Algebra

Algebra^[1] (ar. al-gabr), u stvari „uzglobljavanje (polomljenih) dijelova“, uspostavljanje ravnoteže, oblik jednačine.^[2]

Geneza naziva vodi do knjige arapskog matematičara Al Horezmija "Hisab al džabr val mukabala" što se u slobodnijem prijevodu može biti Knjiga o svođenju i dvostrukom oduzimanju. Postupak se prvo odnosio na uređivanje lijeve i desne strane kod jednačina ali je kasnije, razvojem matematike, značajno proširen.

Algebra je grana matematike koja proučava algebarske strukture i manipulaciju iskazima unutar tih struktura. To je generalizacija aritmetike koja uvodi varijable i algebarske operacije osim standardnih aritmetičkih operacija kao što su sabiranje i množenje.

Osnovna algebra je glavni oblik algebre koji se uči u školi i ispituje matematičke iskaze koristeći varijable za nespecificirane vrijednosti. Nastoji utvrditi za koje vrijednosti su iskazi istiniti. Da bi to učinila, koristi različite metode transformacije jednačina za izolaciju varijabli. Linearna algebra je blisko povezano polje koje istražuje varijable koje se pojavljuju u nekoliko linearnih jednačina, takozvanih sistema linearnih jednačina. Pokušava otkriti vrijednosti koje rješavaju sve jednačine u isto vrijeme.

Apstraktna algebra proučava algebarske strukture, koje se sastoje od skupa matematičkih objekata zajedno sa jednom ili više binarnih operacija definisanih na tom skupu. To je generalizacija elementarne i linearne algebre jer dozvoljava matematičke objekte osim brojeva i nearitmetičkih operacija. Razlikuje različite tipove algebarskih struktura, kao što su grupe, prstenovi i polja, na osnovu broja operacija koje koriste i zakona koje slijede. Univerzalna algebra čini dalji nivo generalizacije koji nije ograničen na binarne operacije i istražuje apstraktnije obrasce koji karakterišu različite klase algebarskih struktura.

Algebarske metode su prvi put proučavane u antičkom periodu za rješavanje specifičnih problema u oblastima poput geometrije. Kasniji matematičari su ispitivali opće tehnike za rješavanje jednačina nezavisno od njihove specifične primjene. Oslanjali su se na verbalne opise problema i rješenja sve do 16. i 17. vijeka, kada je razvijen rigorozan matematički formalizam. Sredinom 19. vijeka, opseg algebre se proširio izvan teorije jednačina kako bi pokrio različite vrste algebarskih operacija i algebarskih struktura. Algebra je relevantna za mnoge grane matematike, kao što su geometrija, topologija, teorija brojeva i račun, i druga polja istraživanja, poput logike i empirijskih nauka.

Izvorno se pod „algebrom“ podrazumijevala teorija „algebarskih“ jednačina, u kojima su pomoću „algebarskih“ računskih operacija (sabiranje, oduzimanje, množenje, dijeljenje itd.) povezane poznate i nepoznate veličine. Danas ovaj pojam označava i opštiju teoriju matematičkih struktura, u kojoj se posebno istražuju strukturne jednakosti između tako različito usmjerenih oblasti kao što su teorija brojeva, geometrija ili algebra u tradicionalnom smislu.

Važne algebarske strukture su, recimo, grupe, prsteni, tijela i asocijacije. Sve tvorevine koje pokazuju neku određenu strukturu nazivaju se „modeli“ ove strukture. Rezultati na koje se smjera istraživanjima apstraktnih struktura pokatkad važe i za njihove modele.

Nadovezujući se na Mathematical Analysis of Logic (1847.) George Boolea,^[3] algebarska istraživanja su postala značajna i za formalnu logiku. Važnu ulogu tu igraju posebno „bulovske asocijacije“ ili „bulovske algebre“. Pored algebarskih struktura, govori se još i ο „strukturama uređenja“ i „topološkim strukturama“.