Cusinu

In matematica, in particulari in trigunumitria, datu un triangulu rittangulu, u cusinu di unu di i dui anguli interni aghjacenti à l'iputenusa hè difinitu com'è u rapportu trà i lunghezzi di u catetu aghjacenti à l'angulu è di l'iputenusa.

Di manera generali, u cusinu d'un angulu ${\displaystyle \alpha }$, aspressu in gradi o radianti, hè una quantità chì dipendi solu da ${\displaystyle \alpha }$, custruita usendu a circumfarenza unitaria.

Difiniscendu com'è ${\displaystyle \cos(x)}$ u valori di u cusinu in l'angulu ${\displaystyle x}$, s'otteni a funzioni cusinu, una funzioni trigunumetrica di fundamintali impurtanza in l'analisa matematica.

In u triangulu rossu nantu à a figura, u cusinu di x hè datu da: ${\displaystyle \cos {x}={\overline {OC}}}$ Più in generali, si difinisci u cusinu pigliendu una circumfarenza di raghju unitariu è una mezaretta chì esci da l'urighjina chì forma un angulu ${\displaystyle x}$ incù l'assu di l'ascissi com'è nantu à a figura. U cusinu di l'angulu ${\displaystyle x}$ hè difinitu cusì com'è u valori di a cuurdinata ${\displaystyle x}$ di u puntu d'intarsizioni trà a mezaretta è a circumfarenza (nantu à a figura, hè a lunghezza di u sigmentu ${\displaystyle OC}$).

A tavuledda siguenti esponni i principali valori nutevuli assunti da a funzioni cusinu:

${\displaystyle x}$ in radianti	0	${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}}$	${\displaystyle 2\pi }$
${\displaystyle x}$ in gradi	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
${\displaystyle \cos(x)}$	1	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ || 0 || -1 || 0 || 1

Esisti un'antra difinizioni di cusinu in rilazioni à i rutazioni: u cusinu d'un angulu ${\displaystyle x}$ hè u cumpunenti longu l'assu di l'ascissi di u virsori ${\displaystyle i}$, virsori di l'assu ${\displaystyle x}$, ghjiratu di ${\displaystyle x}$.

A funzioni cusinu hè difinita assucendu à ${\displaystyle x}$ u cusinu di l'angulu ${\displaystyle x}$ (rapprisintatu in radianti), è hè indicata incù ${\displaystyle f(x)=\cos {x}}$. Apposta ch'è ${\displaystyle x}$ è ${\displaystyle x+2k\pi }$ difiniscini u stessu angulu par qualsiasi ${\displaystyle k}$ intreiu, a funzioni cusinu hè una funzioni piriodica di periodu ${\displaystyle 2\pi }$ (induva ${\displaystyle 2\pi }$ hè l'angulu ghjiru). A curva di u graficu di sta funzioni hè dinuminata cusinusoidi. L'insemu di variabilità di a funzioni cusinu hè ${\displaystyle [-1,1]}$, veni à dì applichendu 'ssa funzioni à qualunqua numaru riali s'otteni sempri un numaru riali cumpresu trà ${\displaystyle -1}$ è ${\displaystyle 1}$, estremi inclusi.

Trà sinu è cusinu esisti a rilazioni fundamintali, ditta equazioni fundamintali di a trigunumitria, o unità guniumetrica:

${\displaystyle \sin ^{2}{x}+\cos ^{2}{x}=1,}$

chì hè cunsiquenza di u tiurema di Pitagora.

A dirivata di a funzioni cusinu hè l'oppostu di a funzioni sinu. T'avemu dunqua: ${\displaystyle (\cos x)^{\prime }=-\sin x.}$

Quissa pò essa dimustrata applichendu una formula di prustaferesi par calculà a limita di u rapportu incrimintali di u cusinu:

${\displaystyle {\frac {\cos(x+h)-\cos x}{h}}={\frac {-2\sin {\frac {2x+h}{2}}\sin {\frac {h}{2}}}{h}}=-{\frac {\sin {\frac {h}{2}}}{\frac {h}{2}}}\sin \left(x+{\frac {h}{2}}\right){\underset {h\rightarrow 0}{\longrightarrow }}-\sin x}$^[1].

A dirivata siconda di u cusinu hè a funzioni stessa cambiata di segnu:

${\displaystyle (\cos x)^{\prime \prime }=-\cos x,}$

par via di cunsiquenza, a funzioni cusinu com'è a funzioni sinu) risolvi l'equazioni diffarinziali

${\displaystyle y^{\prime \prime }+y=0}$,

chì discrivi u motu d'un uscillatori armonicu ideali libaru.

A funzioni cusinu hè una funzioni à dirivati equilimitati (s'hà infatti ${\displaystyle |y^{(k)}|\leq 1}$ per ogni ${\displaystyle k}$), ed hè par via di cunsiquenza analitica; a so espansioni in seria di Taylor hè: ${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots }$ ${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}}$

par ogni ${\displaystyle x}$ riali.

In analisa matematica 'ss'ugualità hè à spessu usata par difiniscia u cusinu. Listessa seria difinisci u cusinu com'è funzioni olumorfa annantu à tuttu u pianu cumplessu.

Vali a siguenti formula d'addizioni (è suttrazzioni) d'archi:

${\displaystyle \cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp \sin x\sin y,}$

è in particulari a formula di duplicazioni

${\displaystyle \cos {(2x)}=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=1-2\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1.}$

I siguenti sò i furmuli di prustaferesi rilativi à u cusinu:

${\displaystyle \cos {x}+\cos {y}=2\cos {\frac {x+y}{2}}\cos {\frac {x-y}{2}},}$

${\displaystyle \cos {x}-\cos {y}=-2\sin {\frac {x+y}{2}}\sin {\frac {x-y}{2}}.}$

Vali ancu a catena di disugualità:

${\displaystyle 0<x\cos x<\sin x<x\quad {\text{ par }}\quad 0<x<{\frac {\pi }{2}}.}$

Si cunsidareghja a circumfarenza unitaria, è sii ${\displaystyle 0<x<\pi /2}$, com'è nantu à a figura.

Si tracci a mezaretta chì esci da l'urighjina chì forma un angulu ${\displaystyle x}$ (antiurariu) rispettu à u mezassu pusitivu di l'ascissi. Tandu i cuurdinati di u puntu d'intarsizioni ${\displaystyle P}$ di a mezaretta incù a circumfarenza sò ${\displaystyle (\cos x,\sin x)}$. Si traccia u sigmentu chì unisci ${\displaystyle P}$ à u puntu ${\displaystyle A=(1,0)}$. Sii inoltri ${\displaystyle T}$ u puntu d'intarsizioni trà a mezaretta è a retta d'ascissa ${\displaystyle 1}$ (assu di i tangenti). ${\displaystyle T}$ hà cuurdinati ${\displaystyle (1,\tan x)}$.

Si nota ch'è u triangulu ${\displaystyle POA}$ hè strittamenti rinchjusu in u sittori circulari ${\displaystyle POA}$, u quali hè rinchjusu strittamenti in u triangulu ${\displaystyle TOA}$. Vali tandu a disugualità di i rispittivi arii (si ricorda ch'è ${\displaystyle x}$ hè l'angulu, aspressu in radianti):

${\displaystyle 0<{\frac {1}{2}}\sin x<{\frac {1}{2}}x<{\frac {1}{2}}{\frac {\sin x}{\cos x}},}$

veni à dì

${\displaystyle 0<\sin x<x<{\frac {\sin x}{\cos x}}.}$

Da a prima parti di a disugualità si ricava ch'è ${\displaystyle 0<\sin x<x}$, mentri cunsidarendu a siconda, dividendu veni à dì par ${\displaystyle \sin x}$ (ciò chì hè pussibuli parchì ${\displaystyle \sin x>0}$), s'utteni:

${\displaystyle 1<{\frac {x}{\sin x}}<{\frac {1}{\cos x}},}$

veni à dì

${\displaystyle \sin x\cos x<x\cos x<\sin x,}$

induva à a fini s'hè multiplicatu par ${\displaystyle \sin x}$ è par ${\displaystyle \cos x}$, ciò chì priserva u versu di a disugualità parchì sò tremindù pusitivi. Ricapitulendu i risultati,

${\displaystyle 0<x\cos x<\sin x<x.}$

Q.E.D..

}}

Esisti ancu una'idantità trigunumetrica chì metti in rilazioni a funzioni cusinu à a funzioni tangenti:

${\displaystyle \cos {x}={\frac {1-\tau ^{2}}{1+\tau ^{2}}}\quad {\text{ incù }}\quad \tau =\tan {\frac {x}{2}}}$^[2].

st'idantità si svela di fundamintali impurtanza in a risuluzioni d'equazioni guniumetrichi in a quali a scunnisciuta figura com'è argumentu sii d'un sinu sii d'un cusinu (o di funzioni dirivati da quiddi). Esisti, infatti, un'idantità analoga par ciò chì riguarda u sinu, ciò chì parmetti a risuluzioni di l'equazioni incù a scunnisciuta ${\displaystyle \tau }$. Di listessa manera, si pò sfruttà sta rilazioni par u calculu di i primitivi di funzioni guniumetrichi.

• U reciprocu di u cusinu (difinitu induva u cusinu hè diffarenti da zeru) hè a secanti:

${\displaystyle \sec x={\frac {1}{\cos x}}.}$

• A funzioni cusinu hè iniettiva nantu à l'intarvallu ${\displaystyle [0,\pi ]}$ è hà dunqua una inversa, chjamata arcucusinu (indicatu incù ${\displaystyle \arccos }$ o incù ${\displaystyle \cos ^{-1}}$ chì ripiglia a nutazioni di a funzioni inversa).

U terminu cusinu stà par "cumplimintariu di u sinu". Infatti, par anguli trà ${\displaystyle 0}$ è ${\displaystyle \pi /2}$, u cusinu d'un angulu hè u sinu di l'angulu cumplimintariu, veni à dì :${\displaystyle \cos {x}=\sin \left({\frac {\pi }{2}}\pm x\right).}$ sta rilazioni, chì si ricava da i furmuli di somma d'archi, hè valida par ogni ${\displaystyle x}$; eppuri a nuzioni giumetrica d'angulu cumplimintariu s'applicheghja solu l'anguli pusitivi, è dunqua cumpresi trà ${\displaystyle 0}$ è ${\displaystyle \pi /2}$.

1. ↑ L'ultimu passaghju faci usu di u limita nutevuli:

   ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1,}$

   chì si pò dimustrà giumitricamenti.
2. ↑ Infatti s'hà, in virtù di l'unità guniumetrica è dividendu par ${\displaystyle \cos {x}}$ (affinch'è ùn fussi micca nullu), l'idantità

   ${\displaystyle \cos {(2x)}=\cos ^{2}{x}-\sin ^{2}{x}={\frac {\cos ^{2}{x}-\sin ^{2}{x}}{\cos ^{2}{x}+\sin ^{2}{x}}}={\frac {1-\tan ^{2}{x}}{1+\tan ^{2}{x}}}}$.

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