Eukleidovský prostor

Eukleidovský prostor je matematický výraz pro člověku nejbližší, intuitivní představu prostoru. V tomto pojetí prostoru, formalizovaném Eukleidovými axiomy, začíná školní vzdělávací proces; týká se především geometrie, ale také fyziky a algebry. Pojmu se užívá zejména v kontrastu k jiným prostorům.

Původní představa eukleidovského prostoru je dvojrozměrná (rovina, ve které rýsujeme své geometrické obrazce) či trojrozměrná. Postupným zobecněním si ale dokážeme představit i prostory vyšších dimenzí, ve kterých platí stejné Eukleidovy axiomy.

Eukleidovský prostor je metrickým prostorem, tj. lze v něm zavést veličinu, kterou nazýváme metrika čili vzdálenost (každé dva body v prostoru mají mezi sebou určitou vzdálenost). Například kružnici pak definujeme jako množinu bodů, ležících v rovině, které mají od jednoho bodu (středu) stejnou vzdálenost. V eukleidovském prostoru platí tzv. eukleidovská metrika, která umožňuje, že např. kružnice se pak zobrazuje tak, jak jsme zvyklí (při jiné metrice by mohla mít kružnice např. tvar čtverce aj.).

Z Eukleidových axiomů vyplývají některé základní vlastnosti, které považujeme za samozřejmé:

• rovnoběžky se v žádném bodě neprotínají (respektive někdy říkáme, že „se protínají v nekonečnu“);
• součet úhlů v trojúhelníku je 180°.

Prostor, ve kterém jsme zvyklí od starověku podnes řešit geometrické úlohy, je eukleidovský prostor. Řešíme v něm úlohy planimetrie, stereometrie, analytické geometrie, perspektivy a další.

Prostor, ve kterém pracuje klasická fyzika, je eukleidovský.

Projektování staveb probíhá v eukleidovském prostoru.

V lineární algebře se obvykle definuje jako konečněrozměrný unitární prostor nad množinou reálných čísel.

Eukleidovský prostor dimenze n se obvykle značí ${\displaystyle E_{n}}$.

Eukleidovský prostor je unitární prostor, a proto je na něm definován skalární součin.

Zavedeme-li v n-rozměrném eukleidovském prostoru kartézskou soustavu souřadnic, pak vzdálenost d mezi dvěma body X a Y o souřadnicích ${\displaystyle (x_{1},x_{2},...,x_{n}),(y_{1},y_{2},...,y_{n})}$ je určena vztahem

${\displaystyle d={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{(x_{i}-y_{i})}^{2}}}}$

Eukleidovský prostor ${\displaystyle E_{n}}$ bývá také označován jako kartézský prostor ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, kde ${\displaystyle \mathbb {R} }$ označuje množinu reálných čísel. Kartézský prostor je tedy kartézským součinem n množin ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Rozšířením eukleidovského prostoru ${\displaystyle E_{n}}$ lze získat n-rozměrný komplexní prostor ${\displaystyle K_{n}}$. Prostor ${\displaystyle K_{n}}$ bývá označován také jako ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, kde ${\displaystyle \mathbb {C} }$ je množina komplexních čísel.

Prostory, ve kterých naopak není splněno všech pět eukleidovských axiomů, se zabývá neeukleidovská geometrie.

• Unitární prostor
• Metrický prostor

• Eukleidovský prostor v encyklopedii MathWorld (anglicky)

Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace. Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.