Translazio

Translazioak orientazio-aldaketarik gabeko mugimendu zuzen gisa uler daitezke, hau da, lekualdatutako irudi edo objektuen forma eta tamaina mantentzen dute, bektorearen arabera horietara lerratzen direlarik. Edozein P eta Q puntutarako isometria-izaera duenez, distantzien arteko identitate hau betetzen da:

${\displaystyle d(P,Q)=d(T(P),T(Q))=d(P',Q')\;}$ 

Eta honakoa betetzen da: ${\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}={\overrightarrow {P'Q'}}}$ 

Oharrak:

1. lekualdatutako irudia hasierako irudiaren berdina da.
2. lekualdatutako irudiak jatorrizko irudiaren orientazioa mantentzen du.

Geometrian, translazio bertikal bat objektu geometriko baten translazio bat da, koordenatu sistema kartesiarraren ardatz bertikalarekiko paraleloa den norabide batean^[1][2][3].

Translazio bat antzeko transformazio kasu partikular bat denez, baina ez transformazio lineal baten, eskuarki koordenatu homogeneoak erabiltzen dira translazioa matrize baten bidez irudikatzeko eta, horrela, transformazio lineal gisa adierazi ahal izateko dimentsio handiagoko espazio baten gainean.

Honela, v = (v_x, v_y, v_z) berridatzi daiteke lau koordenatu homogeneo erabiliz, v = (v_x, v_y, v_z, 1) gisa. Kondizio horietan, translazio bat matrize baten bidez adieraz daiteke:

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$ 

Izan ere, ikus daitekeenez, matrize hori bektore baten koordenatu homogeneoetako irudikapenarekin biderkatzeak esperotako emaitza sortzen du:

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }\mathbf {p} ={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{x}+v_{x}\\p_{y}+v_{y}\\p_{z}+v_{z}\\1\end{bmatrix}}=\mathbf {p} +\mathbf {v} .\!}$ 

Translazio-matrize baten alderantzizkoa desplazamendu bektorearen norabidearen zeinua aldatuz lor daiteke.

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }^{-1}=T_{-\mathbf {v} }.\!}$ 

Era berean, bi translazio matrizeren produktua honela adieraz daiteke:

${\displaystyle T_{\mathbf {u} }T_{\mathbf {v} }=T_{\mathbf {u} +\mathbf {v} }.\!}$ 

Bektoreen batura kommutatiboa denez, translazio-matrizeen biderketa ere konmutatiboa da, matrize arbitrarioekin gertatzen den ez bezala, hauek ez baitute nahitaez translazioak irudikatzen.

• Biraketa (matematika)