Lineareco

En matematiko, lineara transformo f(x) estas funkcio, kiu kontentigas du kondiĉojn:

• Adicieco:

f(x+y) = f(x)+f(y).

Ĉi tio signifas ke f estas homomorfio rilate al adicio.

• Homogeneco de grado 1:

f(αx) = αf(x) por ĉiu α.

La homogeneco sekvas el la adicieco en ĉiuj okazoj, kie α estas racionala nombro. Se la funkcio estas kontinua, ne necesas meti la kondiĉon de homogeneco kiel aldonan postulon.

La vorto lineara devenas de la latina vorto linearis, kiu signifas kreita per linioj (rektoj).

En ĉi tiu difino, x ne nepre estas reela nombro, sed povas ĝenerale esti membro de iu ajn vektora spaco. Malpli limiga difino de lineara polinomo (lineara funkcio), ne koincidanta kun la difino de lineara transformo, estas uzata en elementa matematiko (vidu sube).

La koncepto de lineareco povas esti etendita al linearaj operatoroj. Gravaj ekzemploj de linearaj operatoroj estas la derivaĵo konsiderita kiel diferenciala operatoro, kaj multaj konstruitaj surbaze de ĝi, kiel nabla operatoro kaj la laplaca operatoro. Kiam diferenciala ekvacio povas esti esprimita en lineara formo, ĝi estas aparte facila por solvado. Tiam ĝia ĝenerala solvaĵo estas sumo kun ajnaj koeficientoj de la bazo de partaj solvaĵoj.

Lineara algebro estas la branĉo de matematiko koncernanta studon de vektoroj, vektoraj spacoj, linearaj transformoj kaj sistemoj de linearaj ekvacioj.

En malsama uzado al la pli supre, polinomo de grado 1 estas dirita al esti lineara, ĉar la grafikaĵo estas rekto.

Super la reelaj nombroj, la lineara funkcio aŭ lineara polinomo estas tiu de formo:

f(x) = mx+b

kie m estas ofte nomata kiel la inklino aŭ gradiento;

b la y-detranĉo, kiu donas la punkto de intersekco inter la grafikaĵo de la funkcio kaj la y-akso.

Ĉi tiu uzado de la termino lineara estas ne la sama kiel la pli supre, ĉar linearaj polinomoj super la reelaj nombroj ĝenerale ne kontentigi la kondiĉojn de adicieco kaj homogeneco. Ili kontentigas la kondiĉojn de adicieco kaj homogeneco se kaj nur se b=0. Tiel, se b≠0, la funkcio estas ofte nomata kiel afina funkcio analoge al la afina transformo.

Variablo x₁ estas lineare dependa de variabloj x₂, ..., x_n, se ĝi povas esti esprimita kiel lineara kombinaĵo de ili, do se ekzistas konstantoj a₂, ..., a_n tiaj ke

x₁ = a₂x₂+ ... +a_nx_n

Pli ĝenerale variabloj x₁, ..., x_n estas lineare dependaj se ekzistas konstantoj a₁, ..., a_n, ne ĉiuj nuloj, tiaj ke

a₁x₁+ ... +a_nx_n = 0

Ĉi tio estas triviala kaj ne interesa, se x₁, ..., x_n estas nombraj konstantoj, tiam ĉi tia lineara dependeco ĉiam ekzistas por n≥2. Interesaj okazoj estas se ili estas funkcioj de iuj variabloj x₁(t), ..., x_n(t) aŭ vektoroj. Se dimensio de la vektoroj estas malpli granda ol ilia kvanto n ili ĉiam estas lineare dependaj; se la dimensio de la vektoroj estas pli granda ol aŭ egala al ilia kvanto n ili povas esti lineare dependaj aŭ lineare sendependaj.

Se el n vektoroj de dimensio n konsistigi (metante ilin kiel linioj aŭ kiel kolumnoj) kvadratan matricon, do ĝia determinanto estas nulo se kaj nur se la vektoraj estas lineare dependaj.

Se el n vektoroj de dimensio k konsistigi (metante ilin kiel linioj aŭ kiel kolumnoj) n×k aŭ k×n matricon (ne nepre kvadratan), do ĝia rango estas la maksimuma kvanto de lineare sendependaj vektoroj kiuj povas esti elprenitaj el la fonta kolekto de vektoroj.

En statistiko estadas uzata lineara modelado de iu parametro kiel lineara kombinaĵo de la aliaj. Per la statistikaj metodoj eblas trovi la plej bonajn koeficientojn de la lineara kombinaĵo. Por ĉi tio maniero de minimumigo de sumo de kvadratoj ofte estas uzata.

En bulea algebro, funkcio estas lineara se ekzistas ${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}\in \{0,1\}}$ tiaj ke

${\displaystyle f(b_{1},\ldots ,b_{n})=a_{0}\oplus (a_{1}\land b_{1})\oplus \ldots \oplus (a_{n}\land b_{n}),\forall b_{1},\ldots ,b_{n}\in \{0,1\}}$

Bulea funkcio estas lineara se

(1) en ĉiu linio de la vertabelo en kiu valoro de la funkcio estas 1, estas para kvanto de 1-oj je argumentoj de la funkcio; kaj en ĉiu linio en kiu valoro de la funkcio estas 0 estas nepara kvanto de 1-oj je la argumentoj;

aŭ

(2) en ĉiu linio en kiu valoro de la funkcio estas 1 estas nepara kvanto de 1-oj je la argumentoj kaj en ĉiu linio en kiu valoro de la funkcio estas 0 estas para kvanto de 1-oj je la argumentoj.

Alivorte, ĉi tiu estas okazo en kiu por ĉiu variablo, ĝia ŝanĝo ĉiam faras ŝanĝas valoron de la funkcio aŭ neniam ŝanĝas valoron de la funkcio.

Logika neo kaj logika malinkluziva aŭo estas linearaj duumaj funkcioj.

En fiziko, lineareco estas propraĵo de la diferencialaj ekvaciaj regantaj multaj sistemoj, ekzemple, ekvacioj de Maxwell aŭ difuza ekvacio.

Lineareco de diferenciala ekvacio signifas ke se du funkcioj f kaj g estas solvaĵoj de la ekvacio, do ankaŭ ilia sumo f+g estas solvaĵo de la ekvacio. Ĉi tio implicas ekzemple ke, se la ekvacioj de Maxwell estas la solaj gravaj kaj la aliaj efikoj estas malatentataj, se du lumaj radioj intersekciĝas en iu loko en spaco ili ne influas unu la alian. Modelo de spaco kie elektromagnetismo estas lineara estas nomata kiel libera spaco.

En elektroniko, la lineara operacianta regiono de iu aparato estas tiu kie la eliga tensio aŭ kurento estas je proksimume lineara dependeco de la enenira tensio aŭ kurento. Ĉi tiaj aparatoj estas, inter aliaj:

• amplifiloj kiuj konservas formon de la analogaj signaloj;
• linearaj filtriloj;
• linearaj reguliloj.

Por ĉi tiuj aparatoj, en kutima kompreno de la lineareco, la adicieca kaj homogeneca propraĵoj estas kontentigitaj kun, eble, adicio de konstanto:

• f(x(t)+y(t)) = f(x(t))+f(y(t))+C₁
• f(αx(t)) = αf(x(t))+C₂(α) por ĉiu α

kie t estas tempo;

x(t) kaj y(t) estas enenigaj signaloj;

f(x(t)), kiu estas funkcio de t, estas eliga signalo por la eneniga signalo x(t);

C₁ kaj C₂ estas konstantoj ne dependaj de x kaj y, kvankam C₂ povas dependi de α.

La kontraŭa, la plej ne lineara, varianto estas ciferecaj cirkvitoj - logikaj elementoj, baskuloj ktp.

Por aparato, kiu konvertas kvanton al alia kvanto, estas tri bazaj difinoj por integrala lineareco en komuna uzo: sendependa lineareco, nulo-bazita lineareco, kaj terminala aŭ randa lineareco. En ĉiu okazo, lineareco difinas, kiel bone la dependeco de elira valoro de enenira valoro de la reala aparato koincidas en la operaciantaj limigoj kun rekto. Lineareco estas kutime mezurata per devio, aŭ ne-lineareco, de ideala rekto kaj ĝi estas tipe esprimata en frakcia parto aŭ en centonoj de plena skalo. Tipe, la rekto estas ricevata per adapto de la datumoj per maniero de plej malgrandaj kvadratoj. La tri difinoj malsamas en la maniero, en kiu la rekto situas relative al la reala rezulto. Ankaŭ, ĉiuj tri difinoj ignoras iun amplifon, aŭ kompensajn erarojn, kiu povas esti ĉe la realaj aparatoj.

En okazoj, kie en specifilo estas donita simple lineareco, estas akceptite subkompreni sendependan linearecon.

Sendependa lineareco estas verŝajne la plej kutime uzata lineareca difino kaj estas ofte uzata en la specifoj de amplifiloj, ciferecigiloj kaj la aliaj aparatoj. Sendependa lineareco estas difinita kiel la maksimuma dekliniĝo de reala rezulto de la rekto situanta tiel, ke ĝi minimumigas la maksimuma dekliniĝon. En ĉi tiu okazo ne estas iuj postuloj pri la pozicio de la rekto kaj ĝi povas esti ie ajn, kie necesas por minimumigi la deviojn inter ĝi kaj la realaj rezultoj.

Nulo-bazita lineareco postulas, ke la nula valoro (aŭ suba limiga valoro) de la rekto estu egala al la reala nula (aŭ suba) limiga valoro de la aparato, sed ĝi permesas al la linio esti turnita por minimumigi la maksimuman devio. En ĉi tiu okazo, pro tio ke la enpoziciigo de la rekto estu limigita per la postulo, la ne-lineareco bazita sur ĉi tiu difino estos ĝenerale pli granda ol por sendependa lineareco.

Por terminala lineareco, ne estas variebleco permesita en la lokigo de la rekto por ke minimumigi la dekliniĝoj. La rekto devas troviĝi tiel ke ambaŭ ĝiaj randoj koincidas kun la realaj suba kaj supra limigaj valoroj. Ĉi tio signifas ke la ne-lineareco mezurita per ĉi tiu difino estos tipe esti pli granda ol tiu mezuris per la sendependa aŭ per nulo-bazita linearecaj difinoj. Ĉi tiu difino de lineareco estas ofte asociita kun ciferecigiloj, cifereco-al-analogaj konvertiloj, sentiloj.

Kvara lineareca difino, absoluta lineareco, estas iam uzata. Absoluta lineareco estas variado de la terminala lineareco, en kiu ne estas variebleco permesita en la lokigo de la rekto, tamen en ĉi tiu okazo ankaŭ eraro je la amplifo de la reala aparato estas inkluzivita en la nelineareco. Por absoluta lineareco la finaj punktoj de la rekto estas difinitaj per la ideala suba kaj supra limigaj valoroj por la aparato, anstataŭ la realaj valoroj. La lineareca eraro en ĉi tiu apero estas la maksimuma devio de la reala aparato for de idealo.

En muziko la lineara aspekto estas sinsekvo, de intervaloj aŭ melodioj, kontraŭ la samtempeco aŭ la vertikala aspekto.

• Lineara ero
• Lineara sistemo
• Lineara ekvacio
• Lineara interpolo
• Lineara dependeco
• Lineara kombinaĵo
• Lineara mediumo
• Lineara programado
• Lineara transformo
• Lineara transformo
• Lineara algebro
• Dulineara funkcio
• Plurlineara funkcio
• Determinanto
• Rango (lineara algebro)

• Lineara sistemo Arkivigite je 2009-06-03 per la retarkivo Wayback Machine
• Lineara statistika modelado
• Lineareco de kemiaj analizaj manieroj
• Lineareco de gravito Arkivigite je 2009-06-11 per la retarkivo Wayback Machine
• Hiperteksto: teksto kaj lineareco
• Nelineareco en hiperteksto Arkivigite je 2009-03-09 per la retarkivo Wayback Machine