Beta-jakauma
Tiheysfunktio
|
Kertymäfunktio
|
Merkintä
|
|
Parametrit
|
|
Määrittelyjoukko
|
|
Tiheysfunktio
|
|
Kertymäfunktio
|
|
Odotusarvo
|
|
Moodi
|
|
Varianssi
|
|
Vinous
|
|
Huipukkuus
|
|
Entropia
|
|
Momentit generoiva funktio
|
|
Karakteristinen funktio
|
(katso hypergeometrinen funktio)
|
Fisherin informaatiomatriisi
|
|
Beta-jakauma[1] eli jakauma[2] on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma, jota käytetään bayesilaisessa todennäköisyyslaskennassa. Koska Beta-jakaumaa voi parametrisoida monella eri tavalla, sitä voidaan kutsua jakaumaperheeksi. Sen avulla voidaan esittää lähes kaikki äärelliselle välille konsentroituneet jakaumat.[1][2]
Jos satunnaismuuttuja on Beta-jakautunut parametreillä ja , merkitään se yleensä
- [1]
Satunnaismuuttujalla , joka on Beta-jakautunut ja jolla perusjoukko on [0,1], on kaksi positiivista parametria ja . Niiden avulla Beta-jakauman tiheysfunktio määritellään
- [1]
missä niin sanottu beta-funktio on
- [1]
jossa taas on gammafunktio. Beta-funktion tarkoituksena on "normalisoida" beta-jakauma niin, että sen tiheysfunktion määrätty integraali koko reaalialueen yli on tasan yksi.[3]
Toisinaan joskus parametrien arvoista vähennetään yksi ( ja ), jotta tiheysfunktion ja momenttifunktion kaavat yksinkertaistuisivat hieman.[4]
Beta-jakauman tiheysfunktiolla on seuraavanlaisia ominaisuuksia:[1]
- kaikilla
- Jos ja , niin on aidosti kasvava ja sen maksimikohta on välin päätepisteessä
- Jos ja , niin on aidosti vähenevä ja sen maksimikohta on välin päätepisteessä
- Jos ja , niin on yksihuippuinen ja sen maksimikohta on välin sisäpisteessä
- Jos ja , niin on U:n muotoinen ja sillä on lokaalit maksimikohdat on välin päätepisteissä ja
- on symmetrinen, jos
Beta-jakauman kertymäfunktion lauseketta ei ole mahdollista kirjoittaa eksplisiittiseen muotoon, koska sen tiheysfunktion integraalifunktiota ei voi kirjoittaa lausekkeeksi alkeisfunktioiden avulla. Ne onkin tapana esittää vain numeerisessa muodossa aivan kuten toimitaan normaalijakaumassakin.[1]
Momenttifunktio eli momentit generoiva funktio saadaan määritelmästä
Sen avulla voidaan määritellä origomomentit ja keskusmomentit. Origomomenttien yleinen muoto on
- [4]
ja koska gammafunktiolla on , siitä saadaan ensimmäiset momentit
ja
Keskusmomenttien yleinen muoto on
missä on hypergeometrinen funktio.[4]
Ensimmäinen origomomentti voidaan laskea myös suoraan
-
- [1]
Jakauman odotusarvo saadaan ensimmäisestä origomomentista
- [4]
Sen varianssi on taas suoraan toinen keskusmomentti
- [3][4]
Jakauman tiheysfunktion vinous määritetään kahden keskumomentin avulla
- [3][5][4]
Vinous on nolla, mikä näkyy tasajakauman tiheysfunktion kuvaajasta, joka on täysin symmetrinen.
Jakauman huipukkuus määritetään kahden keskusmomentin avulla
- [3][6][4]
Negativinen huipukkuus näkyy tiheysfunktion kuvaajassa siten, että kuvaaja on "tasa- ja litteäpäinen" eikä terävää kärkeä esiinny ollenkaan.
Jakauman moodi sijaitsee välin [0,1] sisäpisteessä, kun ja
Jos tai voi moodi sijaita välin päätepisteessä. Kun on jakauma tasajakauma ja kaikki pisteet ovat moodi.[3]
Tarkastellaan toistokoetta, jonka yksittäisen kolikonheiton arvoksi voi tulla vain "kruuna" tai "klaava" todennäköisyyksillä ja . Heittojen kokonaismäärän ollessa , noudattaa saatujen kruunujen yhteismäärät binomijakaumaa . Jos halutaan selvittää "kruunan" todennäköisyyttä , kun saadaan "kruunaa", on se Beta-jakautunut .[7]
Edellinen ongelma on perinteisesti ratkaistu käyttäen normaalijakaumaa, mutta Beta-jakauma antaa silloin oikean tuloksen, kun se määritellään
Normaalijakauma antaa harhaisen tuloksen, mikäli toistojen lukumäärä on pieni ja suhde on lähellä arvoa 0 tai 1.[7]
Beta-jakaumaa tulisi käyttää normaalijakauman sijasta approksimoitaessa binomijakaumaa epäsymmetrisissä tiheysjakauman tilanteissa. Esimerkiksi epäsymmetrisessä ja kahta arvoa antavassa satunnaistapauhtumassa kannattaa käyttää diskreetin binomijakauman approksimoimiseksi jatkuvaa Beetta-jakaumaa. Yleensä binomijakaumaa approksimoidaan normaalijakaumalla, mutta se ei toimi kunnolla, kun toista arvoa esiintyy tuntuvasti enemmän kuin toista.[7]
Beta-jakaumaa voidaan käyttää arvioitaessa tasajakaumien arvoja. Arvotaan n satunnaismuuttujalle arvot . Arvot lajitellaan suuruusjärjestykseen, jolloin arvo merkitään uudella tavalla kun se on järjestyksessä i:nnes. (eli < < ... < ). Silloin arvo kun .[8]
Beta-jakaumasta saadaan tasajakauma, mikäli parametrit ovat molemmat yksi
- [2]
- ↑ a b c d e f g h Mellin, Ilkka: Todennäköisyysjakaumat, s. 407−410, luentomonisteesta Todennäköisyyslaskenta, Aalto-yliopisto, 2006
- ↑ a b c Rahiala, Markku: Satunnaismallien teoria (Arkistoitu – Internet Archive), s. 21−22, Oulun yliopisto, 2002
- ↑ a b c d e Johnson, Paul & Beverlin, Matt: Beta Distribution, 2013
- ↑ a b c d e f g Weisstein, Eric W.: Beta Distribution (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
- ↑ Weisstein, Eric W.: Skewness (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
- ↑ Weisstein, Eric W.: Kurtosis (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
- ↑ a b c Stich, Slater: Use the Beta Distribution
- ↑ Laurent, Stéphane: The Beta distribution also appears as an order statistic...
Diskreettejä jakaumia
|
|
Jatkuvia jakaumia
|
|
Moniulotteisia jakaumia
|
|