Homograffeg

Cymhwyso trawsffurfiad tafluniol i'r byd real, mewn tafluniad perspectif. Yma, mae'r pwyntiau A, B, C, D a V yn bwyntiau ar y ddelwedd, gyda'r gofod rhyngddynt mewn picselau. Lleolir A', B', C' a D' yn y byd real, gyda'r pellter rhyngddynt mewn metrau. * Yn (1), mae lled y stryd, W, wedi'i gyfrifo gan led y siopau cyferbyn. * Yn (2), lled un siop yn unig sydd ei angen oherwydd fod y diflanbwynt, V, yn weladwy.

Mewn geometreg dafluniol mae homograffeg (hefyd trawsffurfiad tafluniol neu unlluniad tafluniol) yn isomorffedd o'r gofod fector, a anwythwyd gan isomorffedd o'r gofod fector o ba le y tardd y gofod tafluniol. Hwn yw'r deudafl (bijection) sy'n mapio llinellau i linellau eraill, ac felly yn "unlliniad" (collineation).^[1] Yn gyffredinol, nid yw pob unlluniad yn homograffig, ond mae theori sylfaenol geometreg dafluniol yn datgan nad yw hynny'n wir o ran taflunio gofod real dau neu fwy dimensiwn.

Yn hanesyddol, cyflwynwyd homograffegau a gofodau tafluniol yn un pwrpas er mwyn astudio perspectif a thaflunio gofod Euclidaidd; yn wir, mae'r term "homograffi" ei hun yn deillio o'r cyfnod hwn ac o ran geirdarddiad yn golygu "llun (neu luniad) tebyg". Ar ddiwedd y 19g, cyflwynwyd diffiniadau ffurfiol o ofod tafluniol, a oedd yn wahanol i ofod Ewclidig a gofod affin gan eu bod yn ychwanegu "pwyntiau anfeidredd".^[2] Y lluniadau haniaethol hyn oedd sail y term newydd "trawsffurfiad tafluniol"; ceir dau ddosbarth ohonynt, dau ddosbarth hafal i'w gilydd:

Mae'r pwyntiau A, B, C, D ac A′, B′, C′, D′ yn perthyn i'w gilydd drwy'r perspectif, sy'n gyffredin rhyngddynt, ac sy'n drawsffurfiad tafluniol.

1. Gellir llunio gofod tafluniol fel set o linellau'r gofod fector dros faes penodol. Mae'r diffiniad ar ddechrau'r erthygl hon wedi'i seilio ar y gosodiad yma. Mae hyn yn caniatáu i'r mathemategydd i ddefnyddio algebra llinol ar gyfer astudio homograffegau.

2. Mae'r ail ddull yn cynnwys diffinio'r gofod tafluniol trwy set o wirebau nad ydynt yn cynnwys unrhyw faes. Yn y cyd-destyn hwn, mae'n haws diffinio unlliniadau nag yw i ddiffinio homograffegau, ac felly mae homograffeg, yn aml yn cael ei ddiffinio gan unlluniadau penodol a elwir yn "unlluniadau tafluniol".

Cymhareb draws

Mae cymhareb draws y 4 pwynt unllin yn sefydlyn (invariant) yn yr homograffeg sy'n ffwndamental i'r astudiaeth o homograffeg y llinellau.

Mae'r tri pwynt $a$ , $b$ ac $c$ ar linell dafluniol dros faes $F$ yn ffurfio ffrâm dafluniol o'r linell hon. Ceir felly homograffeg unigryw $h$ o'r linell hon i $F \cup \infty$ sy'n mapio $a$ i $\infty$ , $b$ ac i 0, ac $c$ i 1. O bennu 4ydd pwynt ar yr un llinell, cymhareb draws y 4 pwynt $a$ , $b$ , $c$ a $d$ , a ddynodir $[a, b; c, d]$ , yw'r elfen $h (d)$ o $F \cup \infty$ . Mewn geiriau eraill, os oes gan $d$ gyfesurynnau homogenaidd $[k : 1]$ dros y ffrâm dafluniol $(a, b, c)$ , yna:

$[a, b; c, d] = k$ .^[3]^[4]

Cyfeiriadau

↑ Yale 1968, p. 244, Baer 2005, p. 50, Artin 1957, p. 88
↑ Meserve 1983, pp. 43–4
↑ Berger, chapter 6
↑ Gweler: Baer 2005, p. 76

[1] Yale 1968, p. 244, Baer 2005, p. 50, Artin 1957, p. 88

[2] Meserve 1983, pp. 43–4

[3] Berger, chapter 6

[4] Gweler: Baer 2005, p. 76

[1]

[2]

[3]

[4]