Spaca angulo

Spaca angulo, ofte priskribita per simbolo Ω, estas tridimensia angulo kun vertico en centro de sfero, kiu priskribas kiel grandan areon oni eltranĉas de la surfaco de sfero. Ĝia unuo estas steradiano (sr) kiu formale estas sen unua dimensio (m²·m⁻² → 1). Plena spaca angulo egalas al 4π. Spaca angulo je 1 sr (unu steradiano) signifas ke oni eltranĉas areon egala al kvadrato kun latero radiuslonga. Ĝi estas ankaŭ mezuro de tio kiel granda objekto aspektas al rigardanto en certa distanco. Malgranda objekto apude povas havi la saman spacan angulon kiel granda objekto malproksime.

La spaca angulo estas proporcia kun la surfaca areo S, de projekcio de tiu objekto sur sferon centritan je tiu punkto de rigardanto, dividita per la kvadrato de la sfera radiuso R, Ω = k S/R², kie k estas la proporcieca konstanto. Solida angulo estas rilatanta al surfaco de la sfero en la sama vojo kiel ordinara angulo estas rilatanta al perimetro de cirklo.

Se la proporcieca konstanto estas elektita egala al 1, la mezurunuo de solida angulo estas la SI-a steradiano (mallonge sr). Tial la solida angulo de la tuta sfero mezurita de ĝia centro estas 4π sr, kaj la solida angulo el centro de kubo al unu el ĝiaj ses edroj estas unu-sesa de tiu la tuta kaj estas 2π/3 sr. Solida angulo povas esti mezurita ankaŭ (por k = (180/π)²) en kvadrataj gradoj aŭ (por k = 1/4π) en frakcioj de la sfero (kio estas, frakcia areo).

Por ricevi la solidan angulon en steradianoj, necesas multipliki la frakcian areon per 4π.

Pro ricevi la solidan angulon en kvadrataj gradoj, necesas multipliki la frakcian areon per 4π × (180/π)², kio egalas al 129600/π.

La spaca angulo por surfaco S al punkto P estas donita per la surfaca integralo:

${\displaystyle \Omega =\iint _{S}{\frac {{\underline {r}}\cdot {\underline {d}}{\underline {S}}}{r^{3}}}.}$

kie ${\displaystyle {\underline {r}}}$ estas la vektora pozicio de infinitezima areo de surfaco ${\displaystyle \,dS}$ kun respekto al punkto P kaj kie ${\displaystyle {\underline {d}}{\underline {S}}}$ estas vektoro direkte al la unuo normala al ${\displaystyle \,dS}$ kun grandeco de ${\displaystyle \,dS.}$

Estu OABC la verticoj de kvaredro. Estu ${\displaystyle {\underline {a}}\ ,\,{\underline {b}}\ ,\,{\underline {c}}}$ la vektoraj pozicioj de la verticoj A, B kaj C. Estu la vertica angulo ${\displaystyle \theta _{a}}$ la angulo BOC; estu ${\displaystyle \theta _{b}}$ la angulo AOC; estu ${\displaystyle \theta _{c}}$ la angulo BOA. Estu ${\displaystyle \phi _{ab}\,}$ la duedra angulo inter la ebenoj kiuj enhavas la kvaredrajn edrojn OAC kaj OBC; estu ${\displaystyle \phi _{bc}}$ la duedra angulo inter la ebenoj de OAB kaj OAC; ${\displaystyle \phi _{ac}}$ la duedra angulo inter la ebenoj de OAB kaj OBC;. La solida angulo je O de la triangula surfaco ABC estas donita per

${\displaystyle \Omega =\phi _{ab}+\phi _{bc}+\phi _{ac}-\pi \,}$.

Ĉi tiu sekvas de la teorio de sfera krompago kaj ĝi kondukas al tio ke estas analoga teoremo al la sumo de enaj anguloj de triangulo π. Sumo de la kvar enaj solidaj anguloj de kvaredro estas:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{4}\Omega _{i}=2\sum _{i=1}^{6}\phi _{i}-4\pi }$

kie:

${\displaystyle \phi _{i}\,}$ estas ĉiuj ses duedraj anguloj inter ebenoj de la kvaredraj edroj OAB, OAC, OBC kaj ABC.

Alia formulo por kalkulo de la solida angulo de la kvaredro je la fonto O estas:

${\displaystyle \tan \left({\frac {1}{2}}\Omega \right)={\frac {[{\underline {a}}\ {\underline {b}}\ {\underline {c}}]}{abc+({\underline {a}}\cdot {\underline {b}})c+({\underline {a}}\cdot {\underline {c}})b+({\underline {b}}\cdot {\underline {c}})a}}}$

kie ${\displaystyle {\underline {a}}\ ,\,{\underline {b}}\ ,\,{\underline {c}}}$ estas la vektoraj pozicioj de la verticoj A, B kaj C;

${\displaystyle [{\underline {a}}\ {\underline {b}}\ {\underline {c}}]}$ estas la determinanto de la matrico kiu rezultiĝas per skribo de la vektoroj kune, ĉi tio estas ankaŭ ekvivalento al la skalara triopa produto de la tri vektoroj;

a estas la grandeco de tiu vektoro ${\displaystyle {\underline {a}}}$ (la distanco OA);

${\displaystyle {\underline {a}}\cdot {\underline {b}}}$ estas la skalara produto.

Alia formulo por kalkulo de la solida angulo de la kvaredro je la fonto O estas pure funkcio de la verticaj anguloj ${\displaystyle \theta _{a},\,\theta _{b},\,\theta _{c}}$ :

${\displaystyle \tan \left({\frac {1}{4}}\Omega \right)={\sqrt {\tan \left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\tan \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{a}}{2}}\right)\tan \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{b}}{2}}\right)\tan \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\right)}}}$

kie ${\displaystyle \theta _{s}={\frac {\theta _{a}+\theta _{b}+\theta _{c}}{2}}}$

La solida angulo de konuso kun apeksa angulo 2θ estas areo de ĉapo sur unuobla sfero

${\displaystyle \Omega =2\pi (1-\cos {\theta })}$

La formulo povas esti pruvita per duopa integralo kun la surfaca ero en sfera koordinataj:

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\theta }\sin \theta '\ d\theta '\ d\phi =2\pi \int _{0}^{\theta }\sin \theta '\ d\theta '=2\pi [-\cos \theta ']_{0}^{\theta }\ =2\pi (1-\cos \theta )}$

Kiam θ=π/2, la ĉapo iĝas duonsferon kun solida angulo 2π.

La solida angulo de kvarlatera neklina ortangula piramido kun apeksaj anguloj a kaj b (kiuj estas duedraj anguloj inter la kontraŭaj flankaj edroj de la piramido) estas

${\displaystyle 4\arcsin(\sin {a \over 2}\sin {b \over 2})}$

Se ambaŭ la lateraj longoj α kaj β de bazo de la piramido kaj la distanco d de la centro de la ortangulo al la apekso estas sciataj, tiam la solida angulo povas esti kalkulita kiel:

${\displaystyle \Omega =4\arcsin {\frac {\alpha \beta }{\sqrt {(4d^{2}+\alpha ^{2})(4d^{2}+\beta ^{2})}}}}$

La solida angulo de latitudo-longituda ortangulo sur globuso estas

sin φ_N - sin φ_S ) ( θ_E - θ_U )

kie φ_N kaj φ_S estas norda kaj suda linioj de latitudo (mezuritaj de la ekvatoro en radianoj kun angulo pligrandiĝanta norde, kaj θ_E kaj θ_U estas orienta kaj okcidenta linioj de longitudo (kie la angulo en radianoj pligrandiĝas orienten)^[1].

Ĉi tio prezentas arkon de angulo φ_N - φ_S irantan ĉirkaŭ sfero per θ_E - θ_U radianoj. Se longitudo trapasas 2π radianojn kaj latitudo trapasas π radianoj, la solida angulo estas tiu de la tuta sfero.

Latitudo-longituda ortangulo devus ne esti konfuzita kun la solida angulo de ortangula piramido. Ĉiuj kvar flankoj de ortangula piramido sekcas la sferon je ĉefcirklaj arkoj). Ĉe latitudo-longituda ortangulo, nur linioj de longitudo estas ĉefcirklaj arkoj; linioj de latitudo estas arkoj de pli malgrandaj cirkloj se la latitudo ne estas 0 (ekvatoro).

Suno kaj Luno estas ambaŭ vidita de tero je solida angulo de 0.001% de la ĉiela duonsfero aŭ ĉirkaŭ 6·10⁻⁵ steradianoj ^[2].

Solida angulo povas esti difinita en ĉiu dimensio. Oni ofte bezonas ĉi tiun solidangulan faktoron en kalkuloj kun sfera simetrio. Solida angulo de la tuta unuobla d-dimensia sfero estas donita per la formulo

${\displaystyle \Omega _{d}={\frac {2\pi ^{d/2}}{\Gamma ({\frac {d}{2}})}}}$

kie ${\displaystyle \Gamma }$ estas la Γ funkcio. Pro tio ke d estas entjero, la Γ funkcio povas esti komputita eksplicite. Tiel

${\displaystyle \Omega _{d}={\frac {d\pi ^{d/2}}{({\frac {d}{2}})!}}}$

se d estas para, kaj

${\displaystyle \Omega _{d}={\frac {2^{d}({\frac {d-1}{2}})!}{(d-1)!}}\pi ^{(d-1)/2}}$

se d estas nepara.

• Angulo
• Duedra angulo

• Eric W. Weisstein, Solida angulo en MathWorld.
• Eric W. Weisstein, Sfera krompago en MathWorld.