Ravan

Ravan je jedan od osnovnih pojmova geometrije. Njena definicija daje aksiomama geometrije.

Važne osobine ravni date su, sljedećim aksiomama:

• Ako dvije tačke prave pripadaju ravni, onda sve tačke prave pripadaju ovoj ravni.
• Tri tačke koje ne leže na jednoj pravoj pripadaju samo jednoj ravni.

Ruski matematičar Nikolaj Lobačevski je za definiciju ravni uzimao sledeću definiciju:

Ravan je geometrijsko mjesto tačaka u prostoru koje su podjednako udaljene od dvije date tačke.

U izgradnji geometrije Lobačevski je polazio od pojma kretanja, i prema tome, i od pojma rastojanja između dvije tačke.

Veliki nemački matematičar Lajbnic definisao je pojam ravni kao površ koja dijeli prostor na dva kongruentna dijela (koja se kretanjem mogu poklopiti).

Međutim, ovu osobinu ima, na primer, i cilindarska površ čija je generatrisa sinusoida ili pravilna beskonačna izlomljena linija oblika testere.

 

Sljedeći iskazi važe u trodimenzionalnom Euklidskom prostoru, ali ne u višim dimenzijama (i ako imaju više dimenzionalne analogone):

• Dvije ravni su ili paralelni, ili se presjecaju u nekoj liniji.
• Linija je ili paralelna s ravni, siječe ravan u jednoj tački, ili se potpuno nalazi u njoj.
• Linije normalne u odnosu na istu ravan međusobno su paralelne.
• Dvije ravni normalne na istu liniji međusobno su paralelne.

Neka su p₁=(x₁, y₁, z₁), p₂=(x₂, y₂, z₂), i p₃=(x₃, y₃, z₃) nekolinearne tačke. Na osnovu ovih tačaka možemo upotrebiti jednu od sljedeće tri metode da bi opisali ravnu.

Ravan koji prolazi kroz p₁, p₂, i p₃ se može opisati kao skup svih tačaka (x,y,z) koje zadovoljavaju sljedeće determinantne jednačine:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x-x_{2}&y-y_{2}&z-z_{2}\\x-x_{3}&y-y_{3}&z-z_{3}\end{vmatrix}}=0.}$ 

Ravan je također moguće opisati kao jednačinu forme ${\displaystyle ax+by+cz+d=0}$ , gdje se sljedeći sistem jednačina treba riješiti:

${\displaystyle \,ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d=0}$ 

${\displaystyle \,ax_{2}+by_{2}+cz_{2}+d=0}$ 

${\displaystyle \,ax_{3}+by_{3}+cz_{3}+d=0.}$ 

Ovaj sistem se može riješiti koristeći Kramerovo pravilo i osnovne matrične manipulacije:

${\displaystyle D={\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3}\end{vmatrix}}}$ .

Ako D nije nula (ravni koji ne prolaze kroz koordinatni početak) vrijednosti za a, b i c se mogu izračunati na sljedeći način:

${\displaystyle a={\frac {-d}{D}}{\begin{vmatrix}1&y_{1}&z_{1}\\1&y_{2}&z_{2}\\1&y_{3}&z_{3}\end{vmatrix}}}$ 

${\displaystyle b={\frac {-d}{D}}{\begin{vmatrix}x_{1}&1&z_{1}\\x_{2}&1&z_{2}\\x_{3}&1&z_{3}\end{vmatrix}}}$ 

${\displaystyle c={\frac {-d}{D}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}.}$ 

Ove jednačine su parametrične u d. Stavljajući d da bude jednak bilo kojem nenultnom broju i zamjenjujući njega u ovim jednačinama daje skup solucija.

Treća metoda za opisivanje ravna je sa "tačkom i površinskom normalom". Zadovoljavajuća površinska normala se dobiva vektorskim proizvodom

${\displaystyle \mathbf {n} =(\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{1})\times (\mathbf {p} _{3}-\mathbf {p} _{1}),}$ 

i tačkom r₀ koja može biti bilo koja od tačaka p₁,p₂ ili p₃.^[1]

Ravan A u prostoru ${\displaystyle R^{n}}$  se analitički može opisati jednom njenom tačkom ${\displaystyle P\in A\in R^{n}}$ 

${\displaystyle {\overrightarrow {a}}}$  koji je okomit na nju, tj. svaki vektor koji joj pripada. Tada će za svaku tačku ${\displaystyle Q\in A}$  važiti:

${\displaystyle {\overrightarrow {a}}\cdot {\overrightarrow {PQ}}=0}$ ,

ili

${\displaystyle \left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)\cdot \left(Q_{1}-P_{1},\ldots ,Q_{n}-P_{n}\right)=a_{1}\cdot \left(Q_{1}-P_{1}\right)+\cdots +a_{n}\cdot \left(Q_{n}-P_{n}\right)=0}$ 

Kako su ${\displaystyle {\overrightarrow {a}}}$  i P konstante, izraz se može drugačije zapisati:

${\displaystyle {\overrightarrow {a}}\cdot \left(Q-P\right)\Rightarrow {\overrightarrow {a}}\cdot {\overrightarrow {Q}}={\overrightarrow {a}}\cdot {\overrightarrow {P}}\Rightarrow }$ 
${\displaystyle {\overrightarrow {a}}\cdot {\overrightarrow {Q}}=C,C\in R}$ 

Ovo je vektorska jednačina ravni. Nakon razvoja skalarnog proizvoda dobija se opšta jednačina ravni:

${\displaystyle a_{1}\cdot Q_{1}+\cdots +a_{n}\cdot Q_{n}=C}$ 

Ravan u prostoru ${\displaystyle R^{n}}$  može sadržati ili ne sadržati neku od tačaka istog. Algebarski, ovo se provjerava tako što se koordinate tačke ubace na odgovarajuća mjesta promjenjivih u jednačinu ravni. Ako je jednačina ravni zadovoljena, tačka pripada ravni. U suprotnom tačka ne pripada ravni.

Ako tačka ne pripada ravni, onda postoji tačno jedna prava koja prolazi kroz tu tačku, i normalna je na ravan. Ta prava siječe ravan u tačno jednoj tački koja je u stvari projekcija prethodne tačke na datu ravan.

Neka je data ravan A i neka je određena tačkom P i njenim normalnim vektorom ${\displaystyle {\overrightarrow {n}}}$ . Neka je Q proizvoljna tačka istog prostora koja ne pripada A. Tada za projekciju Q' tačke Q na ravan A važi sljedeće:

${\displaystyle Q'\in A\wedge {\overrightarrow {QQ'}}\|{\overrightarrow {n}}\Rightarrow }$ 

${\displaystyle Q'=Q+\alpha {\overrightarrow {n}}\in A}$ 
${\displaystyle {\overrightarrow {PQ'}}{\overrightarrow {n}}=0}$ 

Dobili smo jednačinu sa nepoznatom ${\displaystyle \alpha }$ .

${\displaystyle \left(Q+\alpha {\overrightarrow {n}}-P\right)\cdot {\overrightarrow {n}}=0,\;\;\alpha ={\frac {{\overrightarrow {PQ}}{\overrightarrow {n}}}{|{\overrightarrow {n}}|^{2}}}}$ 

Kada odredomo ${\displaystyle \alpha }$ ,tačka -{Q'}- je određena jednačinom ${\displaystyle Q'=Q+\alpha {\overrightarrow {n}}}$ 

Udaljenost neke tačke od ravni u ${\displaystyle R^{n}}$  je određeno njenim rastojanjem od njene projekcije na istu ravan.

Ovo rastojanje se specijalno u ${\displaystyle R^{3}}$ , kada su poznate tri nekolinearne tačke ravni S, W, T, može izraziti i preko odnosa zapremine i površine baze prizme koju grade romboid određen sa ove tri tačke sa tačkom Q:

${\displaystyle d\left(A\left(S,W,T\right),Q\right)={\frac {\left[{\overrightarrow {SW}},{\overrightarrow {ST}},{\overrightarrow {SQ}}\right]}{\left|{\overrightarrow {SW}}\times {\overrightarrow {ST}}\right|}}}$ 

Ravan i prava u ${\displaystyle R^{3}}$  imaju tri moguća međusobna položaja: prava je paralelna sa ravni (njen vektor je normalan na normalan vektor ravni), prava siječe ravan u jednoj tački, prava pripada ravni. U prostorima veće dimenzije je moguće i da prava nema zajedničkih tačaka sa ravni ali da takođe nije paralelna sa njom. Ovaj položaj se naziva mimoilaženje.

Pretpostavimo da se prava p određena sa tačkom P i vektorom ${\displaystyle {\overrightarrow {v}}}$ , i ravan A određena sa tačkom ${\displaystyle Q}$  i normalnim vektorom ${\displaystyle {\overrightarrow {n}}}$  sijeku.

Njihova tačka preseka L bi bila određena sa:

${\displaystyle L=P+\alpha {\overrightarrow {v}},\;L\in A}$ 

Kada se ovako dobijeni vektor koordinata tačke L ubaci u jednačinu ravni, dobije se jednačina sa jednom nepoznatom, ${\displaystyle \alpha }$ . Nakon što se ${\displaystyle \alpha }$  odredi, treba je vratiti u gornju jednačinu. Rezultat su koordinate tačke L.

U ${\displaystyle R^{3}}$  bi to izgledalo ovako:

${\displaystyle A:n_{1}(x_{1}-Q_{1})+n_{2}(x_{2}-Q_{2})+n_{3}(x_{3}-Q_{3})=0}$ 
${\displaystyle L:(P_{1}+\alpha v_{1},P_{2}+\alpha v_{2},P_{3}+\alpha v_{3})}$ 

${\displaystyle \Rightarrow n_{1}(P_{1}+\alpha v_{1}-Q_{1})+n_{2}(P_{2}+\alpha v_{2}-Q_{2})+n_{3}(P_{3}+\alpha v_{3}-Q_{3})=0}$ 

${\displaystyle {\overrightarrow {n}}\cdot \left({\overrightarrow {QP}}+\alpha {\overrightarrow {v}}\right)=0}$ 

${\displaystyle \alpha =-{\frac {{\overrightarrow {n}}{\overrightarrow {QP}}}{{\overrightarrow {n}}{\overrightarrow {v}}}},\;L=P+\alpha {\overrightarrow {v}}}$ 

Projekcija prave p na ravan A je ili jedna prava p' koja pripada ravni A, ili jedna tačka P' na ravni A. Do drugog slučaja dolazi kada je prava p u stvari normalna na ravan A, a rezultujuća tačka je u stvari njihov presjek.

Kada prava p nije normalna na ravan A, njena projekcija, prava p' se može konstruisati kroz projekcije dvije različite tačke prave p na ravan A.

Ako prava p ne siječe ravan A, rastojanje između njih je jednako rastojanju između bilo koje tačke prave i ravni.

Dvije ravni u prostoru ${\displaystyle R^{n}}$  mogu biti mimoilazne, paralelne, mogu se sjeći po jednoj pravoj ili biti identične.

Presjek dvije ravni A i B može biti:

• prazan skup (ako su ravni paralelne ili mimoilazne)
• jedna tačka (ako su ravni u principu mimoilazne ali se dodiruju u jednoj tački)

jedna prava (ako se ravni sijeku)

• ravan, ako su ravni identične.

Odnos dvije ravni, kao i njihov presjek se mogu odrediti rješavanjem sistema jednačina ove dvije ravni.

Pretpostavimo da su zadate dvije ravni

${\displaystyle A:P,{\overrightarrow {a}}}$  и ${\displaystyle B:Q,{\overrightarrow {b}}}$ 

${\displaystyle A:x_{1}a_{1}+x_{2}a_{2}+\cdots +x_{n-1}a_{n-1}+P_{n}a_{n}=K_{A},\;K_{A}\in R}$ 
${\displaystyle B:x_{1}b_{1}+x_{2}b_{2}+\cdots +x_{n-1}b_{n-1}+Q_{n}b_{n}=K_{B},\;K_{B}\in R}$ 

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}a_{1}+x_{2}a_{2}+\cdots +x_{n-1}a_{n-1}+x_{n}a_{n}=K_{A}\\x_{1}b_{1}+x_{2}b_{2}+\cdots +x_{n-1}b_{n-1}+x_{n}b_{n}=K_{B}\end{cases}}}$ 

određuje šta je rezultat presjeka i ekvivalentan je dimenziji rezultujućeg potprostora. Samo rješenje sistema opisuje objekat dobijen presjekom.

Dvije ravni su paralelne ako ih grade parovi vektora koji grade baze istog potprostora u datom prostoru. Ovi parovi vektora se u međusobnom odnosu još zovu koplanarni.

Udaljenost dvije ravni je konstantno, posmatrano iz bilo koje tačke jedne prema drugoj ravni. Stoga se može svesti na rastojanje bilo koje tačke jedne ravni od druge ravni.

Ravni mogu biti mimoilazne u prostorima dimenzije veće od tri. Karakteristika ovako postavljenih ravni je da se ne sijeku po pravoj i da postoji tačno jedan par tačaka sa prve i druge ravni, za koje je rastojanje minimalno. Ako se parametri ravni tako podese, da ove dvije tačke imaju iste koordinate, ravni će se dodirivati samo u tim tačkama a rastojanje ove dvije ravni je jednako nuli.

U opštem slučaju, rastojanje dvije mimoilazne ravni se izračunava postavljanjem jednačine dužine vektora između ove dvije ravni, i nalaženjem njenog minimuma diferenciranjem.

• Poluravan
• Hiperravan

 

Commons ima datoteke na temu: Ravan

• (en) Eric W. Weisstein, Ravan na MathWorld-u.
• Joyce, D. E. (1996), Euclid's Elements, Book I, Definition Clark University, retrieved 8 August 2009
• Weisstein, Eric W. (2009), CALCULUS III - NOTES A Wolfram Web Resource, retrieved 2009-08-08
• Equations of Planes Calculus III