Vector (matemàtiques)

Els vectors se solen representar en negreta (v), mitjançant una fletxa a sobre d'aquest (${\displaystyle {\vec {v}}}$ ), amb una titlla (${\displaystyle {\tilde {v}}}$ ) o bé, generalment quan s'escriuen a mà, subratllats (v).^[3][4][5] També si el context ho fa evident es pot obviar aquesta notació quan s'escriu a mà i escriure'l senzillament amb una sola lletra (${\displaystyle v}$ ). Mentre que en el camp de les matemàtiques se sol optar per aquesta darrera possibilitat, en la física se sol usar l'opció de la fletxa a sobre, però, en general, aquest ús varia en funció de factors diversos. En aquest article s'acostumarà a donar preferència a la primera forma esmentada.

En gràfics i diagrames, els vectors del pla o de l'espai se solen representar com a fletxes, com podeu veure en aquest exemple:

 

On A és l'origen del bipunt i B el seu extrem; s'escriu ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$ . El vector en canvi no està associat a cap punt.

En diagrames de dues dimensions, sovint es necessita representar vectors perpendiculars al pla del diagrama. En aquests casos, i per diferenciar els dos sentits possibles s'usa una notació de punts o creus. S'utilitza el símbol de la creu (⊗) per a indicar vectors que entren al pla de projecció del diagrama en el sentit contrari a l'observador. Per als vectors que surten del pla de projecció en direcció a l'observador s'utilitza un punt (⊙).

 

En un espai euclidià d'n dimensions, els vectors poden ésser representats com a combinació lineal de n vectors unitaris, sempre que aquests vectors siguin generadors de l'espai. Per exemple, a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ , s'acostumen a anomenar els vectors unitaris paral·lels als eixos x, y i z com a ${\displaystyle {\vec {i}}}$ , ${\displaystyle {\vec {j}}}$  i ${\displaystyle {\vec {k}}}$  respectivament. Qualsevol vector ${\displaystyle {\vec {a}}\in \mathbb {R} ^{3}}$  pot ser escrit com a ${\displaystyle {\vec {a}}=a_{1}{\vec {i}}+a_{2}{\vec {j}}+a_{3}{\vec {k}}}$ , on aquests tres nombres reals a₁, a₂ i a₃ deixen unívocament definit el vector.

A vegades i per a simplificar la notació, el vector ${\displaystyle {\vec {a}}}$  s'escriu com a ${\displaystyle {\vec {a}}=(a_{1},a_{2},a_{3})}$  - matriu fila - o bé amb la matriu columna: ${\displaystyle {\vec {a}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\\end{bmatrix}}}$ 

Tot i que aquesta notació no indica la dependència de les coordenades a₁, a₂ i a₃ respecte a l'específic sistema de referència format per ${\displaystyle {\vec {i}}}$ , ${\displaystyle {\vec {j}}}$ , ${\displaystyle {\vec {k}}}$ .

En àlgebra lineal, els vectors s'expressen en forma de matriu columna o vector columna,^[6] emprant negreta per denotar que es tracta d'un vector (en lloc d'un escalar):

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\\end{bmatrix}}}$ 

Per simplificar l'escriptura de vectors columna, a vegades s'escriuen com un vector fila transposat:

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}}$ 

o bé,

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}}$ 

La suma de vectors es defineix de la manera següent: les components del vector suma són la suma de les components dels sumands. Com que restar és sumar l'oposat, i que l'oposat del vector ${\displaystyle {\vec {v}}}$  és el vector que té com a components l'oposat de les components de ${\displaystyle {\vec {v}}}$ , la subtracció queda també definida.

• En el pla, s'escriu així:

Si ${\displaystyle {\vec {u}}}$  = ${\displaystyle (u_{1},u_{2})}$  i ${\displaystyle {\vec {v}}}$  = ${\displaystyle (v_{1},v_{2})}$ ; ${\displaystyle {\vec {w}}}$  = ${\displaystyle {\vec {u}}}$  + ${\displaystyle {\vec {v}}}$  =${\displaystyle (u_{1}\;+\;v_{1},u_{2}\;+\;v_{2})}$  on ${\displaystyle {\vec {w}}}$  és el vector resultant,

i es representa així:

 

• Commutativa: ${\displaystyle {\vec {u_{1}}}+{\vec {u_{2}}}={\vec {u_{2}}}+{\vec {u_{1}}}}$ 
• Associativa: ${\displaystyle ({\vec {u_{1}}}+{\vec {u_{2}}})+{\vec {u_{3}}}={\vec {u_{1}}}+({\vec {u_{2}}}+{\vec {u_{3}}})}$ 
• ${\displaystyle {\vec {u_{1}}}+{\vec {0}}={\vec {u_{1}}}}$ 
• ${\displaystyle {\vec {u_{1}}}-{\vec {u_{2}}}={\vec {u_{1}}}+(-{\vec {u_{2}}})}$ 
• ${\displaystyle {\vec {u_{1}}}-{\vec {u_{1}}}={\vec {0}}}$ 

Els vectors es poden multiplicar per un nombre real ${\displaystyle k}$ , que s'anomena escalar (ja que no és un element de l'espai vectorial). El vector resultant té les components del vector original multiplicades per l'escalar. En el pla:

Si ${\displaystyle {\vec {v}}}$  = ${\displaystyle (v_{1},v_{2})}$ , llavors ${\displaystyle k\cdot {\vec {v}}}$  = ${\displaystyle (k\cdot v_{1},k\cdot v_{2})}$ 

El mòdul (longitud del segment que va de l'origen a l'extrem en les unitats dels eixos de coordenades) es calcula aplicant el teorema de Pitàgores a les seves components, ja que representen els catets del triangle.

El mòdul d'un vector v s'escriu ${\displaystyle \left\|{\vec {v}}\right\|}$ . En el pla es calcula així:

Si ${\displaystyle {\vec {v}}}$  = ${\displaystyle (v_{1},v_{2})}$ ; ${\displaystyle \left\|{\vec {v}}\right\|}$  = ${\displaystyle {\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}}}\,}$ 

Aquestes operacions es poden generalitzar a un espai n-dimensional.

• Espai vectorial
• Mòdul vectorial
• Producte escalar
• Producte vectorial
• Pseudovector
• Vector (física)