Studentsche t-Verteilung

Eine stetige Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ genügt der studentschen ${\displaystyle t}$-Verteilung mit ${\displaystyle n>0}$ Freiheitsgraden, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{{\sqrt {n\pi }}~\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\left(1+{\frac {x^{2}}{n}}\right)^{-{\frac {n+1}{2}}}\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad -\infty <x<+\infty }$

besitzt. Dabei ist

${\displaystyle \Gamma (x)=\int \limits _{0}^{+\infty }t^{x-1}e^{-t}\operatorname {d} t}$

die Gamma-Funktion. Für natürliche Zahlen ${\displaystyle n}$ gilt insbesondere (hierbei bezeichnet ${\displaystyle n!}$ die Fakultät von ${\displaystyle n}$)

${\displaystyle \Gamma (n+1)=n!,\quad \Gamma \left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {(2n)!}{n!\,4^{n}}}\,{\sqrt {\pi }}.}$

Alternativ lässt sich die ${\displaystyle t}$-Verteilung mit ${\displaystyle n}$ Freiheitsgraden auch definieren als die Verteilung der Größe

${\displaystyle t_{n}\equiv {\frac {Z}{\sqrt {\chi _{n}^{2}/n}}}}$,

wobei ${\displaystyle Z}$ eine standardnormalverteilte Zufallsvariable und ${\displaystyle \chi _{n}^{2}}$ eine, von ${\displaystyle Z}$ unabhängige, Chi-Quadrat-verteilte Zufallsvariable mit ${\displaystyle n}$ Freiheitsgraden ist.

Die Verteilungsfunktion lässt s​ich geschlossen ausdrücken als

${\displaystyle F_{n}(t)=I\left({\frac {t+{\sqrt {t^{2}+n}}}{2{\sqrt {t^{2}+n}}}},{\frac {n}{2}},{\frac {n}{2}}\right)}$

oder als

${\displaystyle F_{n}(t)={\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {t}{|t|}}I\left({\frac {t^{2}}{t^{2}+n}},{\frac {1}{2}},{\frac {n}{2}}\right)\right)}$

mit

${\displaystyle I(z,a,b)={\frac {1}{B(a,b)}}\int _{0}^{z}t^{a-1}(1-t)^{b-1}\mathrm {d} t,}$

wobei ${\displaystyle B}$ die Betafunktion darstellt.

${\displaystyle F_{n}(t)}$ berechnet die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine gemäß ${\displaystyle f_{n}(x)}$ verteilte Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ einen Wert kleiner oder gleich ${\displaystyle t}$ erhält.

Es sei ${\displaystyle X}$ eine ${\displaystyle t}$-verteilte Zufallsvariable mit ${\displaystyle n}$ Freiheitsgraden und Dichte ${\displaystyle f_{n}(x)}$.

Die Größe

${\displaystyle {\frac {Z+\delta }{\sqrt {\chi _{n}^{2}/n}}}}$

mit ${\displaystyle Z\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$ und ${\displaystyle \delta }$ als Nichtzentralitätsparameter folgt der sogenannten nichtzentralen ${\displaystyle t}$-Verteilung.[5] Diese Verteilung wird vor allem zur Bestimmung des β-Fehlers bei Hypothesentests mit ${\displaystyle t}$-verteilter Prüfgröße verwendet. Ihre Wahrscheinlichkeitsdichte lautet:[6]

${\displaystyle f(x)={\frac {n^{n/2}n!e^{-\delta ^{2}/2}}{2^{n}\Gamma \left(n/2\right)(x^{2}+n)^{(n+1)/2}}}\left({\frac {{\sqrt {2}}\delta x}{\sqrt {x^{2}+n}}}{\frac {_{1}{\mathcal {F}}_{1}\left(n/2+1,3/2,{\frac {(\delta x)^{2}}{2(x^{2}+n)}}\right)}{\Gamma \left((n+1)/2\right)}}+{\frac {_{1}{\mathcal {F}}_{1}\left((n+1)/2,1/2,{\frac {(\delta x)^{2}}{2(x^{2}+n)}}\right)}{\Gamma \left(n/2+1\right)}}\right)}$

Einige Dichten von nichtzentralen ${\displaystyle t}$-Verteilungen

Die Klammer m​it der Summe hypergeometrischer Funktionen lässt s​ich noch e​twas einfacher schreiben,[7] sodass e​in kürzerer alternativer Ausdruck für d​ie Dichte entsteht:

${\displaystyle f(x)={\frac {2^{n}n^{n/2+1}\Gamma \left((n+1)/2\right)}{\pi (x^{2}+n)^{(n+1)/2}}}e^{-\delta ^{2}/2}H_{-n-1}\left(-{\frac {\delta x}{{\sqrt {2}}{\sqrt {x^{2}+n}}}}\right),}$

wobei ${\displaystyle H_{-n-1}\left(z\right)}$ ein Hermitesches Polynom mit negativem Index darstellt mit ${\displaystyle H_{-n-1}\left(0\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{n+1}\Gamma \left(n/2+1\right)}}}$.

Der Erwartungswert liegt für ${\displaystyle n>1}$ bei

${\displaystyle {\frac {\delta {\sqrt {n}}\Gamma \left((n-1)/2\right)}{{\sqrt {2}}\Gamma \left(n/2\right)}}}$

und die Varianz (für ${\displaystyle n>2}$) bei

${\displaystyle {\frac {(1+\delta ^{2})n}{n-2}}-{\frac {\delta ^{2}n\Gamma \left((n-1)/2\right)^{2}}{2\Gamma \left(n/2\right)^{2}}}.}$

Mit ${\displaystyle \delta =0}$ erhält man die Kennwerte der zentralen ${\displaystyle t}$-Verteilung.

Verschiedene Schätzfunktionen sind ${\displaystyle t}$-verteilt.

Wenn die unabhängigen Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{n}}$ identisch normalverteilt sind mit Erwartungswert ${\displaystyle \mu }$ und Standardabweichung ${\displaystyle \sigma }$, kann bewiesen werden, dass der Stichprobenmittelwert

${\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$

und d​ie Stichprobenvarianz

${\displaystyle S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}}$

stochastisch unabhängig sind.

Weil die Zufallsgröße ${\displaystyle {\tfrac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}}$ eine Standardnormalverteilung hat und ${\displaystyle (n-1)\,S^{2}/\sigma ^{2}}$ einer Chi-Quadrat-Verteilung mit ${\displaystyle n-1}$ Freiheitsgraden folgt, ergibt sich, dass die Größe

${\displaystyle t_{n-1}={\frac {{\overline {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}={\frac {{\overline {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}\cdot {\frac {\sigma }{\sigma }}={\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}\cdot {\frac {\sigma }{S}}={\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}/\left({\frac {S}{\sigma }}\right)={\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}/{\sqrt {\chi _{n-1}^{2}/(n-1)}}}$

nach Definition ${\displaystyle t}$-verteilt ist mit ${\displaystyle n-1}$ Freiheitsgraden.

Also ist der Abstand des gemessenen Mittelwertes vom Mittelwert der Grundgesamtheit verteilt wie ${\displaystyle t_{n-1}S/{\sqrt {n}}}$. Damit berechnet man dann das 95-%-Konfidenzintervall für den Mittelwert ${\displaystyle \mu }$ zu

${\displaystyle {\overline {x}}-t\cdot S/{\sqrt {n}}\leq \mu \leq {\overline {x}}+t\cdot S/{\sqrt {n}},}$

wobei ${\displaystyle t}$ durch ${\displaystyle F_{n-1}(t)=0{,}975}$ bestimmt ist. Dieses Intervall ist für ${\displaystyle n<\infty }$ etwas größer als dasjenige, welches sich mit bekanntem ${\displaystyle \sigma }$ aus der Verteilungsfunktion der Normalverteilung bei gleichem Konfidenzniveau ergeben hätte ${\displaystyle \left(\mu \in \left[{\overline {x}}\pm 1{,}96\cdot {\tfrac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right]\right)}$.

Die Wahrscheinlichkeitsdichte der ${\displaystyle t}$-Verteilung lässt sich herleiten aus der gemeinsamen Dichte der beiden unabhängigen Zufallsvariablen ${\displaystyle Z}$ und ${\displaystyle \chi _{n}^{2}}$, die standardnormal beziehungsweise Chi-Quadrat-verteilt sind:[8]

${\displaystyle f_{Z,\chi _{n}^{2}}(z,y)={\frac {e^{-{\frac {1}{2}}z^{2}}}{\sqrt {2\pi }}}\cdot {\frac {y^{{\frac {n}{2}}-1}e^{-{\frac {1}{2}}y}}{2^{\frac {n}{2}}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}}$

Mit d​er Transformation

${\displaystyle t=z/{\sqrt {y/n}},v=y}$

bekommt man die gemeinsame Dichte von ${\displaystyle T=Z/{\sqrt {\chi _{n}^{2}/n}}}$ und ${\displaystyle \chi _{n}^{2}}$, wobei ${\displaystyle -\infty <t<\infty }$ und ${\displaystyle 0\leq v<\infty }$.

Die Jacobideterminante dieser Transformation ist:

${\displaystyle \det {\frac {\partial (z,y)}{\partial (t,v)}}={\begin{vmatrix}{\sqrt {\frac {v}{n}}}&0\\\Diamond &1\end{vmatrix}}={\sqrt {\frac {v}{n}}}}$

Der Wert ${\displaystyle \Diamond }$ ist unwichtig, weil er bei der Berechnung der Determinante mit 0 multipliziert wird. Die neue Dichtefunktion schreibt sich also

${\displaystyle f_{T,\chi _{n}^{2}}(t,v)={\frac {e^{-{\frac {1}{2}}v{\frac {t^{2}}{n}}}}{\sqrt {2\pi }}}\cdot {\frac {1}{2^{\frac {n}{2}}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}v^{{\frac {n}{2}}-1}e^{-{\frac {1}{2}}v}\cdot {\sqrt {\frac {v}{n}}}.}$

Gesucht ist nun die Randverteilung ${\displaystyle f_{n}(t)}$ als Integral über die nicht interessierende Variable ${\displaystyle v}$:

${\displaystyle f_{n}(t)=\int \limits _{0}^{\infty }f_{T,\chi _{n}^{2}}(t,v)\,dv={\frac {1}{{\sqrt {n\pi }}\,2^{(n+1)/2}\Gamma (n/2)}}\int \limits _{0}^{\infty }v^{(n-1)/2}e^{-v(1+t^{2}/n)/2}\,dv={\frac {\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{{\sqrt {n\pi }}\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\left(1+{\frac {t^{2}}{n}}\right)^{-{\frac {n+1}{2}}}}$

Tabelliert sind ${\displaystyle t}$-Werte für verschiedene Freiheitsgrade ${\displaystyle n}$ und gebräuchliche Wahrscheinlichkeiten ${\displaystyle P}$ (0,75 bis 0,999), wofür gilt:

${\displaystyle P_{\text{einseitig}}=F_{n}(t)=P(T_{n}\leq t)}$

Aufgrund der Spiegelsymmetrie der Dichte braucht man für den Fall des beidseitig symmetrisch begrenzten Intervalls nur die Wahrscheinlichkeitsskala anzupassen. Dabei verringern sich die Wahrscheinlichkeiten bei gleichem ${\displaystyle t}$, denn das Integrationsintervall wird durch Wegschneiden des Bereichs von ${\displaystyle -\infty }$ bis ${\displaystyle -t}$ reduziert:

${\displaystyle P_{\text{zweiseitig}}=F_{n}(t)-F_{n}(-t)=P(-t<T_{n}\leq t)=2P_{\text{einseitig}}-1}$

Werden bei einer Stichprobe ${\displaystyle N}$ Beobachtungen durchgeführt und aus der Stichprobe ${\displaystyle m}$ Parameter geschätzt, so ist ${\displaystyle n=N-m}$ die Anzahl der Freiheitsgrade.

Zu der Anzahl von Freiheitsgraden ${\displaystyle n}$ in der ersten Spalte und dem Signifikanzniveau ${\displaystyle \alpha }$ (dargestellt als ${\displaystyle 1-\alpha }$ in der zweiten Zeile) wird in jeder Zelle der folgenden Tabelle der Wert des (einseitigen) Quantils ${\displaystyle t_{n,\alpha }}$, entsprechend DIN 1319-3, angegeben. Dies erfüllt für die Dichte ${\displaystyle f_{n}}$ der ${\displaystyle t_{n}}$-Verteilung die folgenden Gleichungen:

Einseitig: ${\displaystyle \int _{-\infty }^{t_{n,\alpha }}f_{n}(x)\,\mathrm {d} x=1-\alpha }$

Zweiseitig: ${\displaystyle \int _{-t_{n,\alpha /2}}^{t_{n,\alpha /2}}f_{n}(x)\,\mathrm {d} x=1-\alpha }$

Also findet man beispielsweise mit ${\displaystyle n=4}$ und ${\displaystyle \alpha =0{,}05}$ die ${\displaystyle t}$-Werte von 2,776 (zweiseitig) oder 2,132 (einseitig).

Die Quantilfunktion der ${\displaystyle t}$-Verteilung ${\displaystyle x_{p}}$ ist die Lösung der Gleichung ${\displaystyle p=F(x_{p}|m,\,n)}$ und damit prinzipiell über die Umkehrfunktion zu berechnen. Konkret gilt hier

${\displaystyle x_{p}={\frac {{\sqrt {n}}\left(2I^{-1}(p,{\frac {n}{2}},{\frac {n}{2}})-1\right)}{2{\sqrt {\left(1-I^{-1}(p,{\frac {n}{2}},{\frac {n}{2}})\right)\cdot I^{-1}(p,{\frac {n}{2}},{\frac {n}{2}})}}}}}$

mit ${\displaystyle I^{-1}}$ als Inverse der regularisierten unvollständigen Betafunktion. Dieser Wert ${\displaystyle x_{p}}$ ist in der Quantiltabelle unter den Koordinaten p und n eingetragen.

Für wenige Werte ${\displaystyle n}$ (1,2,4) vereinfacht sich die Quantilfunktion:[9]

${\displaystyle n=1:x_{p}=\operatorname {tan} (\pi (p-1/2))}$

${\displaystyle n=2:x_{p}=(p-1/2){\sqrt {\frac {2}{p(1-p)}}}}$

${\displaystyle n=4:x_{p}={\sqrt {{\frac {2\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left(2{\sqrt {p(1-p)}}\,\right)\right)}{\sqrt {p(1-p)}}}-4}}}$

Tabelle einiger t-Quantile

Anzahl Freiheitsgrade n	P für zweiseitigen Vertrauensbereich
	0,5	0,75	0,8	0,9	0,95	0,98	0,99	0,998
	P für einseitigen Vertrauensbereich
	0,75	0,875	0,90	0,95	0,975	0,99	0,995	0,999
1	1,000	2,414	3,078	6,314	12,706	31,821	63,657	318,309
2	0,816	1,604	1,886	2,920	4,303	6,965	9,925	22,327
3	0,765	1,423	1,638	2,353	3,182	4,541	5,841	10,215
4	0,741	1,344	1,533	2,132	2,776	3,747	4,604	7,173
5	0,727	1,301	1,476	2,015	2,571	3,365	4,032	5,893
6	0,718	1,273	1,440	1,943	2,447	3,143	3,707	5,208
7	0,711	1,254	1,415	1,895	2,365	2,998	3,499	4,785
8	0,706	1,240	1,397	1,860	2,306	2,896	3,355	4,501
9	0,703	1,230	1,383	1,833	2,262	2,821	3,250	4,297
10	0,700	1,221	1,372	1,812	2,228	2,764	3,169	4,144
11	0,697	1,214	1,363	1,796	2,201	2,718	3,106	4,025
12	0,695	1,209	1,356	1,782	2,179	2,681	3,055	3,930
13	0,694	1,204	1,350	1,771	2,160	2,650	3,012	3,852
14	0,692	1,200	1,345	1,761	2,145	2,624	2,977	3,787
15	0,691	1,197	1,341	1,753	2,131	2,602	2,947	3,733
16	0,690	1,194	1,337	1,746	2,120	2,583	2,921	3,686
17	0,689	1,191	1,333	1,740	2,110	2,567	2,898	3,646
18	0,688	1,189	1,330	1,734	2,101	2,552	2,878	3,610
19	0,688	1,187	1,328	1,729	2,093	2,539	2,861	3,579
20	0,687	1,185	1,325	1,725	2,086	2,528	2,845	3,552
21	0,686	1,183	1,323	1,721	2,080	2,518	2,831	3,527
22	0,686	1,182	1,321	1,717	2,074	2,508	2,819	3,505
23	0,685	1,180	1,319	1,714	2,069	2,500	2,807	3,485
24	0,685	1,179	1,318	1,711	2,064	2,492	2,797	3,467
25	0,684	1,178	1,316	1,708	2,060	2,485	2,787	3,450
26	0,684	1,177	1,315	1,706	2,056	2,479	2,779	3,435
27	0,684	1,176	1,314	1,703	2,052	2,473	2,771	3,421
28	0,683	1,175	1,313	1,701	2,048	2,467	2,763	3,408
29	0,683	1,174	1,311	1,699	2,045	2,462	2,756	3,396
30	0,683	1,173	1,310	1,697	2,042	2,457	2,750	3,385
40	0,681	1,167	1,303	1,684	2,021	2,423	2,704	3,307
50	0,679	1,164	1,299	1,676	2,009	2,403	2,678	3,261
60	0,679	1,162	1,296	1,671	2,000	2,390	2,660	3,232
70	0,678	1,160	1,294	1,667	1,994	2,381	2,648	3,211
80	0,678	1,159	1,292	1,664	1,990	2,374	2,639	3,195
90	0,677	1,158	1,291	1,662	1,987	2,368	2,632	3,183
100	0,677	1,157	1,290	1,660	1,984	2,364	2,626	3,174
200	0,676	1,154	1,286	1,653	1,972	2,345	2,601	3,131
300	0,675	1,153	1,284	1,650	1,968	2,339	2,592	3,118
400	0,675	1,152	1,284	1,649	1,966	2,336	2,588	3,111
500	0,675	1,152	1,283	1,648	1,965	2,334	2,586	3,107
${\displaystyle \infty }$	0,674	1,150	1,282	1,645	1,960	2,326	2,576	3,090

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• Interaktiver Graph der ${\displaystyle t}$-Verteilung (mit anschaulicher Erklärung)
• Webrechner für exakte Werte

1. Student: The Probable Error of a Mean. In: Biometrika. 6, Nr. 1, 1908, S. 1–25. JSTOR 2331554. doi:10.1093/biomet/6.1.1.
2. Josef Bleymüller, Günther Gehlert, Herbert Gülicher: Statistik für Wirtschaftswissenschaftler. 14. Auflage. Vahlen, 2004, ISBN 978-3-8006-3115-5, S. 16.
3. J. Pfanzagl, O. Sheynin: A forerunner of the t-distribution (Studies in the history of probability and statistics XLIV). In: Biometrika. 83, Nr. 4, 1996, S. 891–898. doi:10.1093/biomet/83.4.891.
4. P. Gorroochurn: Classic Topics on the History of Modern Mathematical Statistics from Laplace to More Recent Times. Wiley, 2016, doi:10.1002/9781119127963.
5. N. L. Johnson, B. L. Welch: Applications of the Non-Central t-Distribution. In: Biometrika. Vol. 31, No. 3/4 (Mar. 1940), S. 362–389, JSTOR 2332616 doi:10.1093/biomet/31.3-4.362.
6. Eric W. Weisstein: Noncentral Student’s t-Distribution. In: MathWorld (englisch).
7. HermiteH. Bei: functions.wolfram.com.
8. Frodesen, Skjeggestad, Tofte: Probability and Statistics in Particle Physics. Universitetsforlaget, Bergen/Oslo/Tromsø, S. 141.
9. W. T. Shaw: Sampling Student’s T distribution – Use of the inverse cumulative distribution function. In: Journal of Computational Finance. 9, Nr. 4, 2006, S. 37–73. doi:10.21314/JCF.2006.150.