Eukleidovský prostor

Původní představa eukleidovského prostoru je dvojrozměrná (rovina, ve které rýsujeme své geometrické obrazce) či trojrozměrná. Postupným zobecněním si ale dokážeme představit i prostory vyšších dimensí, ve kterých platí stejné Eukleidovy axiomy.

Eukleidovský prostor je metrickým prostorem, tj. lze v něm zavést veličinu, kterou nazýváme metrika čili vzdálenost (každé dva body v prostoru mají mezi sebou určitou vzdálenost). Například kružnici pak definujeme jako množinu bodů, ležících v rovině, které mají od jednoho bodu (středu) stejnou vzdálenost. V eukleidovském prostoru platí tzv. eukleidovská metrika, která umožňuje, že např. kružnice se pak zobrazuje tak, jak jsme zvyklí (při jiné metrice by mohla mít kružnice např. tvar čtverce aj.).

Z Eukleidových axiomů vyplývají některé základní vlastnosti, které považujeme za samozřejmé:

• Rovnoběžky se nikde neprotínají (respektive někdy říkáme, že se "protínají v nekonečnu")
• součet úhlů v trojúhelníku je 180°

Prostor, ve kterém jsme zvyklí od starověku podnes řešit geometrické úlohy, je eukleidovský prostor. Řešíme v něm úlohy planimetrie, stereometrie, analytické geometrie, perspektivy a další.

Prostor, ve kterém pracuje klasická fyzika, je eukleidovský.

Projektování staveb probíhá v eukleidovském prostoru.

V lineární algebře se obvykle definuje jako konečněrozměrný unitární prostor nad množinou reálných čísel.

Eukleidovský prostor dimenze n se obvykle značí ${\displaystyle E_{n}}$ .

Eukleidovský prostor je unitární prostor, a proto je na něm definován skalární součin.

Zavedeme-li v n-rozměrném eukleidovském prostoru kartézskou soustavu souřadnic, pak vzdálenost d mezi dvěma body X a Y o souřadnicích ${\displaystyle (x_{1},x_{2},...,x_{n}),(y_{1},y_{2},...,y_{n})}$  je určena vztahem

${\displaystyle d={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{(x_{i}-y_{i})}^{2}}}}$ 

Eukleidovský prostor ${\displaystyle E_{n}}$  bývá také označován jako kartézský prostor ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ , kde ${\displaystyle \mathbb {R} }$  označuje množinu reálných čísel. Kartézský prostor je tedy kartézským součinem n množin ${\displaystyle \mathbb {R} }$ .

Rozšířením eukleidovského prostoru ${\displaystyle E_{n}}$  lze získat n-rozměrný komplexní prostor ${\displaystyle K_{n}}$ . Prostor ${\displaystyle K_{n}}$  bývá označován také jako ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ , kde ${\displaystyle \mathbb {C} }$  je množina komplexních čísel.

Prostory, ve kterých naopak není splněno všech pět eukleidovských axiomů, se zabývá neeukleidovská geometrie.

• Unitární prostor
• Metrický prostor

• Eukleidovský prostor v encyklopedii MathWorld (anglicky)

Šablona:Pahýl - matematika