Vektorbündel

 

Sei ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$  ein reeller beziehungsweise komplexer n-dimensionaler Vektorraum. Ein reelles beziehungsweise komplexes Vektorbündel vom Rang ${\displaystyle n}$  ist ein Tripel ${\displaystyle (E,B,\pi )}$ , bestehend aus topologischen Räumen ${\displaystyle E}$  (Totalraum) und ${\displaystyle B}$  (Basis) sowie einer stetigen surjektiven Abbildung ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$ , so dass gilt:

• Für jeden Punkt ${\displaystyle x}$  von ${\displaystyle B}$  trägt die Faser ${\displaystyle E_{x}:=\pi ^{-1}(x)}$  von ${\displaystyle E}$  über ${\displaystyle x}$  die Struktur eines reellen beziehungsweise komplexen n-dimensionalen Vektorraums.
• „Lokale Trivialität“: Zu jedem Punkt ${\displaystyle x\in B}$  existiert eine Umgebung ${\displaystyle U}$  von ${\displaystyle x}$  und ein Homöomorphismus

${\displaystyle \psi \colon U\times \mathbb {K} ^{n}\to E|_{U}:=\pi ^{-1}(U)\subseteq E}$ ,

der mit ${\displaystyle \pi }$  kompatibel ist, das heißt ${\displaystyle \pi \circ \psi =\operatorname {pr} _{1}}$ , und für den

${\displaystyle \psi _{y}\colon \{y\}\times \mathbb {K} ^{n}\to E_{y}}$ 

für jedes ${\displaystyle y}$  in ${\displaystyle U}$  ein Isomorphismus von Vektorräumen ist. Dabei bezeichnet ${\displaystyle \operatorname {pr} _{1}}$  die Projektion auf den ersten Faktor. Ein solches ${\displaystyle \psi }$  heißt lokale Trivialisierung.

Ein Vektorbündel ${\displaystyle (E,B,\pi )}$  heißt trivial, wenn es eine Trivialisierung mit ${\displaystyle U=B}$  gibt. ${\displaystyle (B\times \mathbb {K} ^{n},B,\operatorname {pr} _{1})}$  ist ein triviales Vektorbündel.

In verkürzter Ausdrucksweise spricht man oft vom „Vektorbündel ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$ “, womit das Tripel ${\displaystyle (E,B,\pi )}$  implizit benannt wird.

Ein Vektorbündel mit Rang 1 wird Geradenbündel (als Fehlübersetzung aus dem Englischen auch Linienbündel) genannt.

 

• Das Tangentialbündel einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ist ein Vektorbündel bestehend aus den Tangentialräumen der Mannigfaltigkeit. Entsprechend ist auch das Kotangentialbündel bestehend aus den Kotangentialräumen – also den Dualräumen der Tangentialräume – ein Vektorbündel.
• Das Möbiusband ist ein Geradenbündel über der 1-Sphäre (Kreis) ${\displaystyle S^{1}}$ . Lokal ist es homöomorph zu ${\displaystyle U\times \mathbb {R} }$ , wobei ${\displaystyle U}$  eine offene Teilmenge von ${\displaystyle S^{1}}$  ist. Allerdings ist das Möbiusband nicht homöomorph zu ${\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} }$ , was ein Zylinder wäre.
• Der Raum der Differentialformen ist als Bündel der äußeren Algebra auch ein Vektorbündel.
• Das ${\displaystyle (r,s)}$ -Tensorbündel ist ebenfalls ein Vektorbündel, das die zuvor gelisteten Vektorbündel als Spezialfälle umfasst.

Ein Vektorbündelhomomorphismus von dem Vektorbündel ${\displaystyle \pi _{1}\colon E_{1}\to B_{1}}$  in das Vektorbündel ${\displaystyle \pi _{2}\colon E_{2}\to B_{2}}$  ist ein Paar ${\displaystyle (f,g)}$  von stetigen Abbildungen ${\displaystyle f\colon E_{1}\to E_{2}}$  und ${\displaystyle g\colon B_{1}\to B_{2}}$ , so dass

• ${\displaystyle g\circ \pi _{1}=\pi _{2}\circ f}$  gilt und
• ${\displaystyle \pi _{1}^{-1}(\{x\})\to \pi _{2}^{-1}(\{g(x)\})}$  für alle ${\displaystyle x\in B_{1}}$  eine lineare Abbildung ist.

Oftmals wird ein Vektorbündelhomomorphismus kurz als Bündelhomomorphismus oder als Homomorphismus bezeichnet.

Ein Vektorbündelhomomorphismus ${\displaystyle (f,g)}$  von ${\displaystyle \pi _{1}\colon E_{1}\to B_{1}}$  nach ${\displaystyle \pi _{2}\colon E_{2}\to B_{2}}$  ist ein Vektorbündelisomorphismus, falls ${\displaystyle f}$  und ${\displaystyle g}$  Homöomorphismen sind und die induzierte lineare Abbildung ${\displaystyle \pi _{1}^{-1}(\{x\})\to \pi _{2}^{-1}(\{g(x)\})}$  ein Vektorraumisomorphismus ist.

Betrachtet man den Kreis ${\displaystyle S^{1}}$  als Mannigfaltigkeit, dann ist das Tangentialbündel ${\displaystyle TS^{1}\to S^{1}}$  vom ${\displaystyle S^{1}}$  isomorph zu dem trivialen Vektorbündel ${\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} \to S^{1}}$ . Der Homöomorphismus zwischen den Basisräumen ist die identische Abbildung und der zwischen den Totalräumen lautet

${\displaystyle (e^{i\theta },ite^{i\theta })\mapsto (e^{i\theta },t)}$ 

für ${\displaystyle e^{i\theta }\in S^{1}}$  und ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ .

Mit ${\displaystyle E_{x}}$  werden die Fasern des Vektorbündels ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$  am Punkt ${\displaystyle x\in B}$  bezeichnet. Ein Untervektorbündel des Vektorbündels ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$  besteht aus einem topologischen Teilraum ${\displaystyle U\subset E}$  bestehend aus einer Familie von Untervektorräumen ${\displaystyle U_{x}}$  von ${\displaystyle E_{x}}$ , so dass ${\displaystyle \pi _{U}\colon U\to B}$  ein eigenes Vektorbündel ist.

Mit ${\displaystyle E_{x}}$  werden wieder die Fasern des Vektorbündels ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$  am Punkt ${\displaystyle x\in B}$  bezeichnet und ${\displaystyle D\subset B}$  bezeichnet einen topologischen Teilraum. Das auf ${\displaystyle D}$  eingeschränkte Vektorbündel ${\displaystyle \pi _{D}\colon E_{D}\to D}$  ist definiert durch

${\displaystyle E_{D}:=E|_{D}:=\bigcup _{m\in D}E_{m}\quad {\text{und}}\quad \pi _{D}:=\pi |_{D}}$ .

Das eingeschränkte Vektorbündel ist ein eigenständiges Vektorbündel bezüglich des topologischen Teilraums ${\displaystyle D}$ .

Für ein Vektorbündel ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$  und eine stetige Abbildung ${\displaystyle f\colon B_{1}\to B}$  definiert man das zurückgezogene Vektorbündel (engl.: "pull-back" oder "induced bundle", siehe auch Rücktransport) als das Bündel über ${\displaystyle B_{1}}$  mit Totalraum

${\displaystyle f^{*}E:=\left\{(b,e)\in B_{1}\times E\colon f(b)=\pi (e)\right\}}$ 

und Projektion ${\displaystyle \pi _{1}(b,e)=b}$ . Die Vektorraum-Struktur wird definiert durch ${\displaystyle t_{1}(b,e_{1})+t_{2}(b,e_{2})=(b,t_{1}e_{1}+t_{2}e_{2})}$ . Man kann zeigen, dass dies wieder ein lokal triviales Vektorbündel definiert.

Für die durch ${\displaystyle {\hat {f}}(b,e)=e}$  definierte Abbildung ${\displaystyle {\hat {f}}\colon f^{*}E\to E}$  gilt also ${\displaystyle \pi \circ {\hat {f}}=f\circ \pi _{1}}$  und für jedes ${\displaystyle b\in B_{1}}$  induziert ${\displaystyle {\hat {f}}}$  einen Vektorraum-Isomorphismus ${\displaystyle \pi _{1}^{-1}(b)\to \pi ^{-1}(f(b))}$ .

Für jede Bündelabbildung ${\displaystyle {\hat {g}}\colon E_{1}\to E_{2}}$  hat man einen Isomorphismus ${\displaystyle E_{1}=g^{*}E_{2}}$ , wobei ${\displaystyle g\colon B_{1}\to B_{2}}$  die zu ${\displaystyle {\hat {g}}}$  gehörende Abbildung der Basen ist.

Für zwei Vektorbündel ${\displaystyle \pi _{i}\colon E_{i}\to B_{i},i=1,2}$  definiert man das direkte Produkt als

${\displaystyle \pi _{1}\times \pi _{2}\colon E_{1}\times E_{2}\to B_{1}\times B_{2},}$ 

wobei jede Faser ${\displaystyle (\pi _{1}\times \pi _{2})^{-1}(b_{1},b_{2})=\pi _{1}^{-1}(b_{1})\times \pi _{2}^{-1}(b_{2})}$  mit der Vektorraum-Struktur als direkte Summe der Vektorräume ${\displaystyle \pi _{1}^{-1}(b_{1})}$  und ${\displaystyle \pi _{2}^{-1}(b_{2})}$  versehen wird.

Seien jetzt ${\displaystyle \pi _{1},\pi _{2}}$  Vektorbündel über derselben Basis, also ${\displaystyle B_{1}=B_{2}=B}$ . Ihre Whitney-Summe wird dann mit Hilfe der Diagonal-Abbildung ${\displaystyle d\colon B\to B\times B}$  definiert als zurückgezogenes Bündel

${\displaystyle \pi _{1}\oplus \pi _{2}:=d^{*}(\pi _{1}\times \pi _{2})}$ .

Die Whitney-Summe ist also gerade das Vektorbündel über ${\displaystyle B}$ , dessen Faser über ${\displaystyle b\in B}$  die direkte Summe ${\displaystyle \pi _{1}^{-1}(b)\oplus \pi _{2}^{-1}(b)}$  ist.

Analog wird das Tensorprodukt ${\displaystyle \pi _{1}\otimes \pi _{2}}$  definiert als das Vektorbündel, dessen Faser über ${\displaystyle b\in B}$  das Tensorprodukt ${\displaystyle \pi _{1}^{-1}(b)\otimes \pi _{2}^{-1}(b)}$  ist.

Ist ${\displaystyle U}$  eine offene Teilmenge von ${\displaystyle B}$ , so heißt eine Abbildung

${\displaystyle s\colon U\rightarrow E|_{U}\,,}$ 

für die ${\displaystyle \pi \circ s=\operatorname {id} |_{U}}$  gilt, ein Schnitt von ${\displaystyle E}$  über ${\displaystyle U}$ . Die Menge ${\displaystyle \Gamma (U,E)}$  aller Schnitte von ${\displaystyle E}$  über ${\displaystyle U}$  bildet einen Vektorraum.

Unter einem Rahmen (englisch frame, französisch repère) versteht man eine Art Basis eines Vektorbündels. Es handelt sich um n linear unabhängige Vektoren zu jeder Faser. Diese Vektoren bilden also an jedem Punkt eine Basis der Faser. Präzise bedeutet dies:

Sei ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$  ein Vektorbündel mit Rang ${\displaystyle n}$  und sei ${\displaystyle U\subset B}$  eine offene Teilmenge des Basisraums. Ein lokales Reper oder Rahmen von ${\displaystyle E}$  über ${\displaystyle U}$  ist ein geordnetes n-Tupel ${\displaystyle (\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n})}$ . Dabei ist für alle i ${\displaystyle \sigma _{i}}$  ein Schnitt in ${\displaystyle E}$  über ${\displaystyle U}$ , so dass ${\displaystyle (\sigma _{1}(p),\ldots ,\sigma _{n}(p))}$  eine Basis der Faser ${\displaystyle E_{p}}$  für alle ${\displaystyle p\in U}$  bildet. Falls man ${\displaystyle U=B}$  wählen kann, so spricht man von einem globalen Rahmen.

Sei ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$  ein Vektorbündel. Sind ${\displaystyle E}$  und ${\displaystyle B}$  differenzierbare Mannigfaltigkeiten und sind die Projektion ${\displaystyle \pi }$  sowie die Trivialisierungen ${\displaystyle \psi }$  differenzierbar, so heißt das Vektorbündel differenzierbar. Es heißt glatt, wenn die Mannigfaltigkeiten glatt sind und die Abbildungen beliebig oft differenzierbar sind.

Ein holomorphes Vektorbündel ist ein komplexes Vektorbündel ${\displaystyle \pi \colon E\to M}$  über einer komplexen Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ , so dass der Totalraum ${\displaystyle E}$  eine komplexe Mannigfaltigkeit und die Projektion ${\displaystyle \pi }$  eine holomorphe Abbildung ist.

Sei ${\displaystyle G}$  eine Gruppe. Wenn ${\displaystyle E}$  und ${\displaystyle B}$  G-Räume sind, dann ist ein Vektorbündel ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$  ein G-Vektorbündel falls die Gruppenwirkung

${\displaystyle g\colon E_{x}\rightarrow E_{gx}}$ 

für alle ${\displaystyle g\in G,x\in B}$  eine lineare Abbildung ist.^[3]

Der klassifizierende Raum für ${\displaystyle k}$ -dimensionale reelle Vektorbündel ist die Graßmann-Mannigfaltigkeit der ${\displaystyle k}$ -dimensionalen Unterräume im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ , diese wird als ${\displaystyle BO(k)}$  bezeichnet. Das bedeutet: jedes ${\displaystyle k}$ -dimensionale reelle Vektorbündel ${\displaystyle E\to B}$  ist von der Form ${\displaystyle f^{*}\gamma ^{k}}$  für eine stetige Abbildung ${\displaystyle f\colon M\to BO(k)}$  (die sogenannte klassifizierende Abbildung des Bündels) und das tautologische Bündel ${\displaystyle \gamma ^{k}\to BO(k)}$ , und zwei Bündel sind isomorph genau dann, wenn ihre klassifizierenden Abbildungen homotop sind.

Analog ist ${\displaystyle BU(k)}$ , die Graßmann-Mannigfaltigkeit der ${\displaystyle k}$ -dimensionalen Unterräume im ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\infty }}$ , der klassifizierende Raum für ${\displaystyle k}$ -dimensionale komplexe Vektorbündel.

Zwei Vektorbündel ${\displaystyle E\to B}$  und ${\displaystyle F\to B}$  heißen stabil äquivalent, wenn es triviale Vektorbündel ${\displaystyle G\to B,H\to B}$  (nicht notwendig derselben Dimension) mit

${\displaystyle E\oplus G\cong F\oplus H}$ 

gibt. Die Äquivalenzklassen dieser Äquivalenzrelation werden als stabile Vektorbündel bezeichnet. (Diese Definition steht in keinem Zusammenhang mit dem Begriff der stabilen Vektorbündel in der Algebraischen Geometrie.)

Es seien ${\displaystyle BO=\cup BO(k)}$  und ${\displaystyle BU=\cup BU(k)}$  die aufsteigenden Vereinigungen (d. h. die Kolimiten bzgl. der mittels ${\displaystyle Gr(k,2k)\subset Gr(k+1,2k+2)}$  definierten Inklusionen ${\displaystyle BO(k)\subset BO(k+1)}$  und ${\displaystyle BU(k)\subset BU(k+1)}$ ), dann kann man zu einem Vektorbündel ${\displaystyle E\to B}$  und seiner klassifizierenden Abbildung ${\displaystyle B\to BO(k)}$  bzw. ${\displaystyle B\to BU(k)}$  die Komposition mit der Inklusion ${\displaystyle BO(k)\to BO}$  bzw. ${\displaystyle BU(k)\to BU}$  betrachten. Zwei Vektorbündel sind genau dann stabil äquivalent, wenn die entsprechenden Abbildungen ${\displaystyle B\to BO}$  bzw. ${\displaystyle B\to BU}$  homotop sind.

Für (algebraische) Vektorbündel in der algebraischen Geometrie sind ${\displaystyle E}$  und ${\displaystyle B}$  Schemata, ${\displaystyle E_{x}}$  ist für alle Punkte ${\displaystyle x}$  von ${\displaystyle B}$  ein ${\displaystyle \kappa (x)}$ -Vektorraum, und die lokalen Trivialisierungen sind Isomorphismen

${\displaystyle U\times A^{n}\to E|_{U}}$ 

Meist ist mit „Vektorbündel“ in der algebraischen Geometrie jedoch eine lokal freie Garbe gemeint (s. u.).

Es sei ${\displaystyle (X,O_{X})}$  ein lokal geringter Raum, z. B. ein topologischer Raum mit der Garbe der stetigen reell- oder komplexwertigen Funktionen, eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit der Garbe der ${\displaystyle C^{\infty }}$ -Funktionen oder ein Schema.

Eine lokal freie Garbe ist ein ${\displaystyle O_{X}}$ -Modul ${\displaystyle M}$ , der lokal isomorph zu einem freien ${\displaystyle O_{X}}$ -Modul ist, d. h. ${\displaystyle X}$  kann durch offene Mengen ${\displaystyle U}$  überdeckt werden, für die ${\displaystyle M|_{U}}$  isomorph zu einer direkten Summe von Kopien von ${\displaystyle O_{X}|_{U}}$  ist.

Die beiden folgenden Konstruktionen liefern im Fall von topologischen Räumen oder differenzierbaren Mannigfaltigkeiten eine Äquivalenz der Kategorien von lokal freien Garben sowie Vektorbündeln auf ${\displaystyle X}$  (der Einfachheit der Notation halber ist der Fall von reellen Vektorbündeln über einem topologischen Raum beschrieben):

• Einem Vektorbündel wird die Garbe seiner Schnitte zugeordnet.
• Einer lokal freien Garbe ${\displaystyle M}$  wird die disjunkte Vereinigung ${\displaystyle E}$  ihrer Fasern ${\displaystyle M_{x}/m_{x}M_{x}}$  zugeordnet. Wir wählen eine offene Überdeckung ${\displaystyle (U_{i})}$  von ${\displaystyle X}$ , so dass ${\displaystyle M}$  auf jedem ${\displaystyle U_{i}}$  trivial wird. Eine Trivialisierung definiert ${\displaystyle n}$  nirgends verschwindende Schnitte von ${\displaystyle M}$  über ${\displaystyle U_{i}}$ , die fasernweise eine Basis bilden. Diese definieren eine Abbildung

${\displaystyle U_{i}\times \mathbb {R} ^{n}\to E}$ ,

und wir definieren die Topologie auf ${\displaystyle E}$  dadurch, dass wir fordern, dass diese Abbildungen Homöomorphismen sind. Sie ist wohldefiniert, da sich diese Abbildungen über dem Schnitt zweier Mengen ${\displaystyle U_{i}}$  und ${\displaystyle U_{j}}$  nur um einen Homöomorphismus (genauer gesagt einen stetig variierenden Vektorraumautomorphismus von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ) unterscheiden.

Im Fall der algebraischen Geometrie ist diese Konstruktion etwas einfacher: das Bündel zu einer lokalfreien Garbe ${\displaystyle E}$  ist

${\displaystyle {\bf {V}}(E^{or}):={\bf {Spec}}S(E^{or})}$ 

dabei bezeichnet ${\displaystyle S}$  die symmetrische Algebra und ${\displaystyle {\bf {Spec}}}$  das Algebrenspektrum.

• Die Untersuchung so genannter stabiler Äquivalenzklassen von Vektorbündeln ist Gegenstand der K-Theorie.
• Auf algebraischen Kurven haben (semi-)stabile Vektorbündel besonders gute Eigenschaften.

• R. Abraham, J. E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, Tensor Analysis, and Applications. 2. Auflage. Springer, Berlin 1988, ISBN 3-540-96790-7 (englisch). 
• Allen Hatcher: Vector Bundles & K-Theory. Version 2.1, May 2009, (math.cornell.edu; PDF; 1,11 MB).
• Ulrich Görtz, Torsten Wedhorn: Algebraic Geometry I: Schemes. 2. Auflage. Springer Fachmedien, Wiesbaden 2020, ISBN 978-3-658-30732-5. 
• Karlheinz Knapp: Vektorbündel. Springer Fachmedien, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-03113-8. 
• Shoshichi Kobayashi: Differential Geometry of Complex Vector Bundles. Princeton University Press, New Jersey 1987, ISBN 978-0-691-60329-2. 

1. ↑ Thomas Friedrich: Dirac-Operatoren in der Riemannschen Geometrie. 1. Auflage. Vieweg, 1997, ISBN 3-528-06926-0. 
2. ↑ John Baez, Javier P. Muniain: Gauge fields, knots and gravity (= Series on knots and everything. 4). World Scientific, Singapore u. a. 1994, ISBN 981-02-2034-0, S. 200.
3. ↑ Graeme Segal: Equivariant K-theory (Memento vom 22. Juni 2010 im Internet Archive)