Hiperbola (krivulja)

Hiperbola je krivulja u ravnini, jedna od čunjosječnica. Najčešće se definira kao skup točaka za koje se modul razlike udaljenosti do dviju čvrstih točaka ne mijenja.^[1]

Uz zadane dvije točke u ravnini, F₁ i F₂, te duljinu 2a koja simetrično leži na dužini F₁F₂ uz uvjet 2a<d(F₁, F₂), hiperbolom s fokusima (žarištima) u točkama F₁ i F₂ i velikom osi 2a nazivamo skup točaka u ravnini za koje je apsolutna vrijednost razlike udaljenosti do fokusa F₁ i F₂ jednaka 2a.

Smjesti li se središte hiperbole u ishodište O koordinatnog sustava, udaljenost /OF₁/=/OF₂/ naziva se linearnim ekscentricitetom hiperbole, e. Numerički ekscentricitet hiperbole određen je kao

${\displaystyle \epsilon \,={\frac {e}{a}}>1}$

Hiperbola sa središtem u ishodištu koordinatnog sustava, realnom osi 2a i imaginarnom osi 2b određena je jednadžbom

${\displaystyle b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}\,}$

koja se može prikazati i u segmentnom obliku

${\displaystyle {{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}}=1}$

Hiperbola sa središtem točki S određenoj koordinatama S(p, q), realnom osi 2a i imaginarnom osi 2b određena je jednadžbom

${\displaystyle b^{2}(x-p)^{2}-a^{2}(y-q)^{2}=a^{2}b^{2}\,}$

koja se može prikazati i u segmentnom obliku

${\displaystyle {\frac {(x-p)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(y-q)^{2}}{b^{2}}}=1}$

Tangenta hiperbole koja ima središte u ishodištu koordinatnog sustava i koja prolazi točkom T ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ na hiperboli, određena je koordinatama točke T i koeficijentom smjera tangente. Diferencirajući jednadžbu hiperbole nalazimo da je

${\displaystyle 2b^{2}xdx-2a^{2}ydy=0\,}$

odakle slijedi da je

${\displaystyle y'={\frac {dy}{dx}}=\tan \alpha \,={{\frac {b^{2}}{a^{2}}}{\frac {x_{0}}{y_{0}}}}}$

te da je jednadžba tangente na hiperbolu

${\displaystyle y-y_{0}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}{\frac {x_{0}}{y_{0}}}(x-x_{0})}$

odakle se sređivanjem nalazi i drugi oblik jednadžbe tangente hiperbole

${\displaystyle {\frac {x_{0}x}{a^{2}}}-{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1}$

Tangenta hiperbole koja ima središte u točki S(p, q) i koja prolazi točkom T ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ na hiperboli, određena je koordinatama točke T i koeficijentom smjera tangente. Diferencirajući jednadžbu hiperbole nalazimo da je

${\displaystyle {2b^{2}(x-p)dx-2a^{2}(y-q)dy}=0\,}$

odakle slijedi da je je

${\displaystyle y'={\frac {dy}{dx}}=\tan \alpha \,={\frac {b^{2}}{a^{2}}}{\frac {x_{0}-p}{y_{0}-q}}}$

te se sličnim postupkom nalazi da je jednadžba tangente hiperbole

${\displaystyle y-y_{0}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}{\frac {x_{0}-p}{y_{0}-q}}(x-x_{0})}$