Onde acoustique de surface

En posant ${\displaystyle C_{L}^{2}={\frac {(\lambda +2\mu )}{\rho }}}$ la vitesse de propagation des ondes longitudinales et ${\displaystyle C_{T}^{2}={\frac {\mu }{\rho }}}$ la vitesse de propagation des ondes transversales, l'équation devient :

${\displaystyle C_{L}^{2}{\overrightarrow {grad}}(div({\vec {u}}))-C_{T}^{2}{\overrightarrow {rot}}({\overrightarrow {rot}}({\vec {u}}))={\frac {\partial ^{2}{\vec {u}}}{\partial t^{2}}}}$

Utilisons maintenant le Théorème de Helmholtz-Hodge, on peut alors décomposer le champ des déformations : ${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {u_{L}}}+{\vec {u_{T}}}}$ avec ${\displaystyle {\overrightarrow {rot}}{\vec {u_{L}}}={\vec {0}}}$ et ${\displaystyle div{\vec {u_{T}}}=0}$. Nous avons ainsi séparé la déformation due à l'onde longitudinale (${\displaystyle {\vec {u_{L}}}}$) de celle due à l'onde transversale (${\displaystyle {\vec {u_{T}}}}$).

Il vient alors ${\displaystyle {\vec {u_{L}}}={\overrightarrow {grad}}\psi }$ et ${\displaystyle {\vec {u_{T}}}={\overrightarrow {rot}}{\vec {A}}}$, avec ${\displaystyle \psi }$ le potentiel scalaire de la déformation due à l'onde longitudinale et ${\displaystyle {\vec {A}}}$ le vecteur potentiel de la déformation due à l'onde transversale. Comme seul le relationnel de ${\displaystyle {\vec {A}}}$ nous intéresse nous fixerons arbitrairement ${\displaystyle div{\vec {A}}=0}$.

En réinjectant la décomposition du champ des déformations dans l'équation de Navier on obtient :

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}{\vec {u_{L}}}}{\partial t^{2}}}-C_{L}^{2}{\vec {\Delta }}{\vec {u_{L}}}+{\frac {\partial ^{2}{\vec {u_{T}}}}{\partial t^{2}}}-C_{T}^{2}{\vec {\Delta }}{\vec {u_{T}}}={\vec {0}}}$

En utilisant les propriétés des composantes du champ des déformations :

${\displaystyle {\overrightarrow {grad}}({\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}-C_{L}^{2}\Delta \psi )+{\overrightarrow {rot}}({\frac {\partial ^{2}{\vec {A}}}{\partial t^{2}}}-C_{T}^{2}{\vec {\Delta }}{\vec {A}})={\vec {0}}}$

L'unicité de la décomposition d'Helmotz nous donne :

${\displaystyle {\overrightarrow {grad}}({\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}-C_{L}^{2}\Delta \psi )={\vec {0}}}$ donc ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}-C_{L}^{2}\Delta \psi =g(t)}$

${\displaystyle {\overrightarrow {rot}}({\frac {\partial ^{2}{\vec {A}}}{\partial t^{2}}}-C_{T}^{2}{\vec {\Delta }}{\vec {A}})={\vec {0}}}$ donc ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}{\vec {A}}}{\partial t^{2}}}-C_{T}^{2}{\vec {\Delta }}{\vec {A}}={\vec {G({\vec {r}})}}}$

Les solutions recherchées ne dépendent pas des fonctions ${\displaystyle g(t)}$ et ${\displaystyle {\vec {G({\vec {r}})}}}$, nous les fixerons donc à 0. Et finalement nous obtenons les équations des ondes régissant les propagations des ondes longitudinales et transversales dans un solide isotrope :

${\displaystyle ({\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}-C_{L}^{2}\Delta \psi )=0}$

${\displaystyle ({\frac {\partial ^{2}{\vec {A}}}{\partial t^{2}}}-C_{T}^{2}{\vec {\Delta }}{\vec {A}})={\vec {0}}}$