Orthogonalsystem

Eine Teilmenge ${\displaystyle M}$  eines Prähilbertraums ${\displaystyle V}$  heißt Orthogonalsystem, wenn gilt:

1. Je zwei verschiedene Vektoren aus ${\displaystyle M}$  sind zueinander orthogonal: ${\displaystyle \forall v,w\in M:v\neq w\Rightarrow \langle v,w\rangle =0}$ 
2. Der Nullvektor ist nicht in der Menge enthalten.

Hier bezeichnet ${\displaystyle \langle v,w\rangle }$  das Skalarprodukt des Raums ${\displaystyle V}$ , im euklidischen Raum also das Standardskalarprodukt.

Gilt zusätzlich

Jeder Vektor aus ${\displaystyle M}$  ist normiert, d. h. ${\displaystyle \forall v\in M:\langle v,v\rangle =1}$ ,

so nennt man ${\displaystyle M}$  ein Orthonormalsystem.

• Orthogonalsysteme sind linear unabhängig.
• In separablen Hilberträumen (insbesondere in allen endlichdimensionalen Hilberträumen) lässt sich mit dem Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren aus jedem linear unabhängigen System ein Orthogonalsystem (bzw. Orthonormalsystem) bzw. aus jeder (Schauder-)Basis eine orthogonale (bzw. orthonormale) Basis konstruieren.
• Für ein Orthonormalsystem ${\displaystyle M}$  gilt die Besselsche Ungleichung

  ${\displaystyle \sum _{e\in M}|\langle x,\,e\rangle |^{2}\leq \|x\|^{2}\quad \forall ~x\in V.}$ 

• Für jeden Vektor ${\displaystyle x\in V}$  ist die Menge der ${\displaystyle e\in M}$ , für die ${\displaystyle \langle x,e\rangle \neq 0}$  gilt, höchstens abzählbar.

• Im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  mit dem Standardskalarprodukt ist die Standardbasis ein Orthogonalsystem
• In ${\displaystyle L^{2}([0,2\pi ])}$  bilden die Funktionen ${\displaystyle \cos(kx)}$  ein Orthogonalsystem (Siehe auch trigonometrisches Polynom)
• In ${\displaystyle \ell ^{2}}$  mit dem Skalarprodukt ${\displaystyle (a,b)\mapsto \sum a_{n}b_{n}}$  bilden die Folgen ${\displaystyle (0,\cdots ,0,1,0,\cdots )}$  ein Orthogonalsystem
• In dem Prähilbertraum der Polynome mit Grad kleiner gleich 5, ${\displaystyle {\mathcal {P}}^{5}([0,1])}$ , versehen mit dem ${\displaystyle L^{2}}$ -Skalarprodukt ${\displaystyle (a,b)\mapsto \int _{0}^{1}ab}$ , bilden die Funktionen

${\displaystyle x\mapsto 1}$  und ${\displaystyle x\mapsto x-{\frac {1}{2}}}$ 

ein Orthogonalsystem.

• Vollständiges Orthonormalsystem

• Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6.  Kapitel V.3 (Für den unendlichdimensionalen Fall, dort finden sich auch Beweise für die Beispiele)
• Gerd Fischer: Lineare Algebra: Eine Einführung für Studienanfänger. 13. Auflage. Vieweg, 2002, ISBN 3-528-97217-3.  (Für den endlichdimensionalen Fall, dort unter „Erzeugendensystem“)