Opérateur de Hecke

Mordell (1917) a utilisé les opérateurs de Hecke sur les formes modulaires dans un article sur les formes paraboliques spéciales de Ramanujan, bien avant la théorie générale développée par Hecke (1937a, 1937b). En donnant une expression des coefficients de la forme de Ramanujan

${\displaystyle \Delta (z)=q\left(\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})\right)^{24}=\sum _{n=1}^{\infty }\tau (n)q^{n},\quad q=e^{2\pi iz},}$ 

Mordell a démontré que la fonction tau de Ramanujan est une fonction multiplicative :

${\displaystyle \tau (mn)=\tau (m)\tau (n)\quad {\text{ si }}(m,n)=1.}$ 

L'idée remonte en fait aux travaux antérieurs d'Adolf Hurwitz, qui traitait des correspondances algébriques entre des courbes modulaires, que réalisent certains opérateurs de Hecke particuliers.

Les opérateurs de Hecke peuvent être réalisés dans plusieurs contextes. La définition la plus simple est combinatoire : étant donné un entier n, à une fonction f(Λ), définie sur l'ensemble des réseaux de rang donné, on associe

${\displaystyle \sum f(\Lambda ')}$ 

où la somme porte sur tous les Λ′ qui sont des sous-groupes de Λ d'indice n. Par exemple, pour un réseau Λ de rang deux avec n=2, il y a trois tels Λ′. Les formes modulaires sont des fonctions d'un genre particulier définies sur l'ensemble des réseaux, soumises à des conditions qui en font des fonctions analytiques et homogènes par rapport aux homothéties, ainsi qu'à une croissance modérée à l'infini ; ces conditions sont préservées par addition, de sorte que les opérateurs de Hecke préservent l'espace des formes modulaires d'un poids donné.

Une autre façon d'exprimer les opérateurs de Hecke consiste à utiliser des doubles classes dans le groupe modulaire. Dans l'approche adélique contemporaine, cela se traduit par des doubles classes par rapport à certains sous-groupes compacts.

Soit M_m l'ensemble des matrices entière 2×2 de déterminant m et soit Γ = M₁ le groupe modulaire complet SL(2, Z). Étant donnée une forme modulaire f(z) de poids k, le m-ième opérateur de Hecke agit par la formule

${\displaystyle T_{m}f(z)=m^{k-1}\sum _{\left({\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}}\right)\in \Gamma \backslash M_{m}}(cz+d)^{-k}f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right),}$ 

où z est dans le demi-plan supérieur et la constante de normalisation m^k−1 garantit que l'image d'une forme à coefficients de Fourier entiers a des coefficients de Fourier entiers. Ceci peut être réécrit sous la forme

${\displaystyle T_{m}f(z)=m^{k-1}\sum _{a,d>0,ad=m}{\frac {1}{d^{k}}}\sum _{b{\pmod {d}}}f\left({\frac {az+b}{d}}\right),}$ 

ce qui conduit à une expression des coefficients de Fourier de T_m(f(z)) = Σ b_nqⁿ en fonction de ceux de f(z) = Σ a_nqⁿ :

${\displaystyle b_{n}=\sum _{r>0,r\mid (m,n)}r^{k-1}a_{mn/r^{2}}.}$ 

On peut voir à partir de cette formule explicite que les opérateurs de Hecke avec des indices différents commutent et que si a₀ = 0 alors b₀ = 0, de sorte que le sous-espace S_k des formes paraboliques de poids k est préservé par les opérateurs de Hecke. Si une forme parabolique (non nulle) f est une forme propre simultanée de tous les opérateurs de Hecke T_m avec des valeurs propres λ_m alors a_m = λ_ma₁ et a₁ ≠ 0 . Les formes propres de Hecke sont normalisées de sorte que a₁ = 1, alors

${\displaystyle T_{m}f=a_{m}f,\quad a_{m}a_{n}=\sum _{r>0,r|(m,n)}r^{k-1}a_{mn/r^{2}},\ m,n\geq 1.}$ 

Ainsi, pour les formes paraboliques propres pour les opérateurs de Hecke normalisées de poids entier, leurs coefficients de Fourier coïncident avec les valeurs propres de Hecke.

Les algèbres engendrées par les opérateurs de Hecke sont appelées « algèbres de Hecke ». Ce sont des anneaux commutatifs. Dans la théorie classique des formes modulaires elliptiques, les opérateurs de Hecke T_n avec n premier avec le niveau qui agissent sur l'espace des formes paraboliques de poids donné sont autoadjoints pour le produit scalaire de Petersson (en). D'après le théorème spectral, il existe une base de formes modulaires qui sont des fonctions propres pour ces opérateurs de Hecke. Chacune de ces formes de base possède un développement en produit eulérien. Plus précisément, sa transformée de Mellin est la série de Dirichlet qui a pour produit eulérien celui dont le facteur local en chaque nombre premier p l'inverse^[pas clair] du polynôme de Hecke, un polynôme quadratique en p^−s.

Dans le cas traité par Mordell, l'espace des formes paraboliques de poids 12 par rapport au groupe modulaire complet est de dimension 1. Il en résulte que la forme ${\displaystyle \Delta }$  de Ramanujan admet un produit eulérien et que la fonction τ est multiplicative.

L'existence de cette algèbre d'opérateurs commutatifs joue un rôle important dans l'analyse harmonique des formes modulaires et des généralisations.

Cela dit, d'autres anneaux apparentés sont également appelés « algèbres de Hecke », bien que parfois le lien avec les opérateurs de Hecke ne soit pas tout à fait évident. Parmi ces algèbres figurent certains quotients des algèbres des groupes de tresses.

• Algèbre de Hecke
• Algèbre abstraite
• Relation de congruence d'Eichler-Shimura (en)
• Preuve de Wiles du dernier théorème de Fermat (en)

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hecke operator » (voir la liste des auteurs).

• Tom M. Apostol, « Chapitre 8 », dans Modular functions and Dirichlet series in number theory, vol. 41, Berlin, New York, Springer, coll. « Graduate Texts in Mathematics », 1990, 2^e éd. (ISBN 978-0-387-97127-8, DOI 10.1007/978-1-4612-0999-7, présentation en ligne)
• (en) « Hecke operator », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)
• (de) E. Hecke, « Über Modulfunktionen und die Dirichletschen Reihen mit Eulerscher Produktentwicklung. I. », Mathematische Annalen, vol. 114,‎ 1937a, p. 1-28 (ISSN 0025-5831, DOI 10.1007/BF01594160, zbMATH 0015.40202)
• (de) E. Hecke, « Über Modulfunktionen und die Dirichletschen Reihen mit Eulerscher Produktentwicklung. II. », Mathematische Annalen, vol. 114,‎ 1937b, p. 316-351 (ISSN 0025-5831, DOI 10.1007/BF01594180, zbMATH 0016.35503)
• Louis J. Mordell, « On Mr. Ramanujan's empirical expansions of modular functions. », Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, vol. 19,‎ 1917, p. 117-124 (JFM 46.0605.01, lire en ligne)
• Jean-Pierre Serre, « Chapitre 7 : formes modulaires », dans Cours d'arithmétique, Presses universitaires de France, 1985, 3^e éd., 192 p. (ISBN 978-2-13-041835-1), p. 127-178
• Don Zagier, « Elliptic Modular Forms and Their Applications », dans Kristian Ranestad (éd.), The 1-2-3 of Modular Forms, Springer, coll. « Universitext », 2008, x+266 (ISBN 978-3-540-74117-6, DOI 10.1007/978-3-540-74119-0), p. 1-103

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