Conjunt connex

Siga ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})\,}$  un espai topològic on ${\displaystyle {\mathcal {T}}\,}$  n'és la topologia.

Direm que un subconjunt ${\displaystyle C\subseteq X}$  és disconnex si ${\displaystyle \exists A,B\in {\mathcal {T_{|C}}}}$  tal que ${\displaystyle A\neq \varnothing ,\,B\neq \varnothing ,\,A\cap B=\varnothing \;i\;A\cup B=C}$ .

Es diu doncs que C és connex en el cas que no sigui disconnex

• Les esferes ${\displaystyle S^{n},n\geq 1,}$  són connexes
• Un punt en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  és connex
• Un nus és un conjunt connex en ${\displaystyle S^{3}\,}$ 
• Un tor és un conjunt connex en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ 
• En ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , un conjunt és connex si i només si és un interval (matemàtiques)
• El complementari d'un punt en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},n\geq 2,}$  és connex

• El complementari d'un punt en ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 
• El conjunt format per la unió de dues esferes disjuntes a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 
• Un enllaç de ${\displaystyle n\,}$  components (nusos)

Es compleix que si ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})\,}$  és un espai topològic connex, qualsevol espai homeomorfa a ell també ho serà. Aquesta propietat ens dona una caracterització molt útil dels conjunts connexos: ${\displaystyle C\subseteq X}$  és un conjunt connex si i només si per a tota funció ${\displaystyle f\colon C\to \{0,1\}\ }$  contínua, es compleix que ${\displaystyle f}$  és una funció constant, on a ${\displaystyle \{0,1\}}$  (topologia discreta).

La imatge per una aplicació contínua d'un conjunt connex és connexa.

Una altra propietat interessant dels conjunts connexos és la següent: Si ${\displaystyle ({X_{i},{\mathcal {T}}_{i}})_{i\in I}}$  és una família d'espais topològics connexos (amb ${\displaystyle I}$  un conjunt d'índexs de qualsevol cardinalitat), llavors ${\displaystyle (\prod _{i\in I}X_{i},{\mathcal {T}})}$  també és connex, on ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$  és la topologia producte.

Finalment, si ${\displaystyle \ X}$  no és connex, és a dir, si hi ha oberts ${\displaystyle \ U,V}$  disjunts no buits tals que la seva unió és ${\displaystyle \ X}$ , és fàcil veure que cada obert serà el complement de l'altre, després seran complements d'un obert, i per tant, seran tancats. És a dir, seran conjunts clopen. Per això, una altra manera de caracteritzar la connexitat és a dir: ${\displaystyle \ X}$  serà connex si i només si els únics clopen són ${\displaystyle \ X\;i\;\varnothing }$  (on tots dos conjunts són sempre clopen).

Direm que un conjunt ${\displaystyle X}$  és connex per camins o arc connex si donats ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$  hi ha un camí continu ${\displaystyle \alpha :[0,1]\rightarrow X}$  tal que ${\displaystyle \alpha (0)=x_{1}}$  i ${\displaystyle \alpha (1)=x_{2}}$ .

 

La connexitat per camins implica connexitat, però el recíproc no és cert en general. Un contraexemple molt típic és l'anomenat pinta del topòleg, ${\displaystyle X=A\cup B}$ , on ${\displaystyle A=\{(0,1)\}}$  i ${\displaystyle B=([0,1]\times \{0\})\cup (\{{\frac {1}{n}}:n\in \mathbb {N} \}\times [0,1])}$ . ${\displaystyle X}$  és connex, però no connex per camins.

Ser connex per camins no és una propietat hereditària (és a dir, si un conjunt és connex per camins, qualsevol subconjunt d'aquest no és necessàriament connex per camins). Però, ser connex per camins és una propietat topològica (és a dir, la imatge mitjançant una aplicació contínua d'un conjunt connex per camins és connexa per camins).

Donat un espai topològic ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})\,}$  disconnex s'anomena component connexa, a cada un dels conjunts maximals connexos. És a dir un subconjunt ${\displaystyle I\in {\mathcal {T}}\,}$  és un component connexa si es compleixen aquestes dues condicions:

1. ${\displaystyle I\in {\mathcal {T}}\,}$  és connex.
2. Qualsevol conjunt ${\displaystyle Z\,}$  que conté pròpiament a ${\displaystyle I\,}$  és disconex.

Es compleix que les components connexes de ${\displaystyle X}$  formen una partició de ${\displaystyle X}$ .