Morffedd

Mewn mathemateg, map o un strwythur mathemategol i un arall o'r un math yw morffedd (enw gwrywaidd; ll. morffeddau); mae'n gwneud hynny gan barchu ei strwythur a'i siâp. Mae'r syniad o forffedd i'w weld dro ar ôl tro oddi fewn i fathemateg gyfoes. Mewn theori set, mae morffedd yn ffwythiant; mewn algebra llinol, mae'n drawsffurfiad llinol; mewn theori grŵp mae'n homomorffedd grŵp ac mewn topoleg mae morffedd yn ffwythiant parhaus, ac yn y blaen.^[1]

Fodd bynnag, mewn theori categori, mae morffedd yn syniad tebyg i hyn, ond sydd ychydig yn fwy haniaethol: nid oes angen i'r gwrthrychau mathemategol fod yn setiau, ac efallai y bydd y berthynas rhyngddynt yn rhywbeth mwy cyffredinol na map, er bod yn rhaid iddo ymddwyn yn debyg i fapiau, e.e. rhaid iddo ganiatáu cyfansoddiad cysylltiol.^[2]

Mae'r astudiaeth o forffedd ac o'r strwythurau (a elwir yn "wrthrychau") yn ganolog i theori categori. Daw llawer o derminoleg y maes o gategorïau concrid, lle mae'r gwrthrychau yn syml yn setiau gyda rhai strwythurau ychwanegol, ac mae morffeddau yn ffwythiannau sy'n diogelu neu'n parchu strwythur. Mewn theori categori, mae morffeddau weithiau'n cael eu galw hefyd yn "saethau".

Daw'r gair 'morff' o'r Hen Roeg μορφή sy'n golygu "ffurf" neu "siâp".

Mae gan categori C ddau ddosbarth: gwrthrychau a morffeddau. Cysylltir dau wrthrych gyda pob morffedd: y tarddiad a'r targed.

Ar gyfer sawl categori cyffredin, mae gwrthrychau hefyd yn setiau (yn aml, gyda strwythurau ychwanegol iddynt), ac mae morffeddau'n ffwythiannau o un gwrthrych i un arall. Felly, mae'r tarddiad a'r targed yn aml yn cael eu galw'n "parth" a "chyd-barth".

Therefore, the source and the target of a morphism are often called domain and codomain respectively, yn y drefn yma.

Ysgrifennir y morffedd f sydd â tharddiad X a tharged Y fel f : X → Y. Felly, cynrychiolir y morffedd gan saeth - o'i darddiad i'w darged.

Mae gan morffeddau weithrediadau rhannol, deuol (partial binary operation) a elwir yn "gyfansoddiad". Diffinnir dau forffedd f ac g os a dim ond os yw mai targed f yw'r tarddiad g, a dynodir hyn fel g ∘ f (neu weithiau fel g f). Tarddiad g ∘ f yw tarddiad f, a tharged g ∘ f yw target g. Mae'r cyfansoddiad hwn yn bodloni'r ddwy wireb:

1. unfathiant: am bob gwrthrych X, ceir morffedd id_X : X → X a elwir yn forffedd unfathiant ar X; yn yr un gwynt, ar gyfer pob morffedd f : A → B ceir id_B ∘ f = f = f ∘ id_A.
2. cysylltedd (associativity): h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f. Pan ddiffinir y gweithrediadau, targed f yw tarddiad g, a tharged g yw tarddiad h.

• Isomorffedd
• Homograffeg