Clifford-Modul-Bündel

Ein Clifford-Modul-Bündel ist ein mathematisches Objekt aus der Differentialgeometrie. Es wird insbesondere in der Spin-Geometrie zur Untersuchung von Spin-Strukturen genutzt. Es handelt sich um ein Vektorbündel, dessen Fasern Clifford-Moduln – also Darstellungsräume einer Clifford-Algebra sind. Ein kanonisches Beispiel für Clifford-Modul-Bündel sind die Spinorbündel.^[1] Eine andere Klasse dieser Bündel sind die Dirac-Bündel.

Der Begriff Clifford-Modul-Bündel sollte nicht mit dem des Clifford-Bündels, das ein Vektorbündel von Clifford-Algebren ist, verwechselt werden.

Definition

Es sei $M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit gerader Dimension. Ein Clifford-Modul-Bündel über $M$ ist ein Vektorbündel ${\mathcal {E}}\rightarrow M$ , dessen Fasern ${\mathcal {E}}_{p}$ Clifford-Moduln sind.

Anders ausgedrückt, ist ein Clifford-Modul-Bündel über $M$ ein $\mathbb {Z} _{2}$ -graduiertes Vektorbündel ${\mathcal {E}}\rightarrow M$ mit einer graduierten Aktion

\Gamma (M,C\ell (M))\times \Gamma ({\mathcal {E}})\to \Gamma ({\mathcal {E}}),\ \ (a,s)\mapsto c(a)s

,

wobei $C\ell (M)$ das Clifford-Bündel und $c$ die entsprechende Clifford-Multiplikation sind.^[2]

Einzelnachweise

↑ H. Blaine Lawson, Marie-Louise Michelsohn: Spin geometry (= Princeton mathematical series. Nr. 38). Princeton University Press, Princeton, N.J 1989, ISBN 978-0-691-08542-5, S. 97.
↑ Nicole Berline, Ezra Getzler, Michèle Vergne: Heat kernels and Dirac operators (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Nr. 298). Corr. 2nd print Auflage. Springer, Berlin ; New York 1996, ISBN 978-3-540-53340-5, S. 113–115.

[1] H. Blaine Lawson, Marie-Louise Michelsohn: Spin geometry (= Princeton mathematical series. Nr. 38). Princeton University Press, Princeton, N.J 1989, ISBN 978-0-691-08542-5, S. 97.

[2] Nicole Berline, Ezra Getzler, Michèle Vergne: Heat kernels and Dirac operators (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Nr. 298). Corr. 2nd print Auflage. Springer, Berlin ; New York 1996, ISBN 978-3-540-53340-5, S. 113–115.

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