Parabolische Koordinaten

In der xy-Ebene des Bildes oben gilt mit parabolischen Koordinaten ${\displaystyle \mu ,\nu \in \mathbb {R} ,\,\mu \geq 0}$ 

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mu \nu \\{\frac {1}{2}}(\nu ^{2}-\mu ^{2})\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}\mu \\\nu \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\sqrt {{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-y}}\\{\rm {sign}}(x)\left({\sqrt {y^{2}+x^{2}}}+y\right)\end{pmatrix}}}$ 

wo sign das Vorzeichen seines Arguments ausgibt. Die Kurven, auf denen μ konstant ist (was die Niveaulinien von μ in der xy-Ebene sind,) bilden die nach oben (d. h. in positiver y-Richtung) offenen konfokalen Parabeln

${\displaystyle y=-{\frac {\mu ^{2}}{2}}+{\frac {x^{2}}{2\mu ^{2}}}}$ 

grün im Bild, während die Niveaulinien von ν nach unten offene konfokale Parabeln sind:

${\displaystyle y={\frac {\nu ^{2}}{2}}-{\frac {x^{2}}{2\nu ^{2}}}}$ 

rot im Bild. Fasst man die Ebene als komplexe Ebene auf mit imaginärer Einheit i²=-1, so gilt

${\displaystyle x+{\rm {i}}y=-{\frac {\rm {i}}{2}}(\mu +{\rm {i}}\nu )^{2}.}$ 

Die Potenzierung komplexer Zahlen mit reellem Exponenten ist eine Holomorphe Funktion, was die Orthogonalität der parabolischen Koordinaten in der Ebene begründet.

Die kovarianten Basisvektoren sind

${\displaystyle {\vec {g}}_{\mu }={\frac {\partial }{\partial \mu }}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\nu \\-\mu \end{pmatrix}},\quad {\vec {g}}_{\nu }={\frac {\partial }{\partial \nu }}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mu \\\nu \end{pmatrix}}}$ 

die, wie es sein muss, senkrecht zueinander sind, und deren Beträge die metrischen Faktoren sind:

${\displaystyle h_{\mu }:=|{\vec {g}}_{\mu }|={\sqrt {\mu ^{2}+\nu ^{2}}},\quad h_{\nu }:=|{\vec {g}}_{\nu }|={\sqrt {\mu ^{2}+\nu ^{2}}}=h_{\mu }:=h}$ 

Das parabolische Orthonormalsystem ist dementsprechend

${\displaystyle {\hat {c}}_{\mu }={\frac {1}{h}}{\begin{pmatrix}\nu \\-\mu \end{pmatrix}},\quad {\hat {c}}_{\nu }={\frac {1}{h}}{\begin{pmatrix}\mu \\\nu \end{pmatrix}}}$ 

Das Linien- und Flächenelement ergibt sich zu

${\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {d}}{\vec {r}}=&{\vec {g}}_{\mu }{\rm {d}}\mu +{\vec {g}}_{\nu }{\rm {d}}\nu \\{\rm {d}}s^{2}:=&|{\rm {d}}{\vec {r}}|^{2}=h^{2}({\rm {d}}\mu ^{2}+{\rm {d}}\nu ^{2})\\{\rm {d}}A:=&h^{2}{\rm {d}}\mu \,{\rm {d}}\nu \end{aligned}}}$ 

Die üblichen Differentialoperatoren führt die Tabelle auf^[1]:21 ${\displaystyle (h={\sqrt {\mu ^{2}+\nu ^{2}}},{\vec {v}}=v_{\mu }{\hat {c}}_{\mu }+v_{\nu }{\hat {c}}_{\nu })}$ 

Gradient	${\displaystyle {\rm {grad}}\,f={\frac {1}{h}}\left({\hat {c}}_{\mu }{\frac {\partial f}{\partial \mu }}+{\hat {c}}_{\nu }{\frac {\partial f}{\partial \nu }}\right)}$
Divergenz	${\displaystyle {\rm {div}}\,{\vec {v}}={\frac {1}{h^{2}}}\left({\frac {\partial (hv_{\mu })}{\partial \mu }}+{\frac {\partial (hv_{\nu })}{\partial \nu }}\right)}$
Rotation	${\displaystyle {\rm {rot}}\,{\vec {v}}={\frac {1}{h^{2}}}\left({\frac {\partial (hv_{\nu })}{\partial \mu }}-{\frac {\partial (hv_{\mu })}{\partial \nu }}\right)}$
Laplace-Operator	${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{h^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \nu ^{2}}}\right)}$

Die besondere Form des Laplace-Operators erlaubt eine Lösung der Helmholtz-Gleichung durch multiplikative Trennung der Veränderlichen gemäß dem Separationsansatz^[1]:22

${\displaystyle \phi (\mu ,\nu )=M(\mu )\cdot N(\nu )}$ 

Mit obigem Laplace-Operator entsteht die Helmholtz-Gleichung:

${\displaystyle \Delta \phi (\mu ,\nu )={\frac {1}{\mu ^{2}+\nu ^{2}}}\left({\frac {{\rm {d}}^{2}M}{{\rm {d}}\mu ^{2}}}N+M{\frac {{\rm {d}}^{2}N}{{\rm {d}}\nu ^{2}}}\right)=\lambda \cdot M\cdot N}$ 

Multiplikation beider Seiten mit ${\displaystyle {\tfrac {\mu ^{2}+\nu ^{2}}{M\cdot N}}}$  liefert umgestellt

${\displaystyle {\frac {\frac {{\rm {d}}^{2}M}{{\rm {d}}\mu ^{2}}}{M}}-\lambda \mu ^{2}=\lambda \nu ^{2}-{\frac {\frac {{\rm {d}}^{2}N}{{\rm {d}}\nu ^{2}}}{N}}}$ 

Weil die linke Seite nur von μ und die rechte nur von ν abhängt, stehen auf beiden Seiten Konstanten:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\frac {{\rm {d}}^{2}M}{{\rm {d}}\mu ^{2}}}{M}}-\lambda \mu ^{2}=\kappa ^{2}\rightarrow {\frac {{\rm {d}}^{2}M}{{\rm {d}}\mu ^{2}}}-(\lambda \mu ^{2}+\kappa ^{2})M=0\\\lambda \nu ^{2}-{\frac {\frac {{\rm {d}}^{2}N}{{\rm {d}}\nu ^{2}}}{N}}=\kappa ^{2}\rightarrow {\frac {{\rm {d}}^{2}N}{{\rm {d}}\nu ^{2}}}-(\lambda \nu ^{2}-\kappa ^{2})N=0\end{aligned}}}$ 

Rechts stehen Webersche Differentialgleichungen^[5], die von parabolischen Zylinderfunktionen erfüllt werden.^[3]:138[4].

Im Fall der Laplace-Gleichung ist λ=0 und die Lösungsfunktion kann mit dem Sinus und Cosinus sowie dem Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus ausgedrückt werden:

${\displaystyle \phi (\mu ,\nu )=[A\sinh(\kappa \mu )+B\cosh(\kappa \mu )][C\sin(\kappa \nu )+D\cos(\kappa \nu )]}$ 

Die Konstanten A, B, C, D und κ dienen der Anpassung an Randbedingungen. Wenn die Separationskonstante κ² mit negativem Vorzeichen angesetzt wird, vertauschen sich in der Lösungsfunktion die Winkelfunktionen durch die Hyperbelfunktionen und umgekehrt.

 

Durch Rotation der Parabeln um ihre Symmetrieachse entstehen rotierte parabolische Koordinaten, wobei die Parabeln Rotationsflächen formen, siehe Bild.^[1]:34 Für eine ein-eindeutige Beziehung zwischen den Kartesischen Koordinaten und den parabolischen Koordinaten wird nur die rechte Halbebene gedreht, sodass mit den Einschränkungen ${\displaystyle \mu ,\nu ,\psi \in \mathbb {R} ^{\geq 0},\psi <2\pi }$  die Zusammenhänge

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\vec {r}}(\mu ,\nu ,\psi )={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mu \nu \cos \psi \\\mu \nu \sin \psi \\{\frac {1}{2}}(\mu ^{2}-\nu ^{2})\end{pmatrix}}\\&{\begin{pmatrix}\mu \\\nu \\\psi \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\sqrt {r+z}}\\{\sqrt {r-z}}\\{\rm {atan2}}(y,x)\end{pmatrix}},\;r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\end{aligned}}}$ 

ein-eindeutig sind. Darin ist atan2 eine Umkehrfunktion des Tangens.

Die kovarianten Basisvektoren sind

${\displaystyle g_{\mu }={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \mu }}={\begin{pmatrix}\nu \cos(\psi )\\\nu \sin(\psi )\\\mu \end{pmatrix}},\;g_{\nu }={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \nu }}={\begin{pmatrix}\mu \cos(\psi )\\\mu \sin(\psi )\\-\nu \end{pmatrix}},\;g_{\psi }={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \psi }}={\begin{pmatrix}-\mu \nu \sin(\psi )\\\mu \nu \cos(\psi )\\0\end{pmatrix}}}$ 

aus denen sich die metrischen Faktoren

${\displaystyle h_{\mu }:=|{\vec {g}}_{\mu }|=h_{\nu }:=|{\vec {g}}_{\nu }|=:h={\sqrt {\mu ^{2}+\nu ^{2}}},\quad h_{\psi }:=|{\vec {g}}_{\psi }|=\mu \nu }$ 

ergeben. Das parabolische Orthonormalsystem ist demzufolge

${\displaystyle {\hat {c}}_{\mu }={\frac {1}{h}}{\begin{pmatrix}\nu \cos(\psi )\\\nu \sin(\psi )\\\mu \end{pmatrix}},\quad {\hat {c}}_{\nu }={\frac {1}{h}}{\begin{pmatrix}\mu \cos(\psi )\\\mu \sin(\psi )\\-\nu \end{pmatrix}},\quad {\hat {c}}_{\psi }={\begin{pmatrix}-\sin(\psi )\\\cos(\psi )\\0\end{pmatrix}}}$ 

Die Linien-, Flächen- und Volumenelemente ergeben sich zu

${\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {d}}{\vec {r}}=&{\vec {g}}_{\mu }\,{\rm {d}}\mu +{\vec {g}}_{\nu }\,{\rm {d}}\nu +{\vec {g}}_{\psi }\,{\rm {d}}\psi \\{\rm {d}}s^{2}:=&|{\rm {d}}{\vec {r}}|^{2}=h^{2}({\rm {d}}\mu ^{2}+{\rm {d}}\nu ^{2})+\mu ^{2}\nu ^{2}\,{\rm {d}}\psi ^{2}\\\mathrm {d} {\vec {a}}=&+h^{2}{\hat {c}}_{\psi }\,\mathrm {d} \mu \,\mathrm {d} \nu +h\mu \nu {\hat {c}}_{\mu }\,\mathrm {d} \nu \,\mathrm {d} \psi +h\mu \nu {\hat {c}}_{\nu }\,\mathrm {d} \psi \,\mathrm {d} \mu \\\mathrm {d} V=&h^{2}\mu \nu \,\mathrm {d} \mu \,\mathrm {d} \nu \,\mathrm {d} \psi \end{aligned}}}$ 

Die üblichen Differentialoperatoren führt die Tabelle auf^[1]:35 ${\displaystyle (h={\sqrt {\mu ^{2}+\nu ^{2}}},{\vec {v}}=v_{\mu }{\hat {c}}_{\mu }+v_{\nu }{\hat {c}}_{\nu }+v_{\psi }{\hat {c}}_{\psi })}$ 

Gradient	${\displaystyle {\rm {grad}}\,f={\frac {1}{h}}\left({\hat {c}}_{\mu }{\frac {\partial f}{\partial \mu }}+{\hat {c}}_{\nu }{\frac {\partial f}{\partial \nu }}\right)+{\frac {{\hat {c}}_{\psi }}{\mu \nu }}{\frac {\partial f}{\partial \psi }}}$
Divergenz	${\displaystyle {\rm {div}}\,{\vec {v}}={\frac {1}{h^{2}}}\left({\frac {1}{\mu }}{\frac {\partial (h\mu v_{\mu })}{\partial \mu }}+{\frac {1}{\nu }}{\frac {\partial (h\nu v_{\nu })}{\partial \nu }}\right)+{\frac {1}{\mu \nu }}{\frac {\partial v_{\psi }}{\partial \psi }}}$
Rotation	${\displaystyle {\rm {rot}}\,{\vec {v}}={\frac {{\hat {c}}_{\mu }}{h\mu \nu }}\left[{\frac {\partial (\mu \nu v_{\psi })}{\partial \nu }}-{\frac {\partial (hv_{\nu })}{\partial \psi }}\right]+{\frac {{\hat {c}}_{\nu }}{h\mu \nu }}\left[{\frac {\partial (hv_{\mu })}{\partial \psi }}-{\frac {\partial (\mu \nu v_{\psi })}{\partial \mu }}\right]+{\frac {{\hat {c}}_{\psi }}{h^{2}}}\left[{\frac {\partial (hv_{\nu })}{\partial \mu }}-{\frac {\partial (hv_{\mu })}{\partial \nu }}\right]}$
Laplace-Operator	${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{h^{2}}}\left[{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {1}{\mu }}{\frac {\partial f}{\partial \mu }}+{\frac {1}{\nu }}{\frac {\partial f}{\partial \nu }}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \nu ^{2}}}\right]+{\frac {1}{\mu ^{2}\nu ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \psi ^{2}}}}$

Die Helmholtz-Gleichung ${\displaystyle \Delta \phi =\lambda \phi }$  schreibt sich mit obigem Laplace-Operator:

${\displaystyle {\frac {1}{\mu ^{2}+\nu ^{2}}}\left[{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {1}{\mu }}{\frac {\partial \phi }{\partial \mu }}+{\frac {1}{\nu }}{\frac {\partial \phi }{\partial \nu }}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \nu ^{2}}}\right]+{\frac {1}{\mu ^{2}\nu ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \psi ^{2}}}=\lambda \phi }$ 

Mit dem Separationsansatz^[1]:36

${\displaystyle \phi (\mu ,\nu ,\psi )=M(\mu )\cdot N(\nu )\cdot \Psi (\psi )}$ 

liefert Multiplikation der Helmholtz-Gleichung mit ${\displaystyle {\tfrac {\mu ^{2}\nu ^{2}}{MN\Psi }}}$ 

${\displaystyle {\frac {\mu ^{2}\nu ^{2}}{\mu ^{2}+\nu ^{2}}}\left[{\frac {\frac {{\rm {d}}^{2}M}{{\rm {d}}\mu ^{2}}}{M}}+{\frac {\frac {{\rm {d}}M}{{\rm {d}}\mu }}{\mu M}}+{\frac {\frac {{\rm {d}}N}{{\rm {d}}\nu }}{\nu N}}+{\frac {\frac {{\rm {d}}^{2}N}{{\rm {d}}\nu ^{2}}}{N}}\right]+{\frac {\frac {{\rm {d}}^{2}\Psi }{{\rm {d}}\psi ^{2}}}{\Psi }}=\lambda \mu ^{2}\nu ^{2}}$ 

Nur der letzte Bruch auf der linken Seite hängt von ψ ab, weswegen er eine Konstante κ darstellt:

${\displaystyle {\frac {\frac {{\rm {d}}^{2}\Psi }{{\rm {d}}\psi ^{2}}}{\Psi }}=\kappa }$ 

Einsetzen von κ gestattet auch μ und ν voneinander zu trennen:

${\displaystyle {\frac {\frac {{\rm {d}}^{2}M}{{\rm {d}}\mu ^{2}}}{M}}+{\frac {\frac {{\rm {d}}M}{{\rm {d}}\mu }}{\mu M}}+{\frac {\kappa }{\mu ^{2}}}-\lambda \mu ^{2}=\lambda \nu ^{2}-{\frac {\kappa }{\nu ^{2}}}-{\frac {\frac {{\rm {d}}N}{{\rm {d}}\nu }}{\nu N}}-{\frac {\frac {{\rm {d}}^{2}N}{{\rm {d}}\nu ^{2}}}{N}}}$ 

Weil die linke Seite nur von μ und die rechte nur von ν abhängen, können beide Seiten der Gleichung mit einer Konstanten η gleichgesetzt werden, was auf die Differentialgleichungen

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} ^{2}M}{\mathrm {d} \mu ^{2}}}+{\frac {1}{\mu }}{\frac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} \mu }}+\left({\frac {\kappa }{\mu ^{2}}}-\eta -\lambda \mu ^{2}\right)M=&0\\{\frac {\mathrm {d} ^{2}N}{\mathrm {d} \nu ^{2}}}+{\frac {1}{\nu }}{\frac {\mathrm {d} N}{\mathrm {d} \nu }}+\left({\frac {\kappa }{\nu ^{2}}}+\eta -\lambda \nu ^{2}\right)N=&0\\{\frac {\mathrm {d} ^{2}\Psi }{\mathrm {d} \psi ^{2}}}-\kappa \Psi =&0\end{aligned}}}$ 

führt, für die es Lösungen gibt.^[1]:36

 

Die parabolischen Zylinderkoordinaten entstehen aus den ebenen parabolischen Koordinaten des vorangegangenen Abschnitts durch Extrusion senkrecht zur xy-Ebene in z-Richtung, sodass viele Eigenschaften von dort hierher übertragen werden können.

Die parabolischen Zylinderkoordinaten ${\displaystyle (\mu ,\nu ,z)}$  und die kartesischen ${\displaystyle (x,y,z)}$  hängen wie folgt zusammen:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mu \nu \\{\frac {1}{2}}(\nu ^{2}-\mu ^{2})\\z\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}\mu \\\nu \\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\sqrt {{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-y}}\\{\rm {sign}}(x)\left({\sqrt {y^{2}+x^{2}}}+y\right)\\z\end{pmatrix}}}$ 

Die Niveauflächen, auf denen μ konstant ist, sind in positiver y-Richtung offene konfokale parabolische Zylinder^[3]:140 mit

${\displaystyle y=-{\frac {\mu ^{2}}{2}}+{\frac {x^{2}}{2\mu ^{2}}}}$ 

rot im Bild, während die Niveauflächen von ν die in negativer y-Richtung offenen konfokalen parabolischen Zylinder sind:

${\displaystyle y={\frac {\nu ^{2}}{2}}-{\frac {x^{2}}{2\nu ^{2}}}}$ 

gelb im Bild. Die Niveauflächen mit z=const. sind zueinander parallele Ebenen, blau im Bild.

Die Kovarianten Basisvektoren sind

${\displaystyle {\vec {g}}_{\mu }={\frac {\partial }{\partial \mu }}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\nu \\-\mu \\0\end{pmatrix}},\quad {\vec {g}}_{\nu }={\frac {\partial }{\partial \nu }}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mu \\\nu \\0\end{pmatrix}},\quad {\vec {g}}_{z}={\frac {\partial }{\partial z}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}}$ 

die, wie es sein muss, senkrecht zueinander sind, und deren Beträge die metrischen Faktoren sind:

${\displaystyle h_{\mu }:=|{\vec {g}}_{\mu }|={\sqrt {\mu ^{2}+\nu ^{2}}},\quad h_{\nu }:=|{\vec {g}}_{\nu }|={\sqrt {\mu ^{2}+\nu ^{2}}}=h_{\mu }:=h,\quad h_{z}:=|{\vec {g}}_{z}|=1}$ 

Das parabolische zylindrische Orthonormalsystem ist dementsprechend

${\displaystyle {\hat {c}}_{\mu }={\frac {1}{h}}{\begin{pmatrix}\nu \\-\mu \\0\end{pmatrix}},\quad {\hat {c}}_{\nu }={\frac {1}{h}}{\begin{pmatrix}\mu \\\nu \\0\end{pmatrix}},\quad {\hat {c}}_{z}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}}$ 

Das Linien-, Flächen- und Volumenelement lauten

${\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {d}}{\vec {r}}=&h{\hat {c}}_{\mu }\,{\rm {d}}\mu +h{\hat {c}}_{\nu }\,{\rm {d}}\nu +{\hat {c}}_{z}\,{\rm {d}}z\\{\rm {d}}s^{2}:=&|{\rm {d}}{\vec {r}}|^{2}=h^{2}({\rm {d}}\mu ^{2}+{\rm {d}}\nu ^{2})+{\rm {d}}z^{2}\\{\rm {d}}A:=&h{\hat {c}}_{\nu }\,{\rm {d}}\mu \,\,{\rm {d}}z+h{\hat {c}}_{\mu }\,{\rm {d}}\nu \,{\rm {d}}z+h^{2}{\hat {c}}_{z}\,{\rm {d}}\nu \,{\rm {d}}\mu \\{\rm {d}}V:=&h^{2}{\rm {d}}\mu \,{\rm {d}}\nu \,{\rm {d}}z\end{aligned}}}$ 

Die üblichen Differentialoperatoren führt die Tabelle auf^[1]:21 ${\displaystyle (h={\sqrt {\mu ^{2}+\nu ^{2}}},{\vec {v}}=v_{\mu }{\hat {c}}_{\mu }+v_{\nu }{\hat {c}}_{\nu }+v_{z}{\hat {c}}_{z})}$ 

Gradient	${\displaystyle {\rm {grad}}\,f={\frac {1}{h}}\left({\hat {c}}_{\mu }{\frac {\partial f}{\partial \mu }}+{\hat {c}}_{\nu }{\frac {\partial f}{\partial \nu }}\right)+{\hat {c}}_{z}{\frac {\partial f}{\partial z}}}$
Divergenz	${\displaystyle {\rm {div}}\,{\vec {v}}={\frac {1}{h^{2}}}\left({\frac {\partial (hv_{\mu })}{\partial \mu }}+{\frac {\partial (hv_{\nu })}{\partial \nu }}\right)+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}}$
Rotation	${\displaystyle {\rm {rot}}\,{\vec {v}}={\frac {{\hat {c}}_{\mu }}{h}}\left[{\frac {\partial v_{z}}{\partial \nu }}-{\frac {\partial (hv_{\nu })}{\partial z}}\right]+{\frac {{\hat {c}}_{\nu }}{h}}\left[{\frac {\partial (hv_{\mu })}{\partial z}}-{\frac {\partial v_{z}}{\partial \mu }}\right]+{\frac {{\hat {c}}_{z}}{h^{2}}}\left[{\frac {\partial (hv_{\nu })}{\partial \mu }}-{\frac {\partial (hv_{\mu })}{\partial \nu }}\right]}$
Laplace-Operator	${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{h^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \nu ^{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}}$

Die multiplikative Trennung der Veränderlichen verläuft ähnlich wie bei der #Lösung der Laplace- und Helmholtz-Gleichung in der Ebene, es muss nur die z-Koordinate hinzugenommen werden^[1]:22

${\displaystyle \phi (\mu ,\nu )=M(\mu )\cdot N(\nu )\cdot Z(z)}$ 

Mit obigem Laplace-Operator entsteht die Helmholtz-Gleichung:

${\displaystyle \Delta \phi (\mu ,\nu )={\frac {1}{\mu ^{2}+\nu ^{2}}}\left({\frac {{\rm {d}}^{2}M}{{\rm {d}}\mu ^{2}}}NZ+M{\frac {{\rm {d}}^{2}N}{{\rm {d}}\nu ^{2}}}Z\right)+MN{\frac {{\rm {d}}^{2}Z}{{\rm {d}}z^{2}}}=\lambda MNZ}$ 

Division beider Seiten durch ${\displaystyle MNZ}$  liefert

${\displaystyle {\frac {1}{\mu ^{2}+\nu ^{2}}}\left({\frac {\frac {{\rm {d}}^{2}M}{{\rm {d}}\mu ^{2}}}{M}}+{\frac {\frac {{\rm {d}}^{2}N}{{\rm {d}}\nu ^{2}}}{N}}\right)+{\frac {\frac {{\rm {d}}^{2}Z}{{\rm {d}}z^{2}}}{Z}}=\lambda }$ 

Auf der rechten Seite steht eine Konstante und nur der letzte Bruch auf der linken Seite hängt von z ab. Daher muss dieser Term ebenfalls konstant sein:

${\displaystyle {\frac {\frac {{\rm {d}}^{2}Z}{{\rm {d}}z^{2}}}{Z}}:=\eta \rightarrow Z(z)=E\exp({\sqrt {\eta }}z)+F\exp(-{\sqrt {\eta }}z)}$ 

Diese Konstante oben eingesetzt ergibt wie in der Ebene nur mit λ-η statt λ:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {{\rm {d}}^{2}M}{{\rm {d}}\mu ^{2}}}-[(\lambda -\eta )\mu ^{2}+\kappa ^{2}]M=0\\{\frac {{\rm {d}}^{2}N}{{\rm {d}}\nu ^{2}}}-[(\lambda -\eta )\nu ^{2}-\kappa ^{2}]N=0\end{aligned}}}$ 

und die Lösung erfolgt auch wie dort.

Im Fall der Laplace-Gleichung ist λ=0 und die Lösungsfunktion kann mit dem Sinus und Cosinus sowie dem Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus ausgedrückt werden:

${\displaystyle \phi (\mu ,\nu ,z)=[A\sinh(\kappa \mu )+B\cosh(\kappa \mu )][C\sin(\kappa \nu )+D\cos(\kappa \nu )][E\exp({\sqrt {\eta }}z)+F\exp(-{\sqrt {\eta }}z)]}$ 

Die Konstanten A, B, C, D, E, F, η und κ dienen der Anpassung an Randbedingungen. Wenn die Separationskonstante κ² mit negativem Vorzeichen angesetzt wird, vertauschen sich in der Lösungsfunktion die Winkelfunktionen durch die Hyperbelfunktionen und umgekehrt, und je nach Vorzeichen von η ist der von z abhängige Faktor eine Wellen- oder Exponentialfunktion.

 

Die Paraboloid-Koordinaten (englisch paraboloidal coordinates^{[2]:664[1]:44}) sind die formale Fortsetzung des Konzepts der konfokalen Parabeln der Ebene in den dreidimensionalen Raum, siehe Bild. Hier bestimmen die Schnittpunkte zweier elliptischer Paraboloide (gelb und rot) und eines hyperbolischen Paraboloids (blau) die Koordinaten eines Punktes (P im Bild).

Die Paraboloid-Koordinaten ${\displaystyle (\mu ,\lambda ,\nu )}$  und die kartesischen ${\displaystyle (x,y,z)}$  hängen wie folgt zusammen:^[1]:44[6]

${\displaystyle {\vec {r}}:={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\sqrt {{\frac {4}{c}}(\mu -a)(a-\lambda )(a-\nu )}}\\{\sqrt {{\frac {4}{c}}(\mu -b)(\lambda -b)(b-\nu )}}\\\mu +\lambda +\nu -a-b\end{pmatrix}}}$  mit ${\displaystyle c:=a-b,\;\mu >a>\lambda >b>\nu }$ 

und b > 0. Nur die dritte Koordinate ν kann negative Werte annehmen. Die Niveauflächen, auf denen μ konstant ist, sind in negativer z-Richtung offene konfokale elliptische Paraboloide mit

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{\mu -a}}+{\frac {y^{2}}{\mu -b}}=-4(z-\mu )}$ 

rot im Bild, und die Niveauflächen von ν sind solche in positiver z-Richtung offene:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a-\nu }}+{\frac {y^{2}}{b-\nu }}=4(z-\nu )}$ 

gelb im Bild. Die Niveauflächen mit λ=const. sind hyperbolische Paraboloide

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a-\lambda }}-{\frac {y^{2}}{\lambda -b}}=4(z-\lambda )}$ 

blau im Bild.

Die Koordinaten können mit den drei grundlegenden Jacobischen Funktionen sinus– sn, cosinus– cn bzw. delta amplitudinis dn mit dem elliptischen Modul ${\displaystyle k={\sqrt {b/a}}}$  und dem komplementären Parameter ${\displaystyle k'={\sqrt {1-k^{2}}}={\sqrt {c/a}},\,c:=a-b}$  als Funktion dreier Parameter α, β und γ sowie Skalierung ${\displaystyle d\in \mathbb {R} ^{>0}}$  dargestellt werden^[2]:664:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mu \\\lambda \\\nu \end{pmatrix}}=a{\begin{pmatrix}{\frac {{\rm {dn}}(\alpha ,k)^{2}}{{\rm {cn}}(\alpha ,k)^{2}}}\\{\rm {dn}}(\gamma ,k')^{2}\\1-{\frac {{k'}^{2}}{{\rm {cn}}(\beta ,k)^{2}}}\end{pmatrix}}}$ 

und

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\frac {d}{2}}{\begin{pmatrix}2{\frac {{\rm {sn}}(\alpha ,k){\rm {sn}}(\gamma ,k')}{{\rm {cn}}(\alpha ,k){\rm {cn}}(\beta ,k)}}\\2{\frac {{\rm {sn}}(\beta ,k){\rm {cn}}(\gamma ,k')}{{\rm {cn}}(\alpha ,k){\rm {cn}}(\beta ,k)}}\\{\frac {{\rm {sn}}(\alpha ,k)^{2}}{{\rm {cn}}(\alpha ,k)^{2}}}-{\frac {{\rm {sn}}(\beta ,k)^{2}}{{\rm {cn}}(\beta ,k)^{2}}}+{\frac {{\rm {dn}}(\gamma ,k')^{2}}{{k'}^{2}}}\end{pmatrix}}={\frac {d}{c}}{\begin{pmatrix}{\sqrt {{\frac {1}{c}}(\mu -a)(a-\lambda )(a-\nu )}}\\{\sqrt {{\frac {1}{c}}(\mu -b)(\lambda -b)(b-\nu )}}\\{\frac {1}{2}}(\mu +\lambda +\nu -a-b)\\\end{pmatrix}}}$ 

Die Niveauflächen sind dann^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x^{2}}{\mu -a}}+{\frac {y^{2}}{\mu -b}}=&-{\frac {d^{2}}{c^{2}}}\left({\frac {2cz}{d}}-\mu \right)\\{\frac {x^{2}}{a-\lambda }}-{\frac {y^{2}}{\lambda -b}}=&{\frac {d^{2}}{c^{2}}}\left({\frac {2cz}{d}}-\lambda \right)\\{\frac {x^{2}}{a-\nu }}+{\frac {y^{2}}{b-\nu }}=&{\frac {d^{2}}{c^{2}}}\left({\frac {2cz}{d}}-\nu \right)\end{aligned}}}$ 

Die Kovarianten Basisvektoren sind

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {g}}_{\mu }:=&{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \mu }}={\begin{pmatrix}{\frac {2}{cx}}(a-\lambda )(a-\nu )\\{\frac {2}{cy}}(\lambda -b)(b-\nu )\\1\end{pmatrix}}\\{\vec {g}}_{\lambda }:=&{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \lambda }}={\begin{pmatrix}-{\frac {2}{cx}}(\mu -a)(a-\nu )\\{\frac {2}{cy}}(\mu -b)(b-\nu )\\1\end{pmatrix}}\\{\vec {g}}_{\nu }:=&{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \nu }}={\begin{pmatrix}-{\frac {2}{cx}}(\mu -a)(a-\lambda )\\-{\frac {2}{cy}}(\mu -b)(\lambda -b)\\1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$ 

die, wie es sein muss, senkrecht zueinander sind, und deren Beträge die metrischen Faktoren sind:

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{\mu }:=&|{\vec {g}}_{\mu }|={\sqrt {\frac {(\mu -\lambda )(\mu -\nu )}{(\mu -a)(\mu -b)}}}\\h_{\lambda }:=&|{\vec {g}}_{\lambda }|={\sqrt {\frac {(\mu -\lambda )(\lambda -\nu )}{(a-\lambda )(\lambda -b)}}}\\h_{\nu }:=&|{\vec {g}}_{\nu }|={\sqrt {\frac {(\mu -\nu )(\lambda -\nu )}{(a-\nu )(b-\nu )}}}\end{aligned}}}$ 

Das paraboloide Orthonormalsystem ist dementsprechend

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {c}}_{\mu }=&{\sqrt {\frac {(\mu -a)(\mu -b)}{(\mu -\lambda )(\mu -\nu )}}}{\begin{pmatrix}{\frac {2}{cx}}(a-\lambda )(a-\nu )\\{\frac {2}{cy}}(\lambda -b)(b-\nu )\\1\end{pmatrix}}\\{\hat {c}}_{\lambda }=&{\sqrt {\frac {(a-\lambda )(\lambda -b)}{(\mu -\lambda )(\lambda -\nu )}}}{\begin{pmatrix}-{\frac {2}{cx}}(\mu -a)(a-\nu )\\{\frac {2}{cy}}(\mu -b)(b-\nu )\\1\end{pmatrix}}\\{\hat {c}}_{\nu }=&{\sqrt {\frac {(a-\nu )(b-\nu )}{(\mu -\nu )(\lambda -\nu )}}}{\begin{pmatrix}-{\frac {2}{cx}}(\mu -a)(a-\lambda )\\-{\frac {2}{cy}}(\mu -b)(\lambda -b)\\1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$ 

Das Linien-, Flächen- und Volumenelement lauten^[1]:45

${\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {d}}{\vec {r}}=&h_{\mu }{\hat {c}}_{\mu }\,{\rm {d}}\mu +h_{\nu }{\hat {c}}_{\nu }\,{\rm {d}}\nu +h_{\lambda }{\hat {c}}_{\lambda }\,{\rm {d}}\lambda \\{\rm {d}}s^{2}:=&|{\rm {d}}{\vec {r}}|^{2}={\frac {(\mu -\nu )(\mu -\lambda )}{(\mu -b)(\mu -c)}}{\rm {d}}\mu ^{2}+{\frac {(\lambda -\nu )(\mu -\nu )}{(b-\nu )(c-\nu )}}{\rm {d}}\nu ^{2}+{\frac {(\lambda -\nu )(\mu -\lambda )}{(b-\lambda )(\lambda -c)}}{\rm {d}}\lambda ^{2}\\{\rm {d}}A:=&h_{\mu }h_{\lambda }{\hat {c}}_{\nu }\,{\rm {d}}\mu \,\,{\rm {d}}\lambda +h_{\lambda }h_{\nu }{\hat {c}}_{\mu }\,{\rm {d}}\lambda \,\,{\rm {d}}\nu +h_{\nu }h_{\mu }{\hat {c}}_{\lambda }\,{\rm {d}}\nu \,\,{\rm {d}}\mu \\{\rm {d}}V:=&{\frac {(\mu -\lambda )(\lambda -\nu )(\mu -\nu )}{\sqrt {(\mu -a)(\mu -b)(a-\lambda )(\lambda -b)(a-\nu )(b-\nu )}}}{\rm {d}}\mu \,{\rm {d}}\lambda \,{\rm {d}}\nu \\=&4{\frac {(\mu -\lambda )(\mu -\nu )(\lambda -\nu )}{cxy}}{\rm {d}}\mu \,{\rm {d}}\lambda \,{\rm {d}}\nu \end{aligned}}}$ 

Wegen der länglichen Ausdrücke für die metrischen Faktoren, wird auf die allgemeine Darstellung der Operatoren Gradient, Divergenz und Rotation eines Vektorfeldes im Hauptartikel verwiesen.

Der Laplace-Operator ist:^{[7]:406[2]:655}

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta f=&{\frac {\sqrt {(\mu -a)(\mu -b)}}{(\mu -\lambda )(\mu -\nu )}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left({\sqrt {(\mu -a)(\mu -b)}}{\frac {\partial f}{\partial \mu }}\right)\\&+{\frac {\sqrt {(a-\lambda )(\lambda -b)}}{(\mu -\lambda )(\lambda -\nu )}}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\left({\sqrt {(a-\lambda )(\lambda -b)}}{\frac {\partial f}{\partial \lambda }}\right)\\&+{\frac {\sqrt {(a-\nu )(b-\nu )}}{(\mu -\nu )(\lambda -\nu )}}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left({\sqrt {(a-\nu )(b-\nu )}}{\frac {\partial f}{\partial \nu }}\right)\end{aligned}}}$ 

Paraboloid-Koordinaten bieten sich bei der Lösung von Randwertaufgaben an, in denen die Ränder paraboloidförmig sind. Die Lösung wird erleichtert, wenn eine Trennung der Variablen gelingt, was in Paraboloid-Koordinaten immer möglich ist^[1]:7[2]:511 Das im Hauptartikel angegebene Vorgehen zur Trennung der Variablen basiert auf der Stäckel-Matrix, die in jeder Zeile nur von einer Koordinate abhängige Ansatzfunktionen enthält und hier

${\displaystyle \mathbf {S} ={\begin{pmatrix}{\frac {\mu ^{2}}{4(\mu -a)(\mu -b)}}&{\frac {1}{(\mu -a)(\mu -b)}}&{\frac {\mu }{2(\mu -a)(\mu -b)}}\\{\frac {-\lambda ^{2}}{4(a-\lambda )(\lambda -b)}}&{\frac {-1}{(a-\lambda )(\lambda -b)}}&{\frac {-\lambda }{2(a-\lambda )(\lambda -b)}}\\{\frac {\nu ^{2}}{4(a-\nu )(b-\nu )}}&{\frac {1}{(a-\nu )(b-\nu )}}&{\frac {\nu }{2(a-\nu )(b-\nu )}}\end{pmatrix}}}$ 

lautet.^[1]:44 Die Stäckel-Determinante ist die Determinante dieser Matrix:

${\displaystyle S={\frac {(\mu -\lambda )(\mu -\nu )(\lambda -\nu )}{8(\mu -a)(\mu -b)(a-\lambda )(\lambda -b)(a-\nu )(b-\nu )}}}$ 

mit den Minoren

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{11}=&{\begin{vmatrix}{\frac {-1}{(a-\lambda )(\lambda -b)}}&{\frac {-\lambda }{2(a-\lambda )(\lambda -b)}}\\{\frac {1}{(a-\nu )(b-\nu )}}&{\frac {\nu }{2(a-\nu )(b-\nu )}}\end{vmatrix}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&={\frac {\lambda -\nu }{2(a-\lambda )(\lambda -b)(a-\nu )(b-\nu )}}\\M_{21}=&-{\begin{vmatrix}{\frac {1}{(\mu -a)(\mu -b)}}&{\frac {\mu }{2(\mu -a)(\mu -b)}}\\{\frac {1}{(a-\nu )(b-\nu )}}&{\frac {\nu }{2(a-\nu )(b-\nu )}}\end{vmatrix}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&={\frac {\mu -\nu }{2(\mu -a)(\mu -b)(a-\nu )(b-\nu )}}\\M_{31}=&{\begin{vmatrix}{\frac {1}{(\mu -a)(\mu -b)}}&{\frac {\mu }{2(\mu -a)(\mu -b)}}\\{\frac {-1}{(a-\lambda )(\lambda -b)}}&{\frac {-\lambda }{2(a-\lambda )(\lambda -b)}}\end{vmatrix}}&={\frac {\mu -\lambda }{2(\mu -a)(\mu -b)(a-\lambda )(\lambda -b)}},\end{aligned}}}$