Hyperbola

Hyperbola je rovinná křivka, kuželosečka s výstředností větší než 1. Lze ji také definovat jako množinu všech bodů v rovině o daném rozdílu vzdáleností od dvou pevných ohnisek.

Hyperbola také tvoří graf funkce ${\displaystyle y=1/x}$ v kartézské soustavě souřadnic.

Tvar hyperboly má dráha tělesa v poli centrální síly (gravitační nebo elektrické pole vytvořené tělesem, které lze aproximovat bodem – tuto aproximaci lze beze ztráty přesnosti udělat pro všechna sféricky symetrická tělesa pro prostor mimo jejich vnitřek), pokud je rychlost tohoto tělesa vyšší, než je úniková rychlost.

Implicitní vyjádření

${\displaystyle \|F_{1}X\|-\|F_{2}X\|=2a\,\!}$

Množina všech bodů X v rovině, které mají od dvou různých ohnisek ${\displaystyle F_{1}}$ a ${\displaystyle F_{2}}$ konstantní (neměnnou) absolutní hodnotu rozdílu vzdáleností.

Standardní popis hyperboly:

Pokud ${\displaystyle a=b}$, pak dostáváme rovnici rovnoosé hyperboly.

• Hlavní osa ${\displaystyle o_{1}}$ hyperboly rovnoběžná s osou ${\displaystyle x}$

Středová rovnice:

${\displaystyle {(x-m)^{2} \over a^{2}}-{(y-n)^{2} \over b^{2}}=1\,\!}$

Obecná rovnice:

${\displaystyle Ax^{2}-By^{2}+Cx+Dy+E=0\;,A>0,B>0\,\!}$

Rovnice asymptot:

${\displaystyle y-n=\pm {b \over a}(x-m)\,\!}$

Rovnice tečny v bodě ${\displaystyle T[x_{0},y_{0}]}$:

${\displaystyle {(x-m)(x_{0}-m) \over a^{2}}-{(y-n)(y_{0}-n) \over b^{2}}=1\,\!}$

• Hlavní osa ${\displaystyle o_{1}}$ hyperboly rovnoběžná s osou ${\displaystyle y}$

Středová rovnice:

${\displaystyle {(y-n)^{2} \over a^{2}}-{(x-m)^{2} \over b^{2}}=1\,\!}$

Obecná rovnice:

${\displaystyle -Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+E=0\;,A>0,B>0\,\!}$

Rovnice asymptot:

${\displaystyle y-n=\pm {a \over b}(x-m)\,\!}$

Rovnice tečny v bodě ${\displaystyle T[x_{0},y_{0}]}$:

${\displaystyle {(y-n)(y_{0}-n) \over a^{2}}-{(x-m)(x_{0}-m) \over b^{2}}=1\,\!}$

• Asymptoty ${\displaystyle p_{1},p_{2}}$ rovnoběžné s osami ${\displaystyle x}$ a ${\displaystyle y}$

Středová rovnice:

${\displaystyle (x-m)(y-n)=c\,\!}$

${\displaystyle a=b={\sqrt {2|c|}}\,\!}$

Obecná rovnice:

${\displaystyle xy+Ax+By+C=0\,\!}$

Rovnice asymptot:

${\displaystyle x=m,y=n\,\!}$

Uspořádáme členy v rovnici.

${\displaystyle 2x^{2}+4x-y^{2}+3y-{17 \over 4}=0\,\!}$

Z prvních dvou členů vytkneme dvojku (koeficient) a doplníme je na druhou mocninu dvojčlenu. To samé provedeme i u následujících dvou členů, s tím rozdílem, že vytkneme minus.

${\displaystyle 2\left[{(x+1)}^{2}-1\right]-\left[{\left(y-{3 \over 2}\right)}^{2}-{9 \over 4}\right]={17 \over 4}\,\!}$

Dále upravujeme rovnici tak, aby odpovídala středovému tvaru.

${\displaystyle 2(x+1)^{2}-2-{\left(y-{3 \over 2}\right)}^{2}+{9 \over 4}={17 \over 4}\,\!}$

${\displaystyle 2(x+1)^{2}-{\left(y-{3 \over 2}\right)}^{2}=4\,\!}$

${\displaystyle {(x+1)^{2} \over 2}-{{\left(y-{3 \over 2}\right)}^{2} \over 4}=1\,\!}$

Z výsledné rovnice snadno zjistíme vlastnosti hyperboly.
Jedná se o hyperbolu, jejíž hlavní osa ${\displaystyle o_{1}}$ je rovnoběžná s osou ${\displaystyle x}$.
${\displaystyle S\left[-1,{3 \over 2}\right]\,\!}$, ${\displaystyle a={\sqrt {2}}\,\!}$, ${\displaystyle b=2\,\!}$, ${\displaystyle e={\sqrt {6}}\,\!}$, ${\displaystyle p_{1}:y={\sqrt {2}}x+{3+2{\sqrt {2}} \over 2}\,\!}$, ${\displaystyle p_{2}:y=-{\sqrt {2}}x+{3-2{\sqrt {2}} \over 2}\,\!}$

Řešíme soustavu rovnic hyperboly a přímky. Jestliže vyjde lineární rovnice, která popisuje přímku rovnoběžnou s jednou z asymptot – přímka je sečnou hyperboly s jedním průsečíkem. Pakliže lineární rovnice nemá žádné řešení – přímka není sečna. Pokud vyjde kvadratická rovnice a diskriminant ${\displaystyle D}$ je:

• D > 0 dvě řešení – přímka je sečna se dvěma průsečíky
• D = 0 jedno řešení – tečna s bodem dotyku
• D < 0 žádné řešení – přímka je nesečna

Jestliže převedeme všechny členy rovnice hyperboly na levou stranu (anulujeme rovnici) a dosadíme souřadnice bodu, pak bude platit:

• výsledná hodnota = 0 bod náleží hyperbole
• výsledná hodnota < 0 bod se nachází ve vnější rovině hyperboly
• výsledná hodnota > 0 bod se nachází ve vnitřní rovině hyperboly

Pro hyperbolu se středem S umístěným v počátku platí rovnice:

${\displaystyle r^{2}={a^{2}b^{2} \over b^{2}\cos ^{2}\theta -a^{2}\sin ^{2}\theta }\,\!}$

Pro hyperbolu s ohniskem F umístěným v počátku platí rovnice:

${\displaystyle r={a(\epsilon ^{2}-1) \over 1-\epsilon \cos \theta }\,\!}$

• Karel Rektorys a kolektiv: Přehled užité matematiky I, Prometheus, Praha 1995, ISBN 80-85849-92-5, str. 102–103, 118–121 a 179–181
• Šárka Voráčová a kolektiv: Atlas geometrie – Geometrie krásná a užitečná, Academia, Praha 2012, ISBN 978-80-200-1575-4, str. 116–117

• Geometrický útvar
• Křivka
• Parabola (matematika)
• Elipsa
• Kružnice
• Mocninná křivka

• Obrázky, zvuky či videa k tématu hyperbola na Wikimedia Commons
• Vyčerpávající popis hyperboly