Mòdul

Sigui ${\displaystyle A\,}$  un anell i ${\displaystyle M\,}$  un grup abelià. El grup ${\displaystyle M\,}$  té estructura de ${\displaystyle A}$ -mòdul per l'esquerra si l'anell ${\displaystyle A\,}$  opera linealment per l'esquerra sobre els elements de ${\displaystyle M\,}$ , és a dir, si hi ha una operació externa de ${\displaystyle A\,}$  sobre ${\displaystyle M\,}$ :

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}A\times M&\longrightarrow &M\\(\lambda ,x)&\longmapsto &\lambda x\\\end{array}}}$ 

amb les condicions de linealitat

${\displaystyle \lambda (x+y)=\lambda x+\lambda y\,}$

${\displaystyle (\lambda +\mu )x=\lambda x+\mu x\,}$

${\displaystyle (\lambda \mu )x=\lambda (\mu x)\,}$

per a ${\displaystyle \lambda ,\mu \in A}$  i ${\displaystyle x,y\in M}$ . Si, a més, l'anell té unitat, es demana que

${\displaystyle 1x=x\,}$

Si l'operació externa és per la dreta,

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}M\times A&\longrightarrow &M\\(x,\lambda )&\longmapsto &x\lambda \\\end{array}}}$ 

amb les corresponents condicions de linealitat:

${\displaystyle (x+y)\lambda =x\lambda +y\lambda \,}$

${\displaystyle x(\lambda +\mu )=x\lambda +x\mu \,}$

${\displaystyle x(\lambda \mu )=(x\lambda )\mu \,}$

aleshores es tracta d'un ${\displaystyle A}$ -mòdul per la dreta.

Si l'anell ${\displaystyle A}$  és commutatiu, aleshores és possible la identificació ${\displaystyle \lambda x=x\lambda }$ , perquè les condicions ${\displaystyle (\lambda \mu )x=\lambda (\mu x)\,}$  i ${\displaystyle x(\lambda \mu )=(x\lambda )\mu \,}$  ja no són contradictòries. Aleshores ${\displaystyle M}$  té estructura de ${\displaystyle A}$ -mòdul bilàter o, simplement, d'${\displaystyle A}$ -mòdul. El costum, però, és d'escriure'n les propietats i els càlculs com si es tractés d'un ${\displaystyle A}$ -mòdul per l'esquerra.

• Si ${\displaystyle A}$  és un anell, ell mateix es pot considerar com a ${\displaystyle A}$ -mòdul de manera natural:

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}A\times A&\longrightarrow &A\\(x,y)&\longmapsto &xy\\\end{array}}}$ 

• Els grups commutatius són ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -mòduls. En efecte, si ${\displaystyle G}$  és un grup commutatiu (notació additiva) i ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ , l'operació externa de ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  sobre ${\displaystyle G}$  donada per:

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\mathbb {Z} \times G&\longrightarrow &G\\(n,g)&\longmapsto &{\begin{cases}\overbrace {g+g+\cdots +g} ^{n},{\mbox{ si }}n>0\\0,{\mbox{ si }}n=0\\-(\overbrace {g+g+\cdots +g} ^{n}),{\mbox{ si }}n<0\end{cases}}\\\end{array}}}$ 

dota el grup ${\displaystyle G}$  d'una estructura de ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -mòdul.

• Els espais vectorials sobre un cos ${\displaystyle K}$  són ${\displaystyle K}$ -mòduls.

• Si ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{A}(E)}$  és l'anell d'endomorfismes d'un ${\displaystyle A}$ -mòdul ${\displaystyle M}$ , l'operació externa

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\operatorname {Hom} _{A}(E)\times M&\longrightarrow &M\\(\varphi ,x)&\longmapsto &\varphi (x)\\\end{array}}}$ 

fa que ${\displaystyle M}$  es pugui considerar un ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{A}(E)}$ -mòdul.

• Si ${\displaystyle A}$  és un anell i ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\,}$  n'és un ideal (per l'esquerra), aleshores el propi ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\,}$ , amb l'operació

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}A\times {\mathfrak {a}}&\longrightarrow &{\mathfrak {a}}\\(x,a)&\longmapsto &xa\\\end{array}}}$ 

és un ${\displaystyle A}$ -mòdul (per l'esquerra), perquè, per a tot ${\displaystyle a\in {\mathfrak {a}}}$  i tot ${\displaystyle x\in A}$ , el producte ${\displaystyle xa}$  pertany a ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\,}$ .

 

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Mòdul

Viccionari