 1\;\forall E\in {\mathcal {A}}}$, polo que ningunha probabilidade supera ${\displaystyle 1}$
3. ${\displaystyle P(X\in \bigcup _{i}E_{i})=\sum _{i}P(X\in E_{i})}$ para calquera familia disxunta numerábel de conxuntos ${\displaystyle \{E_{i}\}}$

O concepto de función de probabilidade faise máis rigoroso ao definilo como o elemento dun espazo de probabilidade ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},P)}$, onde ${\displaystyle X}$ é o conxunto de posibles resultados, ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ é o conxunto de todos os subconxuntos ${\displaystyle E\subset X}$ cuxa probabilidade pode medirse e ${\displaystyle P}$ é a función de probabilidade, ou medida de probabilidade, que asigna unha probabilidade a cada un destes subconxuntos medibeis ${\displaystyle E\in {\mathcal {A}}}$.^[5]

Esta enumeración realízase dependendo do tipo de variábel a estudar.

a) Se a variábel é unha variable discreta (números enteiros), corresponderá a unha distribución discreta:

• Distribución binomial (eventos independentes).
• Distribución de Poisson (eventos independentes).
• Distribución hiperxeométrica (eventos dependentes).

b) Se a variábel é continua (números reais), a distribución que se xerará será unha distribución continua.

• Distribución normal ou de Gauss.
• Distribución de Cauchy
• Distribución exponencial

Dada unha variable aleatoria ${\displaystyle \scriptstyle X}$, a súa función de distribución, ${\displaystyle \scriptstyle F_{X}(x)}$, é

${\displaystyle F_{X}(x)=\mathrm {Prob} (X\leq x)=\mu _{P}\{\omega \in \Omega |X(\omega )\leq x\}}$

Por simplicidade, cando non hai lugar a confusión, adoita omitirse o subíndice ${\displaystyle \scriptstyle X}$ e escríbese, simplemente, ${\displaystyle \scriptstyle F(x)}$. Onde na fórmula anterior:

${\displaystyle \mathrm {Prob} \,}$, é a probabilidade definida sobre un espazo de probabilidade e unha medida unitaria sobre o espazo da mostra.

${\displaystyle \mu _{P}\,}$ é a medida sobre a σ-álxebra de conxuntos asociada ao espazo de probabilidade.

${\displaystyle \Omega \,}$ é o espazo da mostra, o conxunto de todos os posibles sucesos aleatorios, sobre o que se define o espazo de probabilidade en cuestión.

${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} }$ é a variable aleatoria en cuestión, é dicir, unha función definida sobre o espazo da mostra nos números reais.

Como consecuencia case inmediata da definición, a función de distribución:

• é unha función continua pola dereita.
• é unha función monótona non decrecente.

Ademais, cumpre

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }F(x)=0,\qquad \lim _{x\to +\infty }F(x)=1}$

Para dous números reais calquera ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ tales que ${\displaystyle (a<b)}$, os sucesos ${\displaystyle (X\leq a)}$ e ${\displaystyle (a<X\leq b)}$ son mutuamente excluíntes e a súa unión é o suceso ${\displaystyle (X\leq b)}$, polo que temos entón que:

${\displaystyle P(X\leq b)=P(X\leq a)+P(a<X\leq b)}$

${\displaystyle P(a<X\leq b)=P(X\leq b)-P(X\leq a)}$

e finalmente

${\displaystyle P(a<X\leq b)=F(b)-F(a)}$

Polo tanto unha vez coñecida a función de distribución ${\displaystyle F(x)}$ para todos os valores da variable aleatoria ${\displaystyle x}$ coñeceremos completamente a distribución de probabilidade da variable.

Para realizar cálculos é máis cómodo coñecer a distribución de probabilidade, e polo contrario para ver unha representación gráfica da probabilidade é máis práctico o uso da función de densidade.

Denomínase distribución de variable discreta aquela que ten unha función de probabilidade que só toma valores positivos nun conxunto de valores de ${\displaystyle X}$ finito ou infinito numerable. Esta función chámase función de masa de probabilidade. Neste caso a distribución de probabilidade é a suma da función de masa, polo que temos entón que:

${\displaystyle F(x)=P(X\leq x)=\sum _{k=-\infty }^{x}f(k)}$

e, tal como corresponde á definición de distribución de probabilidade, esta expresión representa a suma de todas as probabilidades dende ${\displaystyle -\infty }$ ata o valor ${\displaystyle x}$.

Denomínase variable continua aquela que pode tomar calquera dos infinitos valores existentes dentro dun intervalo. No caso da variable continua a distribución de probabilidade é a integral da función de densidade, polo que temos entón que:

${\displaystyle F(x)=P(X\leq x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,dt}$

Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría:  Distribución de probabilidade

• Función de densidade
• Medida de probabilidade

• "Probability distribution". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994]. 
• Field Guide to Continuous Probability Distributions, Gavin E. Crooks.
• Distinguishing probability measure, function and distribution, Math Stack Exchange