Kosmologisches Entfernungsmaß

Die Definition der Laufzeitentfernung (engl.: light travel time distance) basiert auf der Lichtlaufzeit zwischen zwei Ereignissen mit den Rotverschiebungen ${\displaystyle z_{2}>z_{1}}$ , gegeben durch

${\displaystyle {\mathrm {d} }D_{\mathrm {prop} }(z_{1},z_{2})=-c\,{\mathrm {d} }t}$ 

Substituiert man die kosmologische Zeit als Integrationsvariable durch die beobachtbare Rotverschiebung, so ergibt sich

${\displaystyle {\mathrm {d} }D_{\mathrm {prop} }(z_{1},z_{2})=-c\,a/(a\,{\dot {a}})\,{\mathrm {d} }a=-c/(aH)\,{\mathrm {d} }a\,.}$ 

Hierbei ist ${\displaystyle a(t)}$  der kosmologische Skalenfaktor, normiert auf den Wert 1 zur heutigen Zeit. Es gilt (siehe die relativistische Herleitung der kosmologischen Rotverschiebung)

${\displaystyle a={\frac {1}{1+z}}\;.}$ 

Schreibt man dann die Hubble-Funktion ${\displaystyle H}$  für das Universum explizit aus, dann erhält man den geläufigen Ausdruck für die Laufzeitentfernung

${\displaystyle D_{\mathrm {prop} }(z_{1},z_{2})={\frac {c}{H_{0}}}\int _{a(z_{2})}^{a(z_{1})}\left[{\frac {\Omega _{r}}{a^{2}}}+{\frac {\Omega _{m}}{a}}+(1-\Omega _{r}-\Omega _{m}-\Omega _{\Lambda })+a^{2}\,\Omega _{\Lambda }\right]^{-1/2}\,{\mathrm {d} }a\;.}$ 

Für ein flaches (${\displaystyle 1-\Omega _{m}-\Omega _{r}-\Omega _{\Lambda }=0}$ ) und materiedominiertes (${\displaystyle \Omega _{r}\approx 0}$ ) Universum kann dieses Integral analytisch gelöst werden:

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{\mathrm {prop} }(z_{1},z_{2})&={\frac {2\,c}{3H_{0}{\sqrt {\Omega _{\Lambda }}}}}\;&&\left[\ln \left(a^{3/2}\Omega _{\Lambda }+{\sqrt {\Omega _{m}\Omega _{\Lambda }+a^{3}\Omega _{\Lambda }^{2}}}\right)\right]_{a(z_{2})}^{a(z_{1})}\\&={\frac {2}{\sqrt {3\Lambda }}}\;&&\left[\ln \left(a^{3/2}\Omega _{\Lambda }+{\sqrt {\Omega _{m}\Omega _{\Lambda }+a^{3}\Omega _{\Lambda }^{2}}}\right)\right]_{a(z_{2})}^{a(z_{1})}\,.\end{aligned}}}$ 

${\displaystyle \Omega _{r}}$ , ${\displaystyle \Omega _{m}}$  und ${\displaystyle \Omega _{\Lambda }}$  stellen hierbei die Strahlungsdichte-, Materiedichte- und den Vakuumenergiedichteparameter (kosmologische Konstante) dar. Nach Messungen mit dem Planck-Weltraumteleskop betragen diese ${\displaystyle \Omega _{m}=0{,}315}$ , ${\displaystyle \Omega _{k}=-0{,}05}$  und ${\displaystyle \Omega _{\Lambda }=0{,}685}$ . Die Hubble-Konstante beträgt ${\displaystyle H_{0}=67{,}4}$  km s⁻¹Mpc⁻¹, mit verschiedenen Abweichungen in Abhängigkeit vom verwendeten theoretischen Modell zur Auswertung der Messdaten.^[2]

 

In Analogie zur Laufzeitentfernung erhält man die mitbewegte Entfernung (engl.: comoving distance). Dies ist die Distanz zwischen der Quelle und dem Beobachter auf einer raumartigen Hyperfläche, definiert durch Ereignisse mit gleicher kosmologischer Zeit ${\displaystyle t=t_{0}}$  (heute). Ausgehend vom Linienelement und den Friedmann-Gleichungen ergibt sich

${\displaystyle {\mathrm {d} }D_{\mathrm {com} }(z_{1},z_{2})={\mathrm {d} }w=-c/a\,{\mathrm {d} }t=-c/(a^{2}H)\,{\mathrm {d} }a\,,}$ 

und damit

${\displaystyle D_{\mathrm {com} }(z_{1},z_{2})={\frac {c}{H_{0}}}\int _{a(z_{2})}^{a(z_{1})}\left[\Omega _{r}+a\,\Omega _{m}+a^{2}\,(1-\Omega _{m}-\Omega _{r}-\Omega _{\Lambda })+a^{4}\,\Omega _{\Lambda }\right]^{-1/2}\,{\mathrm {d} }a=w(z_{1},z_{2})\,.}$ 

Der Unterschied zwischen Laufzeitentfernung und mitbewegter Entfernung besteht darin, dass Erstere eine Entfernung über Raum und Zeit hinweg ist. Die mitbewegte Entfernung ist hingegen die Distanz, die der Beobachter und das Objekt zum gleichen Weltalter zueinander aufweisen, das heißt eine Entfernung auf einer raumartigen Hyperfläche. In diesem Zustand kann der Beobachter das Objekt allerdings nicht sehen, da das Licht gerade eben vom Objekt zu ihm ausgesandt wurde.

 

Die Winkeldurchmesserdistanz (engl.: angular size distance) ergibt sich aus einer bekannten Näherungsformel der Sinusfunktion. Für kleine Funktionsargumente gilt ${\displaystyle \sin(x)\approx x}$ . Diese Näherungsformel zeigt, warum die Winkeldurchmesserentfernung gemäß

${\displaystyle D_{\mathrm {A} }=d/\theta }$ 

benutzt werden darf.^[3] Dabei ist ${\displaystyle d}$  die tatsächliche Größe des Objektes senkrecht zur Blickrichtung des Beobachters und ${\displaystyle \theta }$  die gemessene Winkelausdehnung des Objektes im Bogenmaß, unter dem das Objekt dem Beobachter erscheint.

Bei bekannter Rotverschiebung und bekanntem kosmologischen Modell gilt auch:

${\displaystyle D_{\mathrm {A} }(z_{1},z_{2})=a(z_{2})f_{K}\left(w(z_{1},z_{2})\right)\,.}$ 

So kann dann von der Rotverschiebung auf die tatsächliche Größe eines Objektes geschlossen werden.

Unter Verwendung der mitbewegten Entfernung gilt:

${\displaystyle D_{\mathrm {A} }(z_{1},z_{2})=a(z_{2})f_{K}\left(D_{\mathrm {com} }(z_{1},z_{2})\right)\;,}$ 

mit

${\displaystyle f_{K}(w)={\begin{cases}{\frac {1}{\sqrt {K}}}\;\sin({\sqrt {K}}w)&K>0\\w&K=0\;.\\{\frac {1}{\sqrt {-K}}}\;\sinh({\sqrt {-K}}w)&K<0\end{cases}}}$ 

Die Funktion ${\displaystyle f_{K}(w)}$  unterscheidet zwischen dreidimensionalen raumartigen Hyperflächen konstanter Zeit ${\displaystyle t}$  mit positiver, verschwindender oder negativer Krümmung ${\displaystyle K}$ .

Ebenso ergibt sich die Leuchtkraftentfernung (engl.: luminosity distance) aus der Analogie zur Euklidischen Geometrie. Berücksichtigt man die verspätete Ankunft der Photonen beim Beobachter durch die dazwischen liegende Ausdehnung des Universums, ihre Rotverschiebung sowie die Photonenzahlerhaltung, so erhält man

${\displaystyle D_{\mathrm {lum} }(z_{1},z_{2})={\frac {a(z_{1})^{2}}{a(z_{2})}}\,f_{K}\left(D_{\mathrm {com} }(z_{1},z_{2})\right)\;.}$ 

Durch die Vorfaktoren von ${\displaystyle a}$  und die Nichtlinearität von ${\displaystyle f_{\mathrm {K} }}$ , besitzen weder die Winkeldurchmesserentfernung noch die Leuchtkraftentfernung eine additive Eigenschaft. Betrachtet man zwei Objekte 1 und 3, mit einem dazwischen liegenden Objekt 2, dann ist die Entfernung zwischen 1 und 3 nicht gleich der Summe der Entfernungen zwischen Objekt 1 und 2, und Objekt 2 und 3:

${\displaystyle D(z_{1},z_{3})\neq D(z_{1},z_{2})+D(z_{2},z_{3})}$ 

Die Laufzeitentfernung und die mitbewegte Entfernung hingegen sind additiv.

In einem flachen Universum gilt mit der konformen Zeit η:

${\displaystyle D_{\mathrm {com} }=D_{\mathrm {ang} }/a=D_{\mathrm {lum} }\cdot a=\Delta \eta \cdot c}$ 

Für die folgenden Rotverschiebungen ergeben sich die verschiedenen Distanzen (in Milliarden Lichtjahren) zum Beobachter (${\displaystyle z=0}$ ):

${\displaystyle z}$	0,1	0,5	01,0	03,0	006,0
Laufzeitentfernung ${\displaystyle D_{\mathrm {prop} }}$	1,280	4,970	07,600	11,190	012,370
Mitbewegte Entfernung ${\displaystyle D_{\mathrm {com} }}$	1,340	6,070	10,620	20,430	026,510
Winkeldurchmesserentfernung ${\displaystyle D_{\mathrm {ang} }}$	1,220	4,050	05,310	05,110	003,790
Leuchtkraftentfernung ${\displaystyle D_{\mathrm {lum} }}$	1,480	9,110	21,240	81,710	185,540

Hierbei fällt auf, dass die Winkeldurchmesserdistanz keine monotone Funktion der Rotverschiebung ist, sondern für ${\displaystyle z=1{,}6}$  ein Maximum aufweist, um danach wieder kleiner zu werden. Dies bedeutet, dass dasselbe Objekt für wachsende Rotverschiebungen immer kleiner erscheint, bei ${\displaystyle z=1{,}6}$  ein Minimum erreicht, und für größere Entfernungen dem Beobachter wieder größer erscheint.

Die Laufzeitentfernung nähert sich asymptotisch für unendlich große Rotverschiebungen einem konstanten Wert an. Die Leuchtkraftentfernung strebt für unendlich große Rotverschiebungen aber gegen unendlich. Das heißt, die scheinbare Helligkeit eines Objektes nimmt mit zunehmender Rotverschiebung sehr stark ab. In der Tat sinkt die Flächenhelligkeit mit ${\displaystyle \propto (1+z)^{-4}}$ .

• Eine Galaxie habe die Rotverschiebung 0,5. Ihr Licht war demnach bis zum Beobachter 5,0 Milliarden Jahre unterwegs. Ihre Laufzeitdistanz beträgt damit 5,0 Milliarden Lichtjahre. Möchte man aus der scheinbaren Helligkeit der Galaxie (z. B. Magnitude = 22) auf ihre tatsächliche Helligkeit schließen, so muss die Leuchtkraftentfernung verwendet werden. Diese beträgt dann 9,1 Milliarden Lichtjahre. Ähnlich funktioniert die Größenbestimmung. Ermittelt ein Beobachter für die scheinbare Größe der Galaxie eine bestimmte Winkelausdehnung, so muss die Winkeldurchmesserdistanz verwendet werden, um ihre tatsächliche Größe zu bestimmen.

• Die kosmische Hintergrundstrahlung hat heute eine gemessene Rotverschiebung von ${\displaystyle z\approx 1089}$ . Sie wurde also zu einem Zeitpunkt in der Vergangenheit ausgestrahlt, als das Universum rund ${\displaystyle 1/{\text{a}}=z+1=1090}$  mal kleiner war als heute. Dieser Zeitpunkt fand dabei rund 380.000 Jahre nach dem Urknall statt. Die Oberfläche, von wo diese Strahlung emittiert oder zuletzt gestreut wurde, war zu diesem Zeitpunkt rund ${\displaystyle D_{damals}}$  = 40 Millionen Lichtjahre von uns entfernt und befindet sich heute in einem Abstand von rund ${\displaystyle D_{heute}}$  = 43,6 Milliarden Lichtjahre, also knapp vor dem Partikelhorizont.

 

• Beobachtbares Universum

• Cosmology Calculator
• Richard Powell: The Distance Scale of the Universe

• C. Misner, K. S. Thorne, J. A. Wheeler: Gravitation. W. H. Freeman, San Francisco 1973, ISBN 0-7167-0344-0.
• J. A. Peacock: Cosmological Physics. Cambridge University Press, 2001, ISBN 0-521-42270-1.
• Torsten Fließbach: Allgemeine Relativitätstheorie. 4. Auflage. Elsevier – Spektrum Akademischer Verlag, 2003, ISBN 3-8274-1356-7.
• Hans Stephani: Allgemeine Relativitätstheorie. 4. Auflage. Wiley-VCH, 1991, ISBN 3-326-00083-9.
• Steven Weinberg: Gravitation and Cosmology. Principles and Applications of the General Theory of Relativity. New York 1972, ISBN 0-471-92567-5.

1. ↑ www.spektrum.de.
2. ↑ Planck 2018 results. VI. Cosmological parameters Planck Collaboration, 09.08.2021, arxiv.org
3. ↑ Tutorial Part 2 Ned Wright's cosmology calculator