Berreketa

Berreketa bi zenbaki, berrekizuna eta berretzailea, hartzen dituen eragiketa matematikoa da. Honela definitzen da a ber n berreketa, a berrekizuna edozein zenbaki eta n berretzailea zenbaki naturala izanik^[1]:

${\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\times \cdots \times a} _{n}}$

Adibidez, 2 ber 4:

${\displaystyle 2^{4}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16,}$

non 2 berrekizuna eta 4 berretzailea diren.

Berretzailea 1 denean: ${\displaystyle a^{1}=a\,}$.

Berretzailea 2 denean, karratu hitza erabil daiteke ber bi ordez (adibidez, 4², lau karratu edo lau ber bi esan daiteke).

Berretzailea 3 denean, kubo hitza erabil daiteke, ber hiru ordez (adibidez, 4³, lau kubo edo lau ber hiru esan daiteke).

Berrekizun berdina duten berreketen biderkaketak egiten direnean, berretzaileak batu egiten dira:

${\displaystyle a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}}$

Adibidez,

${\displaystyle 5^{4}\times 5^{3}=5^{7}}$

Berreketaren gaineko berreketetan, berriz:

${\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{m\times n}}$

Berdintza hau ere aipatu behar da:

${\displaystyle (a\times b)^{n}=a^{n}\times b^{n}}$

Aipatu behar da berreketen berreketetan, parentesi ezean, berreketak goitik behera egin behar direla lehendabizi:

${\displaystyle a^{b^{c}}=a^{(b^{c})}.}$

Hori horrela, berreketak ez du propietate elkarkorra betetzen:

${\displaystyle a^{(b^{c})}\neq (a^{b})^{c}}$

Azkenik, batuketa eta biderkaketa ez bezala, berreketa ez da trukakorra:

${\displaystyle a^{b}\neq b^{a}}$

Berretzailea 0 denean, berreketaren emaitza 1 da, berrekizun guztietarako:

${\displaystyle a^{0}=1\,}$

Honen arrazoia honela azal daiteke:

${\displaystyle a^{1}=a\,}$

Bestalde, berreketen biderkaketa propietatea erabiliz:

${\displaystyle a^{1}=a^{0}\times a^{1}=a^{0}\times a\,}$

Beraz,

${\displaystyle a^{0}\times a=a\rightarrow a^{0}=1}$

Berretzaile negatiboetarako honela definitzen da berreketa:

${\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}}$

Horrela, propietate hau sortzen da:

${\displaystyle {\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m}\times {\frac {1}{a^{n}}}=a^{m-n}}$

• n bikoitia bada, (-1)ⁿ=1.
• n bakoitia bada, (-1)ⁿ=-1.

Berreketaren emaitzaren zeinua aldakorra denez, n bakoitia edo bikoitia den, (-1)ⁿ berreketa zeinu aldakorreko serieak adierazi eta aztertzeko erabiltzen da.

• Berretzailea positiboa bada, 0ⁿ=0.
• Berretzailea negatiboa bada, 0ⁿ adierazpena mugagabea da, 0 zenbakiazko zatiketa egin behar baita.
• Berretzailea 0 bada, 0⁰ adierazpenaren emaitza 1 da zenbait alorretan. Beste alor batzuetan mugagabea dela esan daiteke.

• a>1 betetzen bada, aⁿ segida matematikoa infiniturantz doa, n infiniturantz doanean. Hau da, berrekizuna 1 baino handiagoa bada, berretzailea handia denean, emaitzak infiniturantz joko du
• a<1 betetzen bada, aⁿ segida matematikoa zerorantz doa, n infiniturantz doanean. Hau da, berrekizuna 1 baino txikiagoa bada, berretzailea handia denean, emaitzak zerorantz joko du.
• a=1 betetzen bada, aⁿ=1, n infiniturantz doanean.
• Berrekizuna 1 zenbakirantz badoa (1 izan gabe), berretzaileak infiniturantz jotzen duelarik, ezin da baieztatu, arestiko puntuan ezarritakoa dela eta, emaitza 1 izango denik. Adibidez, n infiniturantz doanean, honako segida e zenbakirantz jotzen du:

${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\rightarrow e,\ \ n\rightarrow \infty \ \ {\text{doalarik}}}$

• Berreketak
• Berreketak akats arruntak lantzeko ariketa.
• Berreketen propietateak.
• Berreketak berretzailea 0 denean.
• Berreketak berretzaile negatiboarekin.
• Berreketa ariketak berretzaile negatiboarekin.
• Berreketak bakarrera laburtzea.
• Berreketa baten berreketa.
• Berreketen eragiketa konbinatuak.
• Berreketen propietateak.
• Berrekizuna hamar duten berreketak.
• Deskonposizio polinomikoa lantzeko ariketa.