Alpha-stabile Verteilungen

Die Familie der α-stabilen Verteilungen ist eine Verteilungsklasse von stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen aus der Stochastik, die durch folgende definierende Eigenschaft beschrieben werden: sind $X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{n},X$ unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen, und gilt

X_{1}+X_{2}+\dotsb +X_{n}\sim c_{n}X

für alle

n\in \mathbb {N}

und eine Folge

(c_{n})_{n\in \mathbb {N} }

,

Dichtefunktionen einiger symmetrischer α-stabiler Verteilungen

so nennt man $X$ stabil verteilt, wobei $\sim$ als „hat dieselbe Verteilung wie“ zu lesen ist. Man kann zeigen, dass die einzig mögliche Wahl $c_{n}=n^{1/\alpha },\alpha \in (0,2]$ ist. Die reelle Zahl $\alpha$ nennt man hierbei den Formparameter. Da die Theorie der stabilen Verteilungen maßgeblich durch Paul Lévy mitgestaltet wurde, nennt man jene Verteilungen deshalb auch manchmal Lévy-stabile Verteilungen.

Beispiele

Obwohl die stabilen Verteilungen für jedes $\alpha$ des obigen Intervalls wohldefiniert sind, ist nur für wenige spezielle Werte von α die Dichte explizit gegeben:

Die Normalverteilung mit Erwartungswert 0 ist stabil mit Formparameter $\alpha =2$ , denn bekanntlich gilt

X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})\Rightarrow \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim {\mathcal {N}}(0,n\sigma ^{2})\sim n^{1/2}{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})

. Die Normalverteilung ist die einzige Verteilung mit dem Formparameter

\alpha =2

.

Die zentrierte Cauchy-Verteilung erfüllt die Gleichung

X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\sim {\rm {Cauchy}}(0,a)\Rightarrow \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim n\,{\rm {Cauchy}}(0,a)

sie ist also stabil mit Formparameter

\alpha =1

.

Die (eigentliche) Standard-Lévy-Verteilung ist stabil mit $\alpha ={\frac {1}{2}}$ .

Eigenschaften

α-stabile Verteilungen für unterschiedliche Werte des Schiefeparameters

Die charakteristische Funktion einer α-stabilen Verteilung ist für $\alpha \neq 1$ gegeben durch[1]

\psi _{\alpha ,\beta }(u)=\exp \left(-|u|^{\alpha }\left(1-i\beta \tan \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)\operatorname {sgn}(u)\right)\right)

.

Der Parameter

\beta \in [-1,1]

ist hierbei frei wählbar und heißt Schiefeparameter.

Für

\alpha =1

ergibt sich

\psi _{\alpha ,\beta }(u)=\exp \left(-|u|\left(1+i\beta {\frac {2}{\pi }}\log(|u|)\operatorname {sgn}(u)\right)\right)

.

Endliche Varianz existiert nur für $\alpha =2$ . Dies folgt unmittelbar aus dem zentralen Grenzwertsatz.
Für $1<\alpha \leq 2$ hat die Verteilung den Erwartungswert 0, für $\alpha \leq 1$ existiert kein Erwartungswert. Dies folgt mit dem Gesetz der großen Zahlen.
Alle α-stabilen Verteilungen sind unendlich teilbar und selbstähnlich („selfdecomposable“).

Literatur

Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8, Kap. 16.

Einzelnachweise

Rick Durrett: Probability: Theory and Examples. 4. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge u. a. 2010, ISBN 978-0-521-76539-8, S. 141.

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[1] Rick Durrett: Probability: Theory and Examples. 4. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge u. a. 2010, ISBN 978-0-521-76539-8, S. 141.