Conjunt connex

Un conjunt connex (connexió) per a un espai topològic és molt natural. Així, es diu que un espai és disconnex si és possible dividir-lo en dos conjunts oberts amb intersecció nul·la. En cas contrari, es diu que l'espai és connex.

Siga ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})\,}$ un espai topològic on ${\displaystyle {\mathcal {T}}\,}$ n'és la topologia.

Direm que un subconjunt ${\displaystyle C\subseteq X}$ és disconnex si ${\displaystyle \exists A,B\in {\mathcal {T_{|C}}}}$ tal que ${\displaystyle A\neq \varnothing ,\,B\neq \varnothing ,\,A\cap B=\varnothing \;i\;A\cup B=C}$.

Es diu doncs que C és connex en el cas que no sigui disconnex

• Les esferes ${\displaystyle S^{n},n\geq 1,}$ són connexes
• Un punt en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ és connex
• Un nus és un conjunt connex en ${\displaystyle S^{3}\,}$
• Un tor és un conjunt connex en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$
• En ${\displaystyle \mathbb {R} }$, un conjunt és connex si i només si és un interval (matemàtiques)
• El complementari d'un punt en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},n\geq 2,}$ és connex

• El complementari d'un punt en ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• El conjunt format per la unió de dues esferes disjuntes a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• Un enllaç de ${\displaystyle n\,}$ components (nusos)

Es compleix que si ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})\,}$ és un espai topològic connex, qualsevol espai homeomorfa a ell també ho serà. Aquesta propietat ens dona una caracterització molt útil dels conjunts connexos: ${\displaystyle C\subseteq X}$ és un conjunt connex si i només si per a tota funció ${\displaystyle f\colon C\to \{0,1\}\ }$ contínua, es compleix que ${\displaystyle f}$ és una funció constant, on a ${\displaystyle \{0,1\}}$ (topologia discreta).

La imatge per una aplicació contínua d'un conjunt connex és connexa.

Una altra propietat interessant dels conjunts connexos és la següent: Si ${\displaystyle ({X_{i},{\mathcal {T}}_{i}})_{i\in I}}$ és una família d'espais topològics connexos (amb ${\displaystyle I}$ un conjunt d'índexs de qualsevol cardinalitat), llavors ${\displaystyle (\prod _{i\in I}X_{i},{\mathcal {T}})}$ també és connex, on ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ és la topologia producte.

Finalment, si ${\displaystyle \ X}$ no és connex, és a dir, si hi ha oberts ${\displaystyle \ U,V}$ disjunts no buits tals que la seva unió és ${\displaystyle \ X}$, és fàcil veure que cada obert serà el complement de l'altre, després seran complements d'un obert, i per tant, seran tancats. És a dir, seran conjunts clopen. Per això, una altra manera de caracteritzar la connexitat és a dir: ${\displaystyle \ X}$ serà connex si i només si els únics clopen són ${\displaystyle \ X\;i\;\varnothing }$ (on tots dos conjunts són sempre clopen).

Direm que un conjunt ${\displaystyle X}$ és connex per camins o arc connex si donats ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$ hi ha un camí continu ${\displaystyle \alpha :[0,1]\rightarrow X}$ tal que ${\displaystyle \alpha (0)=x_{1}}$ i ${\displaystyle \alpha (1)=x_{2}}$.

La connexitat per camins implica connexitat, però el recíproc no és cert en general. Un contraexemple molt típic és l'anomenat pinta del topòleg, ${\displaystyle X=A\cup B}$, on ${\displaystyle A=\{(0,1)\}}$ i ${\displaystyle B=([0,1]\times \{0\})\cup (\{{\frac {1}{n}}:n\in \mathbb {N} \}\times [0,1])}$. ${\displaystyle X}$ és connex, però no connex per camins.

Ser connex per camins no és una propietat hereditària (és a dir, si un conjunt és connex per camins, qualsevol subconjunt d'aquest no és necessàriament connex per camins). Però, ser connex per camins és una propietat topològica (és a dir, la imatge mitjançant una aplicació contínua d'un conjunt connex per camins és connexa per camins).

Donat un espai topològic ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})\,}$ disconnex s'anomena component connexa, a cada un dels conjunts maximals connexos. És a dir un subconjunt ${\displaystyle I\in {\mathcal {T}}\,}$ és un component connexa si es compleixen aquestes dues condicions:

1. ${\displaystyle I\in {\mathcal {T}}\,}$ és connex.
2. Qualsevol conjunt ${\displaystyle Z\,}$ que conté pròpiament a ${\displaystyle I\,}$ és disconex.

Es compleix que les components connexes de ${\displaystyle X}$ formen una partició de ${\displaystyle X}$.