Algebra

Algebra

Fformiwla cwadratig sy'n mynegi'r ateb i'r hafaliad gradd dau ax2 + bx + c = 0, ble nad yw a yn sero, yn nhermau o'i gyfernodau (coefficients) a, b a c.
Enghraifft o'r canlynol	maes o fewn mathemateg, damcaniaeth mathemategol
Rhan o	mathemateg
Ffeiliau perthnasol ar Gomin Wicimedia

Cangen eang o fathemateg yw algebra sy'n defnyddio llythrennau a symbolau eraill i gynrychioli rhifau mewn fformiwlâu a hafaliadau. Rhoddir yr enw "algebra" hefyd ar system algebraidd sy'n seiliedig ar wirebau penodol.^[1] Gelwir mathemategydd sy'n arbenigo yn y maes hwn yn "algebrydd". Mae astudio algebra yn hanfodol nid yn unig i fathemategwyr ac ystadegwyr ond hefyd i wyddonwyr, peiriantwyr, ac economegwyr, ac mae ganddi ddefnyddiau mewn sawl maes arall gan gynnwys meddygaeth, busnes a chyfrifiadureg.

Mae algebra elfennol yn wahanol i rifyddeg wrth ddefnyddio haniaethau, megis defnyddio llythrennau neu symbolau i sefyll am rifau sydd naill ai'n anhysbys neu'n cael cymryd llawer o werthoedd.^[2] Er enghraifft, yn ${\displaystyle x+2=5}$ y symbol ${\displaystyle x}$ yn anhysbys, ond gall defnyddio additive inverses ddatgelu ei werth: ${\displaystyle x=3}$ . Mae Algebra yn rhoi dulliau ar gyfer ysgrifennu fformwlâu a datrys hafaliadau sy'n llawer cliriach a haws na'r dull hŷn o ysgrifennu popeth allan mewn geiriau. Llwybr tarw, felly yw algebra!

Defnyddir y gair algebra hefyd mewn rhai ffyrdd arbenigol. Gelwir math arbennig o wrthrych mathemategol mewn algebra haniaethol yn "algebra", a defnyddir y gair, er enghraifft, yn yr ymadroddion algebra llinol a thopoleg algebraidd.

Gelwir mathemategydd sy'n gwneud ymchwil mewn algebra yn algebra-ydd.

Daw'r enw algebra Arabeg الجبر ("al-jabr"; sef "aduniad o rannau toredig") o deitl llyfr o'r enw Ilm al-jabr wa'l-muḳābala, gan y Persiad Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī, ac a sgwennwyd yn y 9g. Daeth y gair i'r Gymraeg trwy'r Saesneg, ac o'r Arabeg i'r Saesneg naill ai drwy Sbaeneg, Eidaleg, neu Ladin yr Oesoedd Canol.^[4] Enwau eraill arni yn Gymraeg yw 'algebreg' (1950au)^[5] a chyn hynny defnyddid y gair 'alsoddeg' (fe'i cofnodir gyntaf yn 1839),^[6] ac 'alsawdd' (1793).^[7]

Mynegiad mathemategol sydd yn cynnwys llythrennau yn ogystal â rhifau a symbolau mathemategol yw mynegiad algebraidd. Ceir tair math o lythyren i gynrychioli rhif: newidyn, anhysbysyn, a chysonyn. Yn ôl arfer René Descartes, defnyddir llythrennau o ddechrau'r wyddor i gynrychioli gwerthoedd hysbys, a llythrennau o ddiwedd yr wyddor (yn enwedig x, y a z) i gynrychioli gwerthoedd anhysbys. Os yw mynegiad yn cynnwys adio a thynnu yn unig, y niferoedd ynddo yw termau'r mynegiad. Term nad yw'n cynnwys newidynnau yw term cyson, a gwerth a luosir gan newidyn yw cyfernod term.

Dechreuodd algebra gyda chyfrifiannau tebyg i rai rhifyddeg, gyda llythrennau'n sefyll am rifau.^[2] Roedd hyn yn caniatáu prawf o briodweddau sy'n wir, waeth pa rifau sy'n gysylltiedig. Er enghraifft, yn yr hafaliad cwadratig

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,}$

gall ${\displaystyle a,b,c}$ fod yn unrhyw rifau (ac eithrio na all ${\displaystyle a}$ fod yn ${\displaystyle 0}$), a gellir defnyddio'r fformiwla gwadratig i ddod o hyd i werthoedd y maint anhysbys ${\displaystyle x}$ bodloni'r hafaliad, a hynny yn gyflym ac yn hawdd. Hynny yw, dod o hyd i holl atebion yr hafaliad.

Yn hanesyddol, ac yn yr addysgol, heddiw, mae astudio algebra yn dechrau gyda datrys hafaliadau, fel yr hafaliad cwadratig uchod. Yna, daw cwestiynau mwy cyffredinol, fel "a oes gan hafaliad ddatrysiad?", "Faint o atebion sydd gan yr hafaliad?", "Beth ellir ei ddweud am natur yr atebion?" Arweiniodd y cwestiynau hyn at ymestyn algebra i wrthrychau nad ydynt yn rhifiadol, megis amnewidiadau, fectorau, matricsau a polynomials. Yna tynnwyd priodweddau strwythurol y gwrthrychau anrhifiadol (non-numerical objects) hyn yn strwythurau algebraidd fel grwpiau, cylchoedd a meysydd.

Cyn 16g, rhannwyd mathemateg yn ddim ond dau is-faes, rhifyddeg a geometreg. Erbyn heddiw, gellir ystyried rhai dulliau, a ddatblygwyd lawer yn gynharach, fel algebra, mae ymddangosiad algebra (ac, yn fuan wedi hynny, calcwlws anfeidrol) yn is-feysydd mathemateg ac sy'n dyddio o'r 16ed neu'r 17g yn unig. O ail hanner y 19g ymlaen, ymddangosodd llawer o feysydd mathemateg newydd, y rhan fwyaf ohonynt yn defnyddio rhifyddeg a geometreg, ac roedd bron pob un ohonynt yn defnyddio algebra.

Heddiw, mae algebra wedi tyfu'n sylweddol ac mae'n cynnwys llawer o ganghennau mathemateg, fel y gwelir yn y Dosbarthiad Pwnc Mathemateg^[8] lle nad yw'r un o'r meysydd lefel gyntaf (cofnodion dau ddigid) yn cael eu galw'n algebra. Heddiw mae algebra yn cynnwys adran 08-Systemau algebraidd cyffredinol, 12 Theori maes a pholynomialau, 13 algebra cymudol, 15 algebra llinol ac aml-linell, 15 theori matrics, 16 Modrwyau cysylltiol ac algebras-cysylltiol, 17Modrwyau ac algebras anghysylltiol, 18 Theori categori; algebra homolegol, 19 K-theori a 20 theori grŵp. Defnyddir algebra yn helaeth hefyd mewn 11 damcaniaeth rhifau ac 14 geometreg algebraidd.

Mae gan rai isrannau o algebra y gair 'algebra' yn eu henw; mae algebra llinol yn un enghraifft. Nid yw eraill yn ei ddefnyddio ee theori grŵp, modrwy, a theori maes yn enghreifftiau. Dyma enghreifftiau:

• Algebra elfennol, y rhan o algebra a addysgir fel arfer mewn cyrsiau elfennol mewn mathemateg.
• Algebra haniaethol, lle mae strwythurau algebraidd fel grwpiau, modrwyau a meysydd yn cael eu diffinio a'u hymchwilio'n axiomatig.
• Algebra llinol, lle mae priodweddau penodol hafaliadau llinol, gofodau fector a matricsau'n cael eu hastudio.
• Mae algebra Boole, cangen o algebra.
• Algebra cymudol, astudiaeth o fodrwyau cymudol.
• Algebra cyfrifiadurol, gweithredu dulliau algebraidd fel algorithmau a rhaglenni cyfrifiadurol.
• Algebra homolegol, astudio strwythurau algebraidd sy'n sylfaenol i astudio gofodau topolegol.
• Algebra cyffredinol, lle mae priodweddau sy'n gyffredin i bob strwythur algebraidd yn cael eu hastudio.
• Damcaniaeth rhifau algebraidd, lle mae priodweddau rhifau yn cael eu hastudio o safbwynt algebraidd.
• Geometreg algebraidd, cangen o geometreg, yn ei ffurf gyntefig sy'n nodi cromliniau ac arwynebau fel datrysiadau hafaliadau polynomial.
• Cyfuniadeg algebraidd, lle defnyddir dulliau algebraidd i astudio cwestiynau cyfuniadol.
• Algebra perthynol.

Gelwir llawer o strwythurau mathemategol yn algebras :

Algebra elfennol yw'r ffurf fwyaf sylfaenol o algebra. Fe'i dysgir i fyfyrwyr y tybir nad oes ganddynt unrhyw wybodaeth o fathemateg y tu hwnt i egwyddorion sylfaenol rhifyddeg. Mewn rhifyddeg, dim ond rhifau a'u gweithrediadau rhifyddeg (megis +, -, ×, ÷). Mewn algebra, mae rhifau yn aml yn cael eu cynrychioli gan symbolau o'r enw newidynnau (fel a, n, x, y neu z). Mae hyn yn ddefnyddiol oherwydd:

• Mae'n caniatáu llunio deddfau rhifyddol cyffredinol (fel a + b = b + a i bob a a b ), ac felly dyma'r cam cyntaf i archwiliad systematig o briodweddau'r system rhifau real.
• Mae'n caniatáu cyfeirio at rifau "anhysbys", llunio hafaliadau ac astudio sut i ddatrys y rhain. (Er enghraifft, "Dewch o hyd i rif x fel bod 3 x + 1 = 10" neu "Dewch o hyd i rif x fel bod ax + b = c ". Mae'r cam hwn yn arwain at y casgliad nad natur y niferoedd penodol sy'n caniatáu inni ei ddatrys, ond natur y gweithrediadau dan sylw.)
• Mae'n caniatáu ffurfio perthnasoedd ffwythiantnol. (Er enghraifft, "Os ydych chi'n gwerthu x tocyn, yna'ch elw fydd 3x - 10 doler, neu f (x) = 3x - 10, lle mai f yw'r ffwythiant, ac x yw'r rhif y cymhwysir y ffwythiant iddo".)

Mae polynomial yn fynegiad sy'n swm nifer feidrol o dermau nad ydynt yn sero, gyda phob term yn cynnwys cynnyrch cysonyn a nifer gyfyngedig o newidynnau a godir i bwerau rhif cyfan. Er enghraifft, mae x² + 2x − 3 yn polynomial yn y newidyn sengl x. Mae mynegiad polynomial yn fynegiant y gellir ei ailysgrifennu fel polynomial, trwy ddefnyddio cymudoldeb (commutativity), cysylltedd a dosbarthiad adio a lluosi. Er enghraifft, mae (x - 1)(x + 3) yn fynegiant polynomial, nad yw'n polynomial. Mae ffwythiant polynomial yn ffwythiant sy'n cael ei diffinio gan bolynomial, neu, gan ffwythiant polynomial. Mae'r ddwy enghraifft flaenorol yn diffinio'r un swyddogaeth polynomial.

Awgrymwyd y dylid dysgu algebra elfennol i fyfyrwyr mor ifanc ag un-ar-ddeg oed,^[9] er ei bod yn fwy cyffredin yn ystod y blynyddoedd diwethaf i wersi cyhoeddus ddechrau pan fo'r plentyn yn 13 oed, yn yr Unol Daleithiau.^[10]

Mae algebra elfennol yn cwmpasu rhai o gysyniadau sylfaenol algebra sy'n o brif ganghennau mathemateg. Fel arfer, caiff ei addysgu i ddisgyblion ysgol uwchradd ac mae'n adeiladu ar eu dealltwriaeth o rifyddeg. Er bod rhifedd yn delio â rhifau penodol (e.e. +, −, × a ÷), mae algebra yn cyflwyno symiau heb werthoedd sefydlog, pendant, a elwir yn "newidynnau" (e.e. a, n, x, y neu z). Mae'r defnydd hwn o newidynnau yn golygu defnyddio nodiant algebraidd a dealltwriaeth o reolau cyffredinol y gweithredwyr a gyflwynir mewn rhifegedd. Yn wahanol i algebra haniaethol, nid yw algebra elfennol yn ymwneud â strwythurau algebraidd y tu allan i feysydd rhifau real a rhifau cymhlyg.^[11][12] Mae hyn y ddefnyddiol oherwydd:

• Mae'n caniatáu llunio fformiwlâu allan o gyfreithiau rhifyddol cyffredin (megis a + b = b + a i bob a a b), a felly hwn yw'r cam cyntaf wrth archwilio'n systematig nodweddion y system o rifau real.
• Mae'n caniatáu i'r mathemategydd gyfeirio at rifau "anhysbys", ffurfio hafaliadau ac astudio sut i ddatrys y rhain. Er enghraifft, "Dewch o hyd i rif x fel bod 3x + 1 = 10" neu i fentro'n fwy cymhleth drwy ofyn: "Dewch o hyd i rif x fel bod ax + b = c". Mae'r cam hwn yn arwain at y casgliad nad natur y rhifau penodol sy'n caniatáu inni ei ddatrys, ond y gweithrediadau dan sylw.
• Mae'n caniatáu ffurfio perthynas ffwythiannol (functional).

Cangen o fathemateg uwch yw algebra haniaethol neu fodern. Mae algebra haniaethol yn ymestyn y cysyniadau cyfarwydd a geir mewn algebra elfennol a rhifyddeg rhifau i gysyniadau mwy cyffredinol. Dyma'r cysyniadau sylfaenol rhestredig mewn algebra haniaethol.

Setiau: Yn hytrach nag ystyried y gwahanol fathau o rifau yn unig, mae algebra haniaethol yn delio â'r cysyniad mwy cyffredinol o setiau: casgliad o'r holl wrthrychau (a elwir yn elfennau) a ddewiswyd gan briodweddau penodol ar gyfer y set. Setiau yw pob casgliad o'r mathau cyfarwydd o rifau. Mae enghreifftiau eraill o setiau'n cynnwys set yr holl fatricsau dau wrth ddau, set yr holl bolynomialau ail radd (ax² + bx + c), set o holl fectorau dau ddimensiwn o blân. Mae theori set yn gangen o resymeg ac nid, yn dechnegol, yn gangen o algebra.

Gweithrediadau deuaidd: Tynnir y syniad o adio (+) i roi gweithrediad deuaidd, dyweder ∗. Mae'r syniad o weithrediad deuaidd yn ddiystyr heb y set y mae'r gweithrediad wedi'i diffinio arni. Ar gyfer dwy elfen a a b mewn set S, mae a ∗ b yn elfen arall yn y set; gelwir yr amod hwn yn 'ddiwedd'. Gall adio (+), tynnu (-), lluosi (×), a rhannu (÷) fod yn weithrediadau deuaidd wrth eu diffinio ar wahanol setiau, fel y mae adio a lluosi matricsau, fectorau a pholynomialau.

Elfennau unfathiant: Mae'r rhifau sero ac un yn cael eu tynnu i roi'r syniad o elfen unfathiant ar gyfer gweithrediad. Sero yw'r elfen unfathiant ar gyfer adio ac un yw'r elfen unfathiant ar gyfer lluosi.

Elfennau gwrthdro: Mae'r rhifau negyddol yn arwain at y cysyniad o elfennau gwrthdro. Yn ogystal, mae gwrthdro a wedi'i ysgrifennu −a, ac ar gyfer lluosi mae'r gwrthdro wedi'i ysgrifennu yn ⁻¹.

Cysylltedd: Mae adio cyfanrifau briodwedd o'r enw cysylltedd. Hynny yw, nid yw grwpio'r rhifau i'w hadio yn effeithio ar y swm. Er enghraifft: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4). Yn gyffredinol, daw hyn yn (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c). Rhennir y priodwedd hwn gan y mwyafrif o weithrediadau deuaidd, ond nid tynnu na rhannu na lluosi octoniaidd.

Cymudoldeb: Mae adio a lluosi rhifau real ill dau yn gymudol (commutative). Hynny yw, nid yw trefn y rhifau yn effeithio ar y canlyniad. Er enghraifft: 2 + 3 = 3 + 2. Yn gyffredinol, daw hyn yn a ∗ b = b ∗ a. Nid yw'r priodwedd hwn yn wsirl ar gyfer yr holl weithrediadau deuaidd. Er enghraifft, nid yw lluosi matrics a lluosi cwaternaidd yn gymudol.

Mae cyfuno'r cysyniadau uchod yn rhoi un o'r strwythurau pwysicaf mewn mathemateg: grŵp. Mae grŵp yn gyfuniad o set S ac un gweithrediad deuaidd ∗, a ddiffinnir mewn unrhyw ffordd.

Os yw grŵp hefyd yn gymudol - hynny yw, ar gyfer unrhyw ddau aelod a a b o S, mae a ∗ b yn union yr un fath â b ∗ a – yna dywedir bod y grŵp yn abelaidd.

Er enghraifft, mae'r set o gyfanrifau o dan weithrediad adio yn grŵp. Yn y grŵp hwn, yr elfen unfathiant yw 0 a gwrthdro unrhyw elfen a yw ei negyddu, –a. Bodlonir y gofyniad cysylltedd, oherwydd ar gyfer unrhyw gyfanrifau a, b ac c, (a + b) + c = a + (b + c)

Mae'r rhifau rhesymegol nad ydynt yn sero yn ffurfio grŵp sy'n cael ei luosi. Yma, yr elfen unfathiant yw 1, gan fod 1 × a = a × 1 = a ar gyfer unrhyw rif rhesymegol a.

Astudir theori grwpiau o fewn theori grŵp. Canlyniad mawr y theori hon yw dosbarthu grwpiau syml meidrol, a gyhoeddwyd yn bennaf rhwng tua 1955 a 1983, sy'n gwahanu'r grwpiau syml meidraidd i oddeutu 30 math sylfaenol.

Dim ond un gweithrediad ddeuaidd sydd gan grwpiau. Er mwyn egluro ymddygiad y gwahanol fathau o rifau yn llawn, mae angen astudio strwythurau gyda dau weithredwr. Y ddau bwysicaf yw modrwyau a meysydd.

Y gangen o fathemateg sy'n ymwneud â hafaliadau llinol, gofod fector a matricsau, yw algebra llinol. Er enghraifft, yma gellir astudio hafaliadau megis:

${\displaystyle a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=b,}$

a ffwythiannau llinol, fel:

${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto a_{1}x_{1}+\ldots +a_{n}x_{n},}$

a'u cynrychiolwyr drwy ofod fector a matricsau.^[13][14][15]

Gellir olrhain gwreiddiau algebra i'r Babiloniaid hynafol,^[16] a ddatblygodd system rifyddeg ddatblygedig yr oeddent yn gallu gwneud cyfrifiadau â hi mewn dull algorithmig. Datblygodd y Babiloniaid fformiwlâu i gyfrifo datrysiadau ar gyfer problemau a ddatrysir yn nodweddiadol heddiw trwy ddefnyddio hafaliadau llinol, hafaliadau cwadratig, a hafaliadau llinol amhenodol. Mewn cyferbyniad, roedd y mwyafrif o Eifftiaid yr oes, yn ogystal â mathemategwyr Groeg a Tsieineaidd yn y mileniwm 1af CC, fel arfer yn datrys hafaliadau o'r fath trwy ddulliau geometrig, fel y rhai a ddisgrifir ym Mhapyrus Mathemategol Rhind, Elfennau Euclid, a Naw Pennod ar Gelfyddyd Mathemateg. Darparodd gwaith geometrig y Groegiaid, a nodweddir yn yr Elfennau, y fframwaith ar gyfer cyffredinoli fformwlâu y tu hwnt i ddatrys problemau penodol i mewn i systemau mwy cyffredinol o nodi a datrys hafaliadau, er na fyddai hyn yn cael ei wireddu nes i fathemateg ddatblygu yn y gwledydd Islam yn yr Oesoedd Canol.^[17]

Erbyn dyddiau Plato, roedd mathemateg Gwlad Groeg wedi newid yn sylweddol. Creodd y Groegiaid algebra geometrig lle roedd termau'n cael eu cynrychioli gan ochrau gwrthrychau geometrig, llinellau fel arfer, a oedd â llythrennau'n gysylltiedig â nhw.^[2] Mathemategydd Groegaidd Alexandraidd oedd Diophantus (3g OC) ac awdur cyfres o lyfrau o'r enw Arithmetica. Mae'r testunau hyn yn delio â datrys hafaliadau algebraidd,^[18] ac wedi arwain, mewn theori rhif, at y syniad modern o hafaliad Diophantine.

Cafodd traddodiadau cynharach ddylanwad uniongyrchol ar y mathemategydd Persiaidd Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (tua 780-850). Ysgrifennodd lyfr a sefydlodd algebra fel disgyblaeth fathemategol sy'n annibynnol ar geometreg a rhifyddeg.^[19]

Parhaodd Hero o Alexandria a Diophantus ^[20] y traddodiadau Eifftaiddaidd a Babilon, er bod Arithmetica Diophantus a Brahmagupta yn ei lyfrBrāhmasphuṭasiddhānta ar lefel uwch.^[21]  Er enghraifft, disgrifiwyd yr ateb rhifyddeg cyflawn cyntaf a ysgrifennwyd mewn geiriau yn lle symbolau,^[22] gan gynnwys datrysiadau sero a rhifau negyddol, i hafaliadau cwadratig gan Brahmagupta yn ei lyfr Brahmasphutasiddhanta, a gyhoeddwyd yn 628 OC.^[23]

Yn ddiweddarach, datblygodd mathemategwyr Persiaidd ac Arabaidd ddulliau algebraidd i raddau llawer uwch o soffistigedigrwydd. Er bod Diophantus a'r Babiloniaid yn defnyddio dulliau ad hoc arbennig yn bennaf i ddatrys hafaliadau, roedd cyfraniad Al-Khwarizmi yn sylfaenol. Datrysodd hafaliadau llinol a chwadratig heb symbolaeth algebraidd, rhifau negyddol na sero, felly roedd yn rhaid iddo wahaniaethu sawl math o hafaliad.^[24]

Credir bod mathemategydd Persiaidd arall, Omar Khayyam, wedi nodi sylfeini geometreg algebraidd ac wedi dod o hyd i ddatrysiad geometrig cyffredinol yr hafaliad ciwbig. Yn 1070 gosododd egwyddorion algebra, yn rhan o gorff mathemateg Persia - a drosglwyddwyd i Ewrop flynyddoedd yn ddiweddarach.^[25] Daeth mathemategydd Persiaidd arall, Sharaf al-Dīn al-Tūsī, hefyd o hyd i atebion algebraidd a rhifiadol i amrywiol achosion o hafaliadau ciwbig. Datblygodd hefyd y cysyniad o ffwythiant.^[26] Datrysodd y mathemategwyr Indiaidd Mahavira a Bhaskara II, y mathemategydd Persiaidd Al-Karaji, ^[27] a'r mathemategydd Tsieineaidd Zhu Shijie, amrywiol achosion o hafaliadau polynomaidd ciwbig, cwartig, cwintig ac uwch-drefn gan ddefnyddio dulliau rhifiadol. Yn y 13g, mae datrysiad hafaliad ciwbig gan Fibonacci yn cynrychioli dechrau adfywiad o fewn algebra Ewropeaidd. Cymerodd Abū al-Ḥasan ibn ʿAlī al-Qalaṣādī (1412–1486) "y camau cyntaf tuag at gyflwyno symbolaeth algebraidd". Cyfrifodd hefyd Σn², Σn³ a defnyddiodd y dull o frasamcanu olynol i bennu ail israddau.^[28]

Roedd gwaith François Viète ar yr hyn a elwir yn 'algebra newydd' ar ddiwedd yr 16g yn gam pwysig tuag at algebra modern. Yn 1637, cyhoeddodd René Descartes La Géométrie, gan ddyfeisio geometreg ddadansoddol a chyflwyno nodiant algebraidd modern. Digwyddiad allweddol arall yn natblygiad pellach algebra oedd cyfrifiant cyffredinol yr hafaliadau ciwbig a chwartig, a ddatblygwyd yng nghanol yr 16g. Datblygwyd y syniad o determinant gan y mathemategydd Siapaneaidd Seki Kōwa yn yr 17g, ac yna Gottfried Leibniz ddeng mlynedd yn ddiweddarach, at ddibenion datrys systemau hafaliadau llinol cydamserol gan ddefnyddio matricsau. Gwnaeth Gabriel Cramer ychydig o waith ar fatricsau a phenderfynyddion yn y 18g. Astudiwyd trynewidion (permutations) gan Joseph-Louis Lagrange yn ei bapur 1770 " Réflexions sur la résolution algébrique des équations " a oedd yn trafod atebion i hafaliadau algebraidd, lle cyflwynodd benderfyniadau Lagrange. Paolo Ruffini oedd y person cyntaf i ddatblygu theori grwpiau o trynewidion, ac fel ei ragflaenwyr, hefyd yng nghyd-destun datrys hafaliadau algebraidd.

Datblygwyd algebra haniaethol yn y 19g, yn deillio o'r diddordeb mewn datrys hafaliadau, gan ganolbwyntio i ddechrau ar yr hyn a elwir bellach yn 'theori Galois', ac ar faterion rhifau ''constructible''. George Peacock oedd sylfaenydd y meddwl axiomatig mewn rhifyddeg ac algebra. Darganfu Augustus De Morgan algebra perthynas yn ei Faes Llafur System Rhesymeg Arfaethedig. Datblygodd Josiah Willard Gibbs algebra o fectorau mewn gofod tri dimensiwn, a datblygodd Arthur Cayley algebra o fatricsau.^[29]

• Allenby, R. B. J. T. (1991). Rings, Fields and Groups. ISBN 0-340-54440-6.
• Asimov, Isaac (1961). Realm of Algebra. Houghton Mifflin.
• Euler, Leonhard (November 2005). Elements of Algebra. ISBN 978-1-899618-73-6. Archifwyd o'r gwreiddiol ar 2011-04-13. Cyrchwyd 2021-11-16.
• Herstein, I. N. (1975). Topics in Algebra. ISBN 0-471-02371-X.
• Hill, Donald R. (1994). Islamic Science and Engineering. Edinburgh University Press.
• Joseph, George Gheverghese (2000). The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics. Penguin Books.
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (2005). "History Topics: Algebra Index". University of St Andrews. Archifwyd o'r gwreiddiol ar 2016-03-03. Cyrchwyd 2011-12-10.
• Sardar, Ziauddin; Ravetz, Jerry; Loon, Borin Van (1999). Introducing Mathematics. Totem Books.

• Academi Khan: Fideos cysyniadol ac enghreifftiau wedi'u gweithio
• Academi Khan: Gwreiddiau Algebra, micro ddarlithoedd ar-lein am ddim
• Algebrarules.com: Adnodd ffynhonnell agored ar gyfer dysgu hanfodion Algebra
• 4000 Mlynedd o Algebra, darlith gan Robin Wilson, yng Ngholeg Gresham, Hydref 17, 2007 (ar gael i'w lawrlwytho MP3 ac MP4, yn ogystal â ffeil testun).

• Hafaliad cwadratig
• Ffwythiant ciwbig