Fonction tau de Ramanujan

Les premières valeurs de la fonction tau sont données dans le tableau suivant (suite A000594 de l'OEIS) :

Ramanujan (1916) a remarqué, sans le démontrer, les propriétés suivantes sur τ(n):

• τ(mn) = τ(m)τ(n) si pgcd(m,n) = 1 (ce qui signifie que τ(n) est multiplicative)
• τ(p^{r + 1}) = τ(p)τ(p^r) − p¹¹ τ(p^{r − 1}) pour p premier et r > 0.
• |τ(p)| ≤ 2p^11/2 pour tout premier p.

Les deux premières propriétés ont été prouvées par Mordell (1917) et la troisième, appelée la conjecture de Ramanujan, a été prouvée par Deligne en 1974 à la suite de sa preuve des conjectures de Weil (plus précisément, il l'a déduite en les appliquant à une variété de Kuga-Sato).

Pour k ∈ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  et n ∈ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ _>0, définissons σ_k(n) comme la somme des k ièmes puissances des diviseurs de n. La fonction tau satisfait plusieurs relations de congruence ; beaucoup d'entre elles peuvent être exprimées en termes de σ_k(n). En voici quelques-unes^[1] :

1. ${\displaystyle \tau (n)\equiv \sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{11}{\text{ pour }}n\equiv 1\ {\bmod {\ }}8}$  ^[2]
2. ${\displaystyle \tau (n)\equiv 1217\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{13}{\text{ pour }}n\equiv 3\ {\bmod {\ }}8}$  ^[2]
3. ${\displaystyle \tau (n)\equiv 1537\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{12}{\text{ pour }}n\equiv 5\ {\bmod {\ }}8}$  ^[2]
4. ${\displaystyle \tau (n)\equiv 705\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{14}{\text{ pour }}n\equiv 7\ {\bmod {\ }}8}$  ^[2]
5. ${\displaystyle \tau (n)\equiv n^{-610}\sigma _{1231}(n)\ {\bmod {\ }}3^{6}{\text{ pour }}n\equiv 1\ {\bmod {\ }}3}$  ^[3]
6. ${\displaystyle \tau (n)\equiv n^{-610}\sigma _{1231}(n)\ {\bmod {\ }}3^{7}{\text{ pour }}n\equiv 2\ {\bmod {\ }}3}$  ^[3]
7. ${\displaystyle \tau (n)\equiv n^{-30}\sigma _{71}(n)\ {\bmod {\ }}5^{3}{\text{ pour }}n\not \equiv 0\ {\bmod {\ }}5}$  ^[4]
8. ${\displaystyle \tau (n)\equiv n\sigma _{9}(n)\ {\bmod {\ }}7{\text{ pour }}n\equiv 0,1,2,4\ {\bmod {\ }}7}$  ^[5]
9. ${\displaystyle \tau (n)\equiv n\sigma _{9}(n)\ {\bmod {\ }}7^{2}{\text{ pour }}n\equiv 3,5,6\ {\bmod {\ }}7}$  ^[5]
10. ${\displaystyle \tau (n)\equiv \sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}691.}$  ^[6]

Pour p ≠ 23 premier, on a ^[1],[7]

1. ${\displaystyle \tau (p)\equiv 0\ {\bmod {\ }}23{\text{ si }}\left({\frac {p}{23}}\right)=-1}$ 
2. ${\displaystyle \tau (p)\equiv \sigma _{11}(p)\ {\bmod {\ }}23^{2}{\text{ si }}p{\text{ est de la forme }}a^{2}+23b^{2}}$  ^[8]
3. ${\displaystyle \tau (p)\equiv -1\ {\bmod {\ }}23{\text{ sinon}}.}$ 

Supposons que f soit une nouvelle forme (en) entière de poids k telle que ses coefficients de Fourier a(n) soient entiers. Soit le problème :

Étant donné que f n'a pas de multiplication complexe, est-ce que pour presque tous nombres premiers p, on a a(p) ≢ 0 (mod p) ?

En effet, la plupart des nombres premiers devraient avoir cette propriété, et sont par conséquent dits ordinaires. Malgré les grandes avancées de Deligne et Serre sur les représentations galoisiennes, qui déterminent a(n) (mod p) pour n premier à p, on ne sait pas comment calculer a(p) (mod p). Le seul théorème à cet égard est le célèbre résultat d'Elkies pour les courbes elliptiques modulaires, qui garantit qu'il existe une infinité de nombres premiers p tels que a(p) = 0, qui sont donc congrus à 0 modulo p. Il n'existe pas d'exemples connus de f sans multiplication complexe de poids supérieur à 2 pour lequel a(p) ≢ 0 (mod p) pour une infinité de nombres premiers p (bien que cela devrait être vrai pour presque tout p). Il n'y a pas non plus d'exemples connus avec a(p) ≡ 0 (mod p) pour une infinité de p. Certains chercheurs avaient commencé à douter que a(p) ≡ 0 (mod p) pour une infinité de p. Les seules solutions jusqu'à 10¹⁰ de l'équation τ(p) ≡ 0 (mod p) sont 2, 3, 5, 7, 2411 et 7 758 337 633 suite A007659 de l'OEIS^[9].

Lehmer (1947) a conjecturé que τ(n) ≠ 0 pour tout n. Lehmer a vérifié sa conjecture jusqu'à 214 928 639 999 (Apostol 1997, p. 22). Le tableau suivant récapitule l'avancée de la borne supérieure n ≤ N connue.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Ramanujan tau function » (voir la liste des auteurs).

• T. M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, 1997
• M. H. Ashworth, Congruence and identical properties of modular forms (D. Phil. Thesis, Oxford), 1968
• F. J. Dyson, Missed opportunities, vol. 78, 1972, 635–652 p. (DOI 10.1090/S0002-9904-1972-12971-9, zbMATH 0271.01005)
• O. Kolberg, Congruences for Ramanujan's function τ(n),‎ 1962 (MR 0158873, zbMATH 0168.29502)
• D.H. Lehmer, The vanishing of Ramanujan's function τ(n), vol. 14,‎ 1947, 429–433 p. (DOI 10.1215/s0012-7094-47-01436-1, zbMATH 0029.34502)
• N. Lygeros, A New Solution to the Equation τ(p) ≡ 0 (mod p), vol. 13,‎ 2010, Article 10.7.4 (lire en ligne)
• Louis J. Mordell, On Mr. Ramanujan's empirical expansions of modular functions., vol. 19, 1917, 117–124 p. (JFM 46.0605.01, lire en ligne)
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• Robert A. Rankin, Ramanujan revisited (Urbana-Champaign, Ill., 1987), Boston, MA, Academic Press, 1988, 245–268 p. (ISBN 978-0-12-058560-1, MR 938968, lire en ligne), « Ramanujan's tau-function and its generalizations »
• Srinivasa Ramanujan, On certain arithmetical functions, vol. 22, 1916, 159–184 p. (MR 2280861)
• J-P. Serre, Une interprétation des congruences relatives à la fonction ${\displaystyle \tau }$  de Ramanujan, vol. 14, 1968 (lire en ligne)
• H. P. F. Swinnerton-Dyer, Modular functions of one variable, III, vol. 350, coll. « Lecture Notes in Mathematics », 1973, 1–55 p. (ISBN 978-3-540-06483-1, DOI 10.1007/978-3-540-37802-0, MR 0406931)
• J. R. Wilton, Congruence properties of Ramanujan's function τ(n), vol. 31,‎ 1930, 1–10 p. (DOI 10.1112/plms/s2-31.1.1)

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