Päratu integraal

Olgu funktsioon ${\displaystyle \ f(x)}$ määratud ja pidev piirkonnas ${\displaystyle [a,\infty ),}$ siis funktsiooni päratuks integraaliks piirkonnas ${\displaystyle [a,\infty )}$ nimetatakse piirväärtust

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)dx=\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)dx.}$

Kui piirväärtus on olemas, siis öeldakse, et päratu integraal koondub. Kui seda piirväärtust ei eksisteeri või kui ta on lõpmatu, siis öeldakse, et päratu integraal hajub.

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{1+x^{2}}}=\lim _{b\to +\infty }\int _{0}^{b}{\frac {dx}{1+x^{2}}}=\lim _{b\to +\infty }\arctan x{\Big |}_{0}^{b}=\lim _{b\to +\infty }(\arctan b-\arctan 0)={\frac {\pi }{2}}-0={\frac {\pi }{2}}.}$

Seega antud päratu integraal koondub ja selle väärtus on π/2.

Analoogselt defineeritakse päratu integraal piirkonnas ${\displaystyle (-\infty ,b]:}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{b}f(x)dx=\lim _{a\to -\infty }\int _{a}^{b}f(x)dx.}$

Vahemikus ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$ defineeritakse päratu integraal järgmiselt (kasutades aditiivsust):

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)dx=\int _{-\infty }^{c}f(x)dx+\int _{c}^{\infty }f(x)dx=\lim _{a\to -\infty }\int _{a}^{c}f(x)dx+\lim _{b\to +\infty }\int _{c}^{b}f(x)dx,}$

kus ${\displaystyle \ c}$ on suvaliselt valitud arv.

Kui piirkonnas ${\displaystyle [a,\infty )}$ on funktsiooni ${\displaystyle \ f(x)}$ graafik x-telje kohal (${\displaystyle f(x)>0}$), siis on päratu integraali geomeetriline tähendus analoogiline määratud integraali geomeetrilise tähendusega. Päratu integraal

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)dx}$

on võrdne sellise xy-tasandi piirkonna pindalaga, mida piiravad x-telg, vertikaalne sirge x=a ja funktsiooni ${\displaystyle \ f(x)}$ graafik.

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{1+x^{2}}}dx=\int _{-\infty }^{0}{\frac {dx}{1+x^{2}}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{1+x^{2}}}}$

on võrdne sellise xy-tasandi piirkonna pindalaga, mida piiravad x-telg ja funktsiooni ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}$ graafik. Eespool selgus, et

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{1+x^{2}}}={\frac {\pi }{2}}.}$

Seega

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{1+x^{2}}}dx=\int _{-\infty }^{0}{\frac {dx}{1+x^{2}}}+{\frac {\pi }{2}}=\lim _{a\to -\infty }\int _{a}^{0}{\frac {dx}{1+x^{2}}}+{\frac {\pi }{2}}=\lim _{a\to -\infty }\arctan x{\Big |}_{a}^{0}+{\frac {\pi }{2}}=0-(-{\frac {\pi }{2}})+{\frac {\pi }{2}}=\pi .}$

• Määramata integraal