Skup (matematika)

Presjek ili zajednički dio dva skupa je skup koji čine elementi koji su u skupu A i u skupu B. Označavamo ga sa

${\displaystyle A\cap B=\{x\mid x\in A\land x\in B\}}$ 

Za relaciju presjek važi zakon komutacije

A∩B = B∩A

${\displaystyle A=\{a,b,c\}}$ 

${\displaystyle B=\{c,d\}}$ 

A∩B = ${\displaystyle \{c\}}$ 

Za B={ d } bilo bi A ∩B= ø

Dvije paralelne prave su disjunktne Za skupove A i B kažemo da su disjunkti ako i samo ako je njihov presjek prazan skup.

Unija skupova A i B je skup koji čine svi elementi koji pripadaju barem jednom od skupova A i B. Označavamo ga sa .

${\displaystyle A\cup B=\{x\mid x\in A\lor x\in B\}}$ 

Za relaciju unija vrijedi zakon komutacije

${\displaystyle A\cup B=B\cup A}$ 

Za relacije unije i presjeka važe relacije

${\displaystyle (A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C),(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)}$  (zakoni asocijacije)

${\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C),A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}$  (zakoni distribucije)

${\displaystyle A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C}$  asocijativnost

${\displaystyle A\cup \emptyset =A}$  neutralni elemenat

${\displaystyle \left(\bigcap _{k}A_{k}\right)\cup B=\bigcap _{k}\left(A_{k}\cup B\right)}$ 

Kardinalni broj unije skupova A i B je

${\displaystyle k(A\cup B)=k(A)+k(B)}$ 

Za skup A kažemo da je podskup skupa B onda i samo onda ako je svaki element iz A ujedno i element iz B ili A ∩B= A

Skup kome je A podskup zove se nadskup skupa A. Ako je A podskup od B i ako B ima bar jedan element koji nije u A kažemo da je A pravi podskup od B. Svaki podskup možemo shvatiti kao njegov nepravi podskup . za svaki skup vrijedi A ∩ ø = A tj ø je podskup svakog skupa. Skupovi A i B su neuporedivi u odnosu na relaciju podskup ako nije ${\displaystyle A\subset B}$  , a niti ${\displaystyle B\subset A}$  Unija dva skupa je podskup

Prazan skup ∅ (ili {})je, skup koji nema nijednog elementa, on je podskup svakog skupa.

Za skupove A i B kažemo da su jednaki i pišemo A=B onda i samo onda ako je ${\displaystyle A\subset B}$  i ${\displaystyle B\subset A}$  tj ako su elementi skupa A eklementi skupa B i obrnuto ako su elementi skupa B elementi skupa A.

Ako su A i B skupovi tada skup svih elemenata skupa A koji nisu u B nazivamo razlika skupova A i B i pišemo

${\displaystyle A\setminus B=\{x\mid x\in A\land x\notin B\}}$ 

Simetrična razlika skupova A i B je skup A∆B koji sadrži sve elemente skupova A\B i B\A. Pišemo: A∆B=(A\B)∪(B\A)

Neka je A⊆B. Komplement (dopuna) skupa A u odnosu na skup B je skup svih elemenata iz B koji ne pripadaju skupu A. Pišemo: CB(A)={𝑥∈B:𝑥∉𝐴}

Neka je A proizvoljni skup. Skup svih podskupova skupa A nazivamo partitivni skup skupa A. Pišemo: P(A)={X:X⊆A} Ako je skup A konačan i ima n elemenata tada njegov partitivni skup P(A) ima 2ⁿ elemenata. Npr. za A={1,*,a} je P(A)={∅,{1},{*},{a},{1,*},{1,a},{*,a},{1,*,a}}.

Ako su A i B skupovi skup svih parova (a,b) kod kojih je a iz A i b iz B označavamo sa AXB nazivamo kartezijev ili direktni proizvod skupova A i B

Za skup A kažemo da je ekvivalentan skupu S ako i samo ako postoji bijekcija sa A na S.

Za relaciju ekvivalencije skupova vrijede sljedeće osobone:

1. Refleksivnost

A ≈A za svaki neprazni skup

1. Simetričnost

A ≈B <=> B ≈ A

1. Tranzitivnost

A ≈B & B≈C => A ≈C

Definišimo prirodne brojeve .. na sljedeći način 0={ø} 1={0} 2={1,2}... Označavamo ga sa N(naturalis- prirodan)

Ovo su bili prvi brojevi kojima se koristio čovjek i imaju glavno mjesto u izgradnji matematičke nauke. Za skup S kažemo da je konačan ako postoji prirodni broj n takav da je skup S={1,2,3,...} ekvivalentan sa skupom S.

Neke osobine skupova

1. Svaki skup može se preslikati na svoj pravi podskup.
2. Svaki skup koji se može preslikati na svoj pravi podskup je beskonačan.
3. Skup je konačan ako i samo ako se može preslikati na svoj pravi podskup.

Ako su A,B,C skupovi sa osobinom ${\displaystyle A\subset B}$ ; ${\displaystyle B\subset C}$  i A je ekvivalentan sa C onda je A ekvivalentan sa B.

Ekvivalentni skupovi se još zovu i istobrojni. Umjesto A≈B pišemo k(A)=k(B) – kardinalni broj skupa A jednak je kardinalnom broju skupa B.

Cantorova teorema

Za svaki skup S vrijedi k(S)<kP(S) gdje je P(S) partitivni skup skupa S. Kardinalni brojevi koji nisu konačni su transfinitni.

Korolar

Ne posatoji najveći transfinitni kardinalni broj

G Cantor je postavio hipotezu da između brojeva k(N) i kP(N) nama nijednog kardinalnog broja. To je hipoteza kontinuuma. Ovu hipotezu su nastojali dokazati ili opovrgnuti mnogi matematičari pa i sam Cantor (osnivač teorije skupova). Ovaj problem je ostao neriješen sve do 1963.god. kada je Amerikanac P Cohen(Koen) dokazao da ova hipoteza ne zavisi od ostalih aksioma teorije skupova. Isto kao što i V postulat Euklidove geometrije ne zavisi od ostalih aksioma.

Teorema

Ako su skupovi A i B prebrojivi onda je prebrojiv i skup A U B

Teorema

Ako su skupovi A i B prebrojivi onda je prebrojiv i skup AxB Teorema o ekvivalenciji

Ako je skup A ekvivalentan sa podskupom skupa B i B ekvivalentan sa podskupom skupa A onda su skupovi A iB ekvivalentni tj. k(A)=K(B)

Ako je skup A konačan ,a S beskonačan onda je k(AUS)=k(S)

Neka je A dobro uređen skup. Klasu dobro uređenih skupova koji su slični sa A nazivamo ordinalni broj , oznaka ord(A) .

Ordinalni brojevi dobro uređenih skupova {1},{1,2},{1,2,3,}... zovemo konačni ordinalni broj i označavamo ih sa 1,2,3,... Ordinalni brojevi koji nisu konačni su transfinitni.

Aksioma izbora (Zemerlov aksiom)

Ako je S dati skup tada iz svakog nepraznog podskupa skupa S možemo izabrati jedan element , tj postoji barem jedna funkcija koja svakom nepraznom skupu X podskup S pridružuje jedan element x iz X.

Za svaki beskonačan kardinalni broj a vrijedi a²=a Za svaka dva skupa A i B važi k(A)=k(B) ili k(A)<k(B) ;k(A)=k(B) ili k(A)>k(B)

Zornova(Cornova) lema

Ako je A parcijalno uređen skup u kome svaki potpuno urešen podskup ima gornju granicu sadrži bar jedan maksimalni element.

Uznimo da je S skup svih skupova. Tada je svaki podskup od S ujedno i član od S. Dakle, i partitivni skup od S je podskup od S.

P(S) podskup od S kP(S)<k(S) i kP(S)=k(S) Međutim prema Cantorovom teoremu je kP(S)>k(S)

Neka je S skup svih skupova koji ne sadrže sebe kao element. Postavlja se pitanje pripada li skup S sam sebi.

Primjer:

U nekom selu postoji brijač koji brije one i samo one ljude koji se sami ne briju. Pitanje: Ko brije brijača? Naime, ukoliko neko drugi brije brijača, onda on ne brije one i samo one ljude koji se sami ne briju (jer ne brije sebe). Ako, pak, brijač brije samog sebe, onda on ne brije one i samo one koji sami sebe ne briju (jer, opet, ne brije sebe).

Postoji interesantna veza između algebre skupova i algebre iskaza. naime, ako želimo provjeriti tačnost neke skupovne jednakosti tada skupovima A,B,C,... pridružimo iskaze p,q,r,...,jednakosti skupova pridružimo ekvivalenciju iskaza,a podskupu pridružujemo implikaciju iskaza, presjeku skupova pridružimo konjukciju iskaza, uniji skupova pridružimo disjunkciju iskaza, komplemenu skupa pridružimo negaciju iskaza. Tako skupovnu jednakost prevedemo u njoj ekvivalentnu iskaznu formulu, a zatim pomoću tabele istinitosti provjerimo dali je dobijena iskazna formula tautologija ili ne.

• Niz
• Taksonomija

 

Commons ima datoteke na temu: Skup (matematika)