Derivada parcial

En matemáticas, unha derivada parcial dunha función de diversas variables, é a súa derivada respecto a unha desas variables mantendo as outras como constantes. As derivadas parciais son útiles no cálculo vectorial e na xeometría diferencial.

A derivada parcial dunha función f respecto á variable x represéntase con calquera das seguintes notacións equivalentes:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=\partial _{x}f=f'_{x}}$

Onde ${\displaystyle \scriptstyle \partial }$ é a letra 'd' redondeada, coñecida como o 'd de Jacobi'.

Cando unha magnitude ${\displaystyle A}$ é función de diversas variables (${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$,${\displaystyle z}$,${\displaystyle ...}$), é dicir:

${\displaystyle A=f\left(x,y,z,...\right)}$

Ao realizar esta derivada obtemos a expresión que nos permite obter a pendente da recta tanxente a dita función ${\displaystyle A}$ nun punto dado. Esta recta é paralela ao plano formado polo eixe da incógnita respecto á cal se fixo a derivada e o eixe z.

Analiticamente o gradiente dunha función é a máxima pendente de dita función na dirección que se elixa. Visto desde a álxebra linear, a dirección do gradiente indícanos cara a onde hai maior variación na función.

Supoñamos que ${\displaystyle \scriptstyle f}$ é unha función de máis dunha variable, é dicir, unha función real de variable vectorial. Para o caso,

${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}\,}$

É difícil describir a derivada de tal función, xa que existe un número infinito de liñas tanxentes en cada punto da súa superficie. A derivación parcial é o acto de elixir unha desas liñas e encontrar a súa pendente. Xeralmente, as liñas que máis interesan son aquelas que son paralelas ao eixe x, e aquelas que son paralelas ao eixe y.

Unha boa maneira de encontrar os valores para esas liñas paralelas é a de tratar as outras variables como constantes mentres se deixa a variar só unha. Por exemplo, para encontrar a liña tanxente da función de arriba en (1, 1, 3) que é paralela o eixe x, tratamos a variable y como constante. O gráfico da función e o plano y = 1 móstranse á dereita. Á esquerda, vemos como se ve a función, no plano y = 1. Encontrando a liña tanxente neste gráfico, descubrimos que a pendente da liña tanxente de ƒ en (1, 1, 3) que é paralela ao eixe x é tres. Que escribimos:

${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=3}$

no punto (1, 1, 3),

ou como "a derivada parcial de z con respecto a x en (1, 1, 3) é 3."

• Considera o volume V dun cono, este depende da altura h do cono e o seu radio r de acordo coa fórmula

${\displaystyle V(r,h)={\frac {r^{2}h\pi }{3}}}$

As derivadas parciais de V respecto a r e h son:

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial r}}(r,h)={\frac {2rh\pi }{3}},\qquad {\frac {\partial V}{\partial h}}(r,h)={\frac {r^{2}\pi }{3}}}$

• Outro exemplo, dada a función ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} }$ tal que:

${\displaystyle F(x,y)=3x^{3}y+2x^{2}y^{2}-7y\,}$

a derivada parcial de ${\displaystyle F}$ respecto de ${\displaystyle x}$ é:

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y)=9x^{2}y+4xy^{2}}$

mentres que con respecto de ${\displaystyle y}$ é:

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y)=3x^{3}+2x^{2}2y-7=3x^{3}+4x^{2}y-7}$

Como as derivadas nunha variable, as derivadas parciais están definidas como o límite. Onde U é un subconxunto aberto de Rⁿ e f : U → R unha función. Definimos derivada parcial de f no punto a = (a₁,..., a_n) ∈ U con respecto á i-ésima variable x_i como:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {a} )=\lim _{h\rightarrow 0}{f(a_{1},\dots ,a_{i-1},a_{i}+h,a_{i+1},\dots ,a_{n})-f(a_{1},\dots ,a_{n}) \over h}}$

Ou visto respecto á derivada direccional:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f({\vec {x}}_{0})=D_{\vec {v}}f\left({\vec {x}}_{0}\right)={\underset {t\rightarrow 0}{\lim }}{\frac {f\left({\overrightarrow {x_{0}}}+t{\vec {v}}\right)-f\left({\vec {x}}_{0}\right)}{t}}}$

onde ${\displaystyle {\vec {v}}}$ é o vector unitario do eixe respecto ao que se deriva (${\displaystyle {x_{i}}}$).

Se todas as derivadas parciais existen no punto a, a función non necesariamente é continua nese punto. Mais, se todas as derivadas parciais existen arredor de a e son continuas, entón a función non só é continua senón ademais diferenciable onda a. Neste caso, f é unha función C¹.

Para o seguinte exemplo, f será unha función de x e y.

• Derivadas parciais de primeira orde:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=f'_{x}=\partial _{x}f}$

Derivadas parciais (dobres) de segunda orde:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f''_{xx}=\partial _{xx}f,\qquad {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=f''_{yy}=\partial _{yy}f,}$

Derivadas cruzadas de segunda orde:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}=f''_{yx}=\partial _{xy}f,\qquad {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}=f''_{xy}=\partial _{yx}f,}$

En termodinámica e outras áreas da física emprégase a seguinte notación:

${\displaystyle \left({\frac {\partial Y}{\partial X}}\right)_{Z}}$

Que significa que ${\displaystyle \exists f_{XZ}(\cdot ):\ Y=f_{XZ}(X,Z)\,}$ e entón:

${\displaystyle \left({\frac {\partial Y}{\partial X}}\right)_{Z}:={\frac {\partial f_{XZ}(X,Z)}{\partial X}}}$

Esta notación úsase pois frecuentemente unha magnitude pode expresarse como función de diferentes variables polo que en xeral:

${\displaystyle \left({\frac {\partial Y}{\partial X}}\right)_{Z_{1}}\neq \left({\frac {\partial Y}{\partial X}}\right)_{Z_{2}}}$

Xa que a forma precisa das funcións ${\displaystyle f_{XZ_{1}}(\cdot ,\cdot )}$ e ${\displaystyle f_{XZ_{2}}(\cdot ,\cdot )}$ é diferente, é dicir, trátanse de funcións diferentes.

Á súa vez, a derivada parcial ${\displaystyle \partial _{x_{i}}f}$ pode verse como outra función definida en U e derivarse parcialmente. Se todas as súas derivadas parciais existen e son continuas, chamamos a f unha función C²; neste caso, as derivadas parciais poden ser intercambiadas polo teorema de Clairaut tamén coñecido como teorema de Schwartz.

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\,\partial x_{i}}}.}$

En R², se se cumpre o xa dito, asegúrase que:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}=f_{xy}=f_{yx}}$

• Derivada
• Derivada total
• Derivada de Lie
• Derivada covariante
• Xacobiano