Teòirim

’S e smuanairt a tha dearbhte a th’ ann an teòirim. Ann am matamataig, ’s e ràdh matamatagach a tha air a chur an cèill ann an riochd a ghabhas dearbhadh no breugnachadh a th’ ann an smuanairt, agus ma tha e air a dhearbhadh fo riaghailtean matamataige ’s e teòirim a th’ ann. Mur eil dearbhadh aig an smuanairt ach thathar a’ creidsinn gu bheil e fìor agus thathar a’ sùileachadh gun tig dearbhadh air a’ cheann thall, chan e teòirim ach baralachas a th’ ann.

Cha ghabh teòirim (no rudeigin eile) a dhearbhadh mar thà. Tha gach teòirim air a stèidheachadh air grunnan ro-fhìrinnean agus cha ghabh a dhearbhadh mur eil na ro-fhìrinnean seo fìor. ’S e sin ri ràdh gu bheil dearbhadh daonnan den riochd: ma tha A fìor, ’s ann a tha B fior. Ri linn sin tha ro-fhìrinnean an teòirim nam pàirt cudromach dheth. Tha gach teòirim an eisimeil air fìrinneachd a chuid ro-fhìrinnean. Mar as cumanta ’s e beachd-bharailean an teòirim a chanar ris na ro-fhìrinnean.

Is math a dh’fhaodte gum bi beachd-bharail(ean) an teòirim na theòirim fhèin is gum bi an dara teòirim air a stèidheachadh air teòirim eile (no air grunnan teòirimean eile). ’S ann mar seo a tha eòlas air a thogail. Ach aig bun an eòlais seo bidh grunnan beachd-bharailean nach gabh an dearbhadh, agus tha an t-eòlas air fad an eisimeil orra. Bhiodh an t-eòlas seo meallta mur biodh gach aon de na beachd-bharailean bunaiteach fìor. Canar teòiridh ris an eòlas (.i. seata theòirimean agus na co-dhùnaidhean a tha air an tarraing bhuapa) a tha an eisimeil air grunnan beachd-bharailean gun dhearbhadh.

Tro na linntean b’ e iomairt nam matamataichean teòiridhean matamataige stèidheachadh air grunnan aicseaman. Is iad seo beachd-bharailean a tha fèin-fhollaiseach (aig a’ char as lugha ann an suidheachadh air leth). Uaireannan, tha na h-aicseaman fhèin a’ dèanamh mìneachadh air an t-suidheachadh anns a bheil an teòiridh fìor. Mar eisimpleir, tha Teòiridh Ghrùpa an eisimeil air fìrinneachd an fhearta:

a + b = b + a

Nise, is cinnteach gu bheil seo fìor aig na h- àireamhan nàdarra, ach mur biodh e fìor aig dà uimhir a agus b de sheòrsa eile, cha bhiodh Teòiridh Ghrùpa fìor airson an t-seòrsa de dh’ uimhir a tha ann an a agus b. Ach aig an aon àm, cha bhiodh grùpa a th’ ann an t-seòrsa seo idir oir ’s e feart grùpa a tha fìrinneachd a’ cho-aontair seo. Tha Teòiridh Ghrùpa a’ buntainn ri grùpaichean a-mhàin. Chan eilear a’ tagradh gu bheil i fìor anns a h-uile suidheachadh. Anns am matamataig, canar Siostam Aicseamach ri teòiridh a tha stèidhichte air aicseaman agus Foirmeileas ris a’ bheachd-smuainealas a chleachdas mhodailean aicseamach a-mhàin. ’S e Teòiridh Dhearbhaidh an sgoilearachd shiostaman foirmeil aicseamach agus na dearbhaidhean a thigeadh bhuapa.

Chan e pàirt de theòirim a th’ anns an dearbhadh, mar a thà anns na beachd-bharailean. Faodaidh grunnan dearbhaidhean eadar-dhealaichte a bhith aig an aon theòirim. Mar as cumanta, tòisichidh dearbhadh bho bheachd-bharailean an teòirim. Leanaidh an dearbhadh ceum air cheum, agus gach ceum air a thuigsinn bhon cheum a th’ ann roimhe, gus an ruigear an co-dhùnadh a bheir dearbhadh air an smuanairt. Ach uaireannan tha feum aig an dearbhadh air ro-stèidhean eile. ’S e smuanairtean eile a th’ anntasan agus feumar an dearbhadh air a’ chiad dol-a-mach airson a’ phrìomh smuanairt a ghabhail dearbhaidh mar theòirim. Canar lèama ri smuanairt den t-seòrsa. Thoir an aire gu bheil diofar eadar lèama agus beachd-bharail. Tha lèama co-cheangailte ri dearbhadh an teòirim agus is math a dh’fhaodte gum bi dearbhadh eile ann gun fheum air an lèama seo, no aig a bheil feum air lèama(nnan) tur eadar-dhealaichte.

An uair ’s gu bheil teòirim air a dhearbhadh, uaireannan gabhaidh smuanairt eile a dhearbhadh cuideachd gu sìmplidh. Canar co-chnuasachd ri seo. ’S e ath-thoradh teòirim a th’ anns a’ cho-chnuasachd.

Mar a tha teòirim na smuanairt a tha na chuis-dhearbhte, ’s ann nach eil fìor dhiofar eadar teòirim, lèama agus co-chnuasachd, ach a-mhàin an suidheachadh às an èirich iad. Thathar a’ beachdachadh gu bheil teòirim nas cudromaich na lèama, ach tha grunnan lèama ann (me. Lèama Ghauss is Lèama Zorn) a tha air leth cudromach cuideachd. Corra uair tha teòirimean cudromach matamataig air an ainmeachadh leis na faclan “riaghailt”, “lagh” no “prionnsabal” (me. Riaghailt Chramer, Lagh nan Àireamhan Mòra, Prionnsabal Chot a’ Chalmain) ach sa chumantas tha na faclan “teòirim” no “lèama” nas fheàrr. Uaireannan tha am facal “frith-bharail” air a chleachdadh nuair a tha an smuanairt dearbhte ged tha tuar meallta aige (me. Frith-bharail Bhanach-Tarski), ach thathar a’ cleachdadh an fhacail seo cuideachd far a bheil smuanairt air a bhreugnachadh agus tuar aige gu robh e fìor.