[go: up one dir, main page]
Wikipedia

Euklides

Euklides (grezieraz: Εὐκλείδης; Eukleídēs; fl. K.a. 300) matematikari, geometra eta logikari greziarra izan zen. Sarri "geometriaren aita" esaten zaio, Elementuak liburua idazteagatik ezaguna, geometriaren fundamentuak ezarri zituen liburua XIX. mendearen hasierara arte. Bere sistema, gaur egun geometria euklidear gisa ezaguna, berrikuntza ugari izan zituen, lehenagoko greziar matematikarien teorien sintesiarekin batera, tartean Eudoxo Knidokoa, Hipokrates Kioskoa, Tales Miletokoa eta Teetetoren lanak. Arkimedesen eta apolonio Pergakoarekin batera, Euklides antzinaroko matematikarien artean nabarmentzen da, eta matematikaren historiako eraginkorrena.

Euklides
Bizitza
Jaiotzako izen-deiturakΕὐκλείδης
Jaiotzaezezaguna, K.a. IV. mendea
HerrialdeaAntzinako Atenas
BizilekuaAlexandria
Heriotzaezezaguna eta Alexandria, ezezaguna ( urte)
Hezkuntza
Hizkuntzakantzinako greziera
Ikaslea(k)
Jarduerak
Jarduerakmatematikaria eta idazlea
Lan nabarmenak

Oso gutxi dakigu Euklidesen bizitzaz, eta informazio gehiena Proklo eta Pappus Alexandriakoa jakintsuetatik dator, mende asko geroago. Erdi Aroko matematikari islamiarrek fantasiazko biografia bat asmatu zuten, eta bizantziar erdi aroko jakintsuek eta Errenazimentuko hasierako idazleek Euklides Megarakoa filosofoarekin nahastu zuten. Gaur egun, oro har, onartzen da Alexandrian egin zuela karrera, eta K.a. 300. urtearen inguruan bizi izan zela, Platonen ikasleen ondoren eta Arkimedesen aurretik. Euklidesek Platonen Akademian ikasteko eta geroago Museionean irakasteko aukera zuela ematen du. Atenasko aurreko tradizio platonikoaren eta Alexandriaren atzeko tradizioaren artean zubi bat izan zuela uste da.

Elementuetan, Euklidesek axioma-multzo txiki batetik ondorioztatu zituen teoremak. Perspektibari, sekzio konikoei, geometria esferikoari, zenbakien teoriari eta zehaztasun matematikoari buruzko lanak ere idatzi zituen. Elementuez gain, Euklidesek oinarrizko testu goiztiarra idatzi zuen optikaren inguruan, eta hain ezagunak ez diren Datua eta Fenomenoak. Zalantzan jarri da "Irudien zatiketei buruz" eta "Katoptrika" lanen egilea ote zen. Galdutako lan asko idatzi zituela uste da.

Etimologia

aldatu

'Euklides' izena Antzinako Greziako izenaren moldaera da, Eukleídes (Εὐκλείδης)[1]. Bi hitzez osatua dago, 'eu-' (εὖ; 'ondo') eta 'klês' (-κλῆς; 'fama'), hau da, "fama onekoa, loriatsua". Euskaraz, metonimia bidez, 'Euklides' erabili daiteke bere lanik ezagunena izendatzeko, Euklidesen elementuak, edo sinpleki geometriaren sinonimo gisa[2].

Bizitza

aldatu

Kontakizun tradizionala

aldatu
 
Euklides eskolak ematen, Atenasko eskola margolanaren xehetasunean (Rafael).

Antzinako Greziako matematikari askorekin gertatzen den bezala, Euklidesen bizitzako xehetasunak ezezagunak dira gehienetan[3]. Lau trataturen autoretzat jotzen da -Elementuak, Optika, Datuak eta Fenomenoak-, baina horretaz gain, ez dakigu ezer ziur[4]. Narrazio tradizionala K.o. V. mendeko Prokloren kontakizunean oinarritzen da batez ere, Euklidesen Elementuen lehen liburuari egindako iruzkinean, bai eta Pappus Alexandriakoaren IV. mende hasierako pasadizo batzuetan ere[5][6].

Prokloren arabera, Euklides Platonen jarraitzaile batzuen ondoren bizi izan zen (K.a. 347 inguru) eta Arkimedes matematikariaren aurretik (K.a. 287 - C. 212); zehazki, Proklok Euklides Ptolomeo I.aren erregealdian kokatzen du (K.a. 305/304-282 r.)[7][3][3]. Ez dakigu Euklidesen jaiotza data zein den; zenbait adituk K.a. 330[8][9] edo 325 inguruan[10][11] kokatzen dute, baina beste batzuk ez dute argi[12]. Uste da jatorri grekoa zuela[8], baina ez dakigu non jaio zen[13][oh 1]. Proklok zioen Euklidesek tradizio platonikoari jarraitzen ziola, baina ez dago behin betiko baieztapenik horri buruz[15]. Oso litekeena da Platonen garaikidea izatea, eta, beraz, Platonen dizipuluek Atenasko Akademia Platonikoan hezi zutela jotzen da[16]. Thomas Heath historialariak teoria horren alde egin zuen, eta adierazi zuen gai ziren geometra gehienak Atenasen bizi zirela[17] , Euklidesek lan horretan oinarritu zituen geometroen artean daudenak barne[18][5]; Sialarosek uste du susmo hutsa dela[18][5]. Nolanahi ere, Euklidesen lanaren edukiak tradizio geometriko platonikoarekin duen lotura erakusten du[8].

Bilduman, Pappusek aipatzen du Apolonio Pergakoak Alexandrian ikasi zuela Euklidesen ikasleekin, eta horrek aditzera eman du Euklidesek matematika-tradizio bat landu eta sortu zuela han[7][19][17]. Hiria Alexandro Handiak sortu zuen K.a. 331. urtean[20], eta Ptolomeo I.aren gobernuak, K.a. 306. urtetik aurrera, egonkortasun nahiko berezia eman zion Diadokoen gerra kaotikoen erdian, Alexandroren inperioa zatitzeko helburua zutenak[21]. Ptolomeok helenizazio prozesu bati ekin zion eta eraikuntza ugari enkargatu zituen, Musaeum erakunde itzela eraikiz, hezkuntza zentro nabarmena izan zena[13][oh 2]. Euklides Musaeumeko lehen jakintsuetako bat izan zela uste da[20]. Ez dakigu noiz hil zen Euklides; K.a. 270. urte inguruan hil zela pentsatu da[20].

Identitatea eta historikotasuna

aldatu
 
Domenico Maroliren Euklides Megarakoa emakumez janzten da Sokrates Atenasen irakasten entzuteko. Garai horretan Euklides filosofoa eta Euklides matematikaria nahastu ohi ziren, eta pertsona berbera zirela uste zen, beraz margolan honetan objektu matematikoak agertzen dira mahaian[23].

Askotan, Euklidesi Euklides Alexandriakoa esaten zaio, aurreko filosofotik (Euklides Megarakoa) bereizteko. Platonen elkarrizketetan Sokratesen ikaslea da Euklides, eta harekin nahastu izan da historikoki[5][12]. Valerio Maximok, K.o. I. mendeko anekdota-biltzaile erromatarrak, Euklides izenaren ordez, Eudoxo izena jarri zuen (K.a. IV. mendea), kuboa nola bikoiztu galdetzen ziotenean Platonek gomendatzen zuen matematikari gisa[24]. Agian, mende bat lehenago, gutxi gorabehera, bizi izan zen Euklides izeneko matematikoa bat aipatzen zelako, Erdi Aroko bizantziar iturrietan (gaur egun galduta) nahastu zen Euklides Megarakoarekin[25]. Hori dela eta, Euklides matematikariari bien biografien xehetasunak esleitu zitzaizkion, Megarensis liburuan egiten den bezala[5][26]. Teodoro Metokites bizantziar jakintsuak (1300 inguruan) esplizituki nahastu zituen bi Euklidesak, bai eta Erhard Ratdolt inprimatzailearen Campanus Novarakoaren Elementuen latinezko itzulpeneko 1482ko hitzaurrean ere[25]. Bartolomeo Zamberti matematikariak Euklides baten edo bestearen gaineko biografia-zatirik gehienak 1505eko Elementuen itzulpenaren hitzaurrera gehitu ondoren, ondorengo argitalpenek ez zuten aintzat hartu identifikazio hori[25]. Errenazimentuko ondorengo ikertzaileek, bereziki Peter Ramusek, berraztertu zuten baieztapen hori, eta frogatu zuten gezurra zela, kronologia eta kontraesanak zeudelako iturri primitiboetan[25] .

Erdi Aroko iturri arabiarrek Euklidesen bizitzari buruzko informazio ugari eskaintzen dute, baina erabat konprobaezinak dira[5]. Ikerlari gehienek uste dute bertako baieztapenak ez direla egia[7]; Heathek, bereziki, dio fikzionalizazioa matematikari beneratu baten eta mundu arabiarraren arteko lotura indartzeko egin zela[15]. Euklidesi buruzko kontakizun anekdotiko asko ere badaude, historikotasun ezezagunekoak, "zahar atsegin eta jentil gisa irudikatzen dute"[27]. Proklorena da ezagunena. Ptolomeok Euklidesi galdetu zion ea geometria ikasteko bide azkarragorik ote zegoen bere elementuak irakurtzea baino, eta Euklidesek erantzun zion "ez dagoela geometriarako errege biderik"[27]. Pasadizo hau eztabaidagarria da, Estobeok aipatzen duelako Menekmo eta Alexandro Handiaren arteko beste eztabaida batean[28]. Bi kontakizunak K.o. V. mendean idatzi ziren, bakar batek ere ez du bere iturria adierazten eta bat ere ez da agertzen antzinako literatura grekoan[29].

Euklidesen K.a. 300 inguruko jardueraren datazio irmo oro zalantzan jartzen da, erreferentzia garaikiderik ez dagoelako[5]. Euklidesen jatorrizko lehen erreferentzia Apolonioren Konikak gutunean dago (K.a. II. mendearen hasiera): "Koniken hirugarren liburuak teorema harrigarri asko ditu, bai sintesirako bai leku geometriko solidoen soluzioen kopurua zehazteko erabilgarriak direnak. Gehienak eta finenak berriak dira. Eta aurkitu genituenean konturatu ginen Euklidesek ez zuela egin leku geometrikoaren sintesia hiru eta lau zuzenetan, baizik eta haren zati akzidental bat soilik, eta hori ere ez zegoela gaizki eginda."[24] Elementuen zati bat K.a. III. mendean zirkulazioan zegoela uste da, Arkimdesek eta Apoloniok bertako proposizio asko arazorik gabe onartzen baitituzte[5]; hala ere, Arkimedesek proportzioen teoriaren aldaera zaharragoa erabili zuen Elementuetan dagoena baino[7]. Elementuen barruko materialaren kopia fisiko zaharrenak, K.o. 100. urtekoak gutxi gorabehera, Oxirrinkoko zabortegi zahar batean, Egipto erromatarrean, lurperatutako papiro-zatietan daude. Elementuen aipamen zuzen zaharrena ez da agertzen K.o II. mendera arte, Galenok eta Alexandro Afrodisiasek eginak[24]; garai horretarako, eskola liburu oso ohikoa zen. Antzinako Greziako matematikari batzuek Euklides izenez aipatzen zuten, baina beste batzuek "ὁ στοιχειώτης" ("Elementuen egilea") gisa aipatzen dute[30]. Erdi Aroan, ikerle batzuek eztabaidatu zuten Euklides pertsonaia historikoa ote zen, eta proposatu zuten bere izena grezierazko terminologia matematikoaren korrupzio batetik iritsi zela[31].

Lana

aldatu
« Niretzat misterioa da Euklidesen matematikak naturako hainbat esparru argitu eta ulertzeko balio izatea. Euklidesen liburua orain dela bi mila urte dago idatzirik, baina balio izaten jarraitzen du. Egia da XIX. mendearen amaieran beste geometria batzuk sortu zirela, baina Euklidesenak betiko balio du, eta ez soilik matematikarako. Horri buruzko esplikaziorik ez daukat, enigma bat da. »

—Jose Ramon Etxebarria[32][33]

Elementuak

aldatu
Sakontzeko, irakurri: «Euklidesen Elementuak»
 
Oxirrinkoko papiro zati bat, Euklidesen Elementuak erakusten, K.o. 75-125 artean egina. II. Liburuaren 5. proposizioa erakusten du.[34]

Euklides bere hamahiru liburuko tratatuarengatik ezaguna da, Elementuak (antzinako grezieraz: Στοιχεῖα, Stoicheia), bere magnum opus gisa hartzen dena[35][36]. Agustin Arrieta filosofoaren arabera, Euklidesen Elementuak arrazonamendu zehatzaren eta zientifikoaren eredua izan da bi mila urtez, eta, segur aski, bibliografia zientifikoaren barruan testurik klasikoena da[37]. Liburuaren edukiaren gehiengoa lehenagoko matematikariengandik jasota dago, tartean Eudoxo Knidokoa, Hipokrates Kioskoa, Tales Miletokoa eta Teeteto, eta beste teorema batzuk Platonek eta Aristotelesek ere aipatzen dituzte. Zaila da Euklidesen lana eta bere aurrekariena desberdintzen, batez ere Elementuak liburuak aurreko beste greziar matematikari batzuen lan galduetatik asko edaten duelako[38][39]. Markus Asperrek ondorioztatu zuen "badirudi Euklidesen lorpena dela ezagutza matematiko onartua batzea, ordena ulergarri batean, eta gakoak betetzeko proba berriak sortuz". Serafina Cuomo matematikariak dio "emaitzen biltegi" handi bat dela[40][39]. Hala ere, Sialarosek dio "Elementuen egitura trinkoak esaten digu autoreak kontrol handia zuela, editore sinplea baino askoz handiagoa"[41].

Elementuak ez da geometriaz soilik arduratzen, batzuetan uste den bezala[38]. Tradizioz, hiru gaitan banatzen da: geometria laua (1-6 liburuak), oinarrizko zenbakien teoria (7-10 liburuak) eta geometria solidoa (11-13 liburuak), nahiz eta 5. liburua (proportzioen gainekoa) eta 10. liburua (lerro irrazionalen gainekoa) ez datozen guztiz bat eskema horrekin[42][43]. Testuaren nukleoa teorema sakabanatuak dira[36]. Aristotelesen terminologia erabiliz, bi kategoriatan bana daitezke: "lehen printzipioak" eta "bigarren printzipioak"[44]. Lehen taldeak definizio gisa etiketatutako baieztapenak ditu (ὅρος or ὁρισμός), postulatuak (αἴτημα) edo nozio komunak (κοινὴ ἔννοια)[44][45]; lehen liburuak soilik ditu postulatuak[38] —geroago axioma deitu zirenak[45]— eta nozio komunak. Bigarren multzoan proposamenak daude, froga matematikoekin eta diagramekin batera[44][46]. Ez dakigu Euklidesek Elementuak testuliburu izatea nahi zuen, baina bere aurkezpenak natural bihurtzen du horrelako helburua[41]. Oro har, autorearen ahotsak orokorra eta inpertsonala izaten jarraitzen du[39].

Edukiak

aldatu

Postula bitez:

  1. Lerro zuzen bat marraztea edozein puntutatik edozein puntutara.
  2. Zuzen finitu bat etengabe luzatzea lerro zuzenean.
  3. Zirkulu bat egitea edozein zentro eta distantzia hartuz.
  4. Angelu zuzen guztiak elkarren berdinak izatea.
  5. Zuzen batek bi zuzen ebakitzean alde bereko barne-angeluak bi angelu zuzen baino txikiagoak egiten baditu, bi zuzenek, mugagabeki luzaturik, elkarrekin topo egingo dute bi angelu zuzen baino txikiagoak diren angeluen aldean.
— [47]

Elementuen lehenengo liburua testu osoarentzako oinarriak ezartzen ditu[38]. Lehenengo eta behin 23 definizio ditu geometriaren oinarrizko kontzeptuak azaltzeko, hala nola lerroak, angeluak eta poligono erregularrak[48]. Euklidesen, ondoren, 10 ideia ezartzen ditu (ikus alboko taula), bost postulatuekin (axiomak) eta bost nozio komunekin[49][50]:

  1. Gauza beraren berdinak diren gauzak elkarren berdinak ere badira18 .
  2. Gauza berdinei gauza berdinak eransten bazaizkie, guztizkoak ere berdinak dira.
  3. Gauza berdinei gauza berdinak kentzen bazaizkie, hondarrak ere berdinak dira.
  4. Elkarrekin bat datozen gauzak elkarren berdinak dira.
  5. Osoa zatia baino handiagoa da.

Ideia hauek ondoren sortutako teoremen oinarri logikoa ezartzen dute, hau da, sistema axiomatiko bat sortzen du. Nozio komunek magnitudeen arteko alderaketa baino ez dute ukitzen. 1-4 postulatuak nahiko argiak badira ere, 5.a paraleloen postulatua da, oso desberdina eta nabarmena geometriaren historian[51][52][53]

I. Liburuak beste 48 proposizio ditu, oinarrizko teoremak ukitzen dituztenen eta geometria laua eta triangeluen kongruentzia ukitzen dutenen artean zatituta (1-26); lerro paraleloak (27-34); triangelu eta paralelogramoen azalera (35-45) eta Pitagorasen teorema (46–48).[51] Azken hauetan Pitagorasen teoremaren idatzizko demostrazio goiztiarrena da, Sialarosen arabera, nabarmen delikatua.[44]

II. Liburuak geometria aljebraikoa ukitzen duela esaten da, baina 1970ko hamarkadaren ostean eztabaida handia egon da interpretazio horren inguruan; kritikariek diote ezaugarritze hori anakronikoa dela, aljebraren jaiotza mende batzuk beranduago gertatu zelako.[44] Bigarren liburuak teorema aljebraikoak eskaintzen ditu, hainbat forma geometrikorekin batera.[38][51] Laukizuzen eta laukien azaleran zentratzen da, eta kosinuen legearen aurrekari geometriko bat ere badu.

III. Liburua zirkuluetan zentratzen da, IV.ak poligono erregularrak azaltzen ditu, batez ere pentagonoak.[38][54] V. Liburua sekziorik garrantzitsuenetakoa da, eta "proportzioaren teoria orokorra" deitzen dena aurkezten du.[55] VI. Liburuak "arrazoien teoria" azaltzen du geometriaren testuinguruan.[38] Lehenengo proportzioaren gainean eraikita dago, batez ere:[56] "Altuera beraren azpian dauden triangeluak eta paralelogramoak beren oinarriak bezalakoak dira elkarrekiko.".[57]

 
Bost solido platonikoak, geometria solidoaren oinarriak, XI-XIII liburuetan lantzen direnak.

VII. liburutik aurrera, Benno Artmann matematikariak dio "Euklides berriro hasten da. Aurreko liburuetan aipatutako ezer ere ez da berriro ere erabiltzen".[58] Zenbakien teoria 7-10 liburuen artean jorratzen da, lehenengo paritatea, zenbaki lehen eta beste kontzeptu aritmetiko batzuen 22 definiziorekin.[38] VII. liburuak Euklidesen algoritmoa, zatitzaile komun handiena aurkitzeko metodo bat, azaltzen du.[58] VIII. liburuak progresio geometrikoa eztabaidatzen du, IX. liburuak Euklidesen teorema izena duen proposizioa duen bitartean, zenbaki lehen infinituak daudela dioena.[38] X. liburua da luzeena eta konplexuena, zenbaki irrazionalak eta magnitudeak aztertzen dituena.[44]

Azken hiru liburua (XI-XIII), geometria solidoari buruz aritzen dira.[42] 37 definizioko zerrenda bat sortuz, XI. liburuak hurrengo bien testuingurua ezartzen ditu.[59] Bere oinarrian I. liburuaren antza badu ere, ez du ez axiomarik ez postulaturik sortzen.[59]

Beste lan batzuk

aldatu

Elementuez gain beste bost liburuk biziraun dute gaur egunera arte. Egitura berbera jarraitzen dute, lehenengo definizioak ematen dira eta, ondoren, proposizioak horren bidez frogatzen dira.

  • Katoptrikak ispiluen teoria matematikoa aztertzen du, batez ere plano batean sortzen diren irudiena eta ispilu esferiko ganbilena, baina baliteke liburua ez izatea berea[60].
  • Datuak (Δεδομένα), problema geometrikoetan "emandako" informazioaren inplikazioak eta natura aztertzen dituen testu labur bat da. Jatorrizko grezierazko testua eta arabierazko testua heldu zaizkigu. Elementuak liburuaren osagarria edo antzekoa da, baina analitikoagoa[61].
  • Irudien zatiketaz (Περὶ Διαιρέσεων‎) soilik atal bat iritsi zaigu, arabieratik. Figura geometrikoen zatiketaren inguruan aritzen da. Esaterako, lehenengo proposizioak honako hau eskatzen du: triangelu baten oinarriaren paraleloa den zuzen bat eraikitzeko, triangelua azalera berdineko bi iruditan zatitzea[61]. 36 proposizio ditu eta Apolonioaren Konikak liburuaren antzekoa da.
  • Optika, gaurdaino heldu den perspektibaren gaia aztertzen duen greziar testurik zaharrena da. Optika geometrikoaren sarrera bat du, eta perspektibaren oinarrizko arauak[62].
  • Fenomenoak, astronomia esferikoaren tratatu bat, greziarrez heldu dena. Autolikos Pitanekoaren Esfera mugikorraren gainean lanaren antzekoa da[63], K.a. 310 inguruan idatzi zena.

Desagertutako lanak

aldatu
  • Gainazalaren lekuak
  • Konikak
  • Pseudaria
  • Porismak
  • Section Canonis
  • Gainazalaren lekuak

Oharrak

aldatu
  1. ↑ Arabiar iturriek esaten zuten greziarra zela, baina Tiron jaio zela, Libanon, baina hauek espekulazioak baino ez dira. [7][5]. Denbora luzez pentsatu zen Megaran jaio zela, baina Pizkundean ikusi zen Euklides Megarakoarekin nahastu zela.[14] see §Identity and historicity
  2. ↑ Museoinek beranduago Alexandriako Liburutegia izan zuen barnean, baina ziurrenik beranduago eraiki zen, Ptolomeo II.a Filadelfoaren agintaldian (285–246 BC).[22]

Erreferentziak

aldatu
  1. ↑ (Ingelesez) Sialaros, Michalis. (2015-07-30). «Euclid» Oxford Classical Dictionary  doi:10.1093/acrefore/9780199381135.013.2521. ISBN 978-0-19-938113-5. (Noiz kontsultatua: 2024-05-12).
  2. ↑ Bruno, Leonard C.; Baker, Lawrence W.. (1999). Math and mathematicians : the history of math discoveries around the world. Detroit, Mich. : U X L ISBN 978-0-7876-3813-9. (Noiz kontsultatua: 2024-05-12).
  3. ↑ a b c Heath 1981, 354 orr. .
  4. ↑ Asper & 2010 § 1.
  5. ↑ a b c d e f g h i Sialaros 2021, § "Life".
  6. ↑ Heath 1911, 741 orr. .
  7. ↑ a b c d e Asper 2010, § para. 1.
  8. ↑ a b c Ball 1960, 52 orr. .
  9. ↑ Sialaros 2020, 141 orr. .
  10. ↑ Bruno 2003, 125 orr. .
  11. ↑ Goulding 2010, 125 orr. .
  12. ↑ a b Smorynski 2008, 2 orr. .
  13. ↑ a b Boyer 1991, 100 orr. .
  14. ↑ Goulding 2010, 118 orr. .
  15. ↑ a b Heath 1981, 355 orr. .
  16. ↑ Goulding 2010, 126 orr. .
  17. ↑ a b Heath 1908, 2 orr. .
  18. ↑ a b Sialaros 2020, 147–148 orr. .
  19. ↑ Sialaros 2020, 142 orr. .
  20. ↑ a b c Bruno 2003, 126 orr. .
  21. ↑ Ball 1960, 51 orr. .
  22. ↑ Tracy 2000, 343–344 orr. .
  23. ↑ Sialaros 2021, § "Life" and Note 5.
  24. ↑ a b c Jones 2005.
  25. ↑ a b c d Goulding 2010, 120 orr. .
  26. ↑ Taisbak & Van der Waerden 2021, § "Life".
  27. ↑ a b Boyer 1991, 101 orr. .
  28. ↑ Boyer 1991, 96 orr. .
  29. ↑ Sialaros 2018, 90 orr. .
  30. ↑ Heath 1981, 357 orr. .
  31. ↑ Ball 1960, 52–53 orr. .
  32. ↑ «JOSE RAMON ETXEBARRIA, INGENIARIA, IRAKASLEA ETA IDAZLEA “Pentsatzeko gaitasuna lortu duen materiamultzo bat gara”» eu.wikisource.org (Noiz kontsultatua: 2021-03-05).
  33. ↑ Zapiain, Markos. (2018). Jose Ramon Etxebarria. Ingeniaria, irakaslea eta idazlea: "Pentsatzeko gaitasuna lortu duen materia-multzo bat gara". Deia. Ostadar gehigarria.[Betiko hautsitako esteka]
  34. ↑ Fowler 1999, 210–211 orr. .
  35. ↑ Sialaros 2021, § "Summary".
  36. ↑ a b Asper 2010, § para. 2.
  37. ↑ Arrieta 2005.
  38. ↑ a b c d e f g h i Taisbak & Van der Waerden 2021, § "Sources and contents of the Elements".
  39. ↑ a b c Asper 2010, § para. 6.
  40. ↑ Cuomo 2005, 131 orr. .
  41. ↑ a b Sialaros 2021, § "Works".
  42. ↑ a b Artmann 2012, 3 orr. .
  43. ↑ Asper 2010, § para. 4.
  44. ↑ a b c d e f Sialaros 2021, § "The Elements".
  45. ↑ a b Jahnke 2010, 18 orr. .
  46. ↑ Asper 2010, § para. 5.
  47. ↑ Angulo 2005, 126 orr. .
  48. ↑ Artmann 2012, 3–4 orr. .
  49. ↑ Wolfe 1945, 4 orr. .
  50. ↑ Angulo 2005, 127 orr. .
  51. ↑ a b c Artmann 2012, 4 orr. .
  52. ↑ Heath 1908, 202 orr. .
  53. ↑ Angulo 2005, 75-91 orr. .
  54. ↑ Artmann 2012, 5 orr. .
  55. ↑ Artmann 2012, 5–6 orr. .
  56. ↑ Artmann 2012, 6 orr. .
  57. ↑ Angulo 2005, 264 orr. .
  58. ↑ a b Artmann 2012, 7 orr. .
  59. ↑ a b Artmann 2012, 9 orr. .
  60. ↑ Angulo & 2005 51.
  61. ↑ a b Angulo & 2005 50.
  62. ↑ Angulo & 2005 52.
  63. ↑ Angulo & 2005 49.

Bibliografia

aldatu

Liburuak

aldatu

Artikuluak

aldatu

Ikus, gainera

aldatu

Kanpo estekak

aldatu
"https://eu.wikipedia.org/w/index.php?title=Euklides&oldid=9926910"(e)tik eskuratuta