Schrödingerova jednačina

Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori). Ako se pravilno ne potkrijepe pouzdanim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti izbrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

Dio serije članaka o
Kvantnoj mehanici
${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle }$ Schrödingerova jednačina
Uvod Rječnik Historija Udžbenici
Pozadina Klasična mehanika Stara kvantna teorija Bra–ket notacija Hamiltonian Interferencija
Osnove Bornovo pravilo Comptonova talasna dužina Koherentnost Dekoherentnost Komplementarnost Energetski nivo Sprezanje Hamiltonian Princip neodređenosti Osnovno stanje Amplituda vjerovatnoće Raspodjela vjerovatnoće Interferencija Mjerenje Slabo mjerenje Nelokalnost Posmatrano Operator Kvant Kvantna fluktuacija Kvantni broj Kvantni šum Kvantno stanje Kvantni sistem Kvantna teleportacija Qubit Spin Superpozicija Kvantno vakuumsko stanje Simetrija (Spontani) prekid simetrije Vakuumsko stanje Širenje talasa Talasna funkcija Kolaps talasne funkcije Dualnost talas–čestica Talas materije Pravougaona potencijalna barijera Fockov prostor
Efekti Zeemanov efekt Starkov efekt Aharonov–Bohmov efekt Landauova kvantizacija Kvantni Hallov efekt Kvantni Zenonov efekt Tunelski efekt Fotoelektrični efekt Casimirov efekt
Eksperimenti Bellova nejednakost Davisson–Germer Dvostruki prorez Elitzur–Vaidman Franck–Hertz Leggett–Gargova nejednakost Mach–Zehnder Popper Kvantna gumica (odgođeni izbor) Schrödingerova mačka Stern–Gerlach Wheelerov odgođeni izbor
Formulacije Pregled Dinamične slike (Heisenberg; Interakcija; Schrödinger) Matrica Faza-prostor Zbir-preko-historija (integral-putanje)
Jednačine Dirac Hellmann–Feynman Klein–Gordon Lippmann–Schwinger Pauli Rydberg Schrödinger Funkcionalna integracija
Interpretacije Pregled Bayesanizam Dosljedne historije Copenhagen de Broglie–Bohm Ansambl Skrivena varijabla Mnogi svjetovi Objektivni kolaps Kvantna logika Relacijska Transakcijska
Napredne teme Hipoteza o termalizaciji vlastitog stanja Kvantno žarenje Kvantni haos Kvantni računar Kvantna geometrija Matrica gustoće Kvantna teorija polja Frakcijska kvantna mehanika Kvantna gravitacija Kvantna informacijska nauka Kvantno mašinsko učenje Teorija perturbacije (kvantna mehanika) Relativistička kvantna mehanika Teorija raspršenja Teorija vakuumskog superfluida Parametarska fluorescencija Kvantna statistička mehanika
Naučnici Aharonov Bell Blackett Bloch Bohm Bohr Born Bose de Broglie Candlin Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordan Kramers Pauli Lamb Landau Laue Moseley Millikan Onnes Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Sommerfeld von Neumann Weyl Wien Wigner Zeeman Zeilinger Goudsmit Uhlenbeck Yang
Kategorije Kvantna mehanika
p r u

Moderna fizika
${\displaystyle {\hat {H}}|\psi _{n}(t)\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi _{n}(t)\rangle }$ ${\displaystyle {\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {{\partial }^{2}{\phi }_{n}}{{\partial t}^{2}}}-{{\nabla }^{2}{\phi }_{n}}+{\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)}^{2}{\phi }_{n}=0}$ Dinamika kolektora: Schrödingerova i Klein–Gordonova jednačina
Osnivači Max Planck Albert Einstein Niels Bohr Max Born Werner Heisenberg Erwin Schrödinger Pascual Jordan Wolfgang Pauli Paul Dirac Ernest Rutherford Louis de Broglie Satyendra Nath Bose
Koncepti Topologija Prostor Vrijeme Energija Materija Rad Slučajnost Informacija Entropija Um Svjetlost Čestica Talas
Grane Primijenjena Eksperimentalna Teorijska Matematička Filozofija fizike Kvantna mehanika Kvantna teorija polja Kvantna informacija Kvantni računar Elektromagnetizam Slaba interakcija Elektroslaba interakcija Jaka interakcija Atomska Elementarne čestice Nuklearna Atomska, molekularna i optička Kondenzovana materija Statistička Kompleksni sistemi Nelinearna dinamika Biofizika Neurofizika Fizika plazme Posebna relativnost Opća relativnost Astrofizika Kosmologija Teorija gravitacije Kvantna gravitacija Teorija svega
Naučnici Witten Röntgen Becquerel Lorentz Planck Curie Wien Skłodowska-Curie Sommerfeld Rutherford Soddy Onnes Einstein Wilczek Born Weyl Bohr Kramers Schrödinger de Broglie Laue Bose Compton Pauli Walton Fermi van der Waals Heisenberg Dyson Zeeman Moseley Hilbert Gödel Jordan Dirac Wigner Hawking P. W. Anderson Lemaître Thomson Poincaré Wheeler Penrose Millikan Nambu von Neumann Higgs Hahn Feynman Yang Lee Lenard Salam 't Hooft Veltman Bell Gell-Mann J. J. Thomson Raman Bragg Bardeen Shockley Chadwick Lawrence Zeilinger Goudsmit Uhlenbeck
p r u

Schrödingerova jednadžba predstavlja jedan od temelja kvantne mehanike. Ova jednačina prikazuje prostorno i vremensko ponašanje čestice u okviru kvantne mehanike. U svojoj prvobitnoj formulaciji, bez bra-ket notacije koju je uveo P. A. M. Dirac, jednačina glasi:

${\displaystyle -{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi (r,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (r,t)+V(r,t)\psi (r)}$

gdje je:

${\displaystyle \hbar }$ reducirana Planckova konstanta

${\displaystyle \ i\ }$ imaginarna jedinica, ${\displaystyle i={\sqrt {-}}1}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}}$ parcijalna derivacija po vremenu

${\displaystyle \psi \ (r,t)\ }$ valna funkcija

${\displaystyle \nabla ^{2}}$ nabla operator

${\displaystyle \ V(r,t)\ }$ potencijalna energija

Ova jednačina na određeni je način postulirana (1925. godine), slično kao i Newtonovi zakoni kretanja. Schrödingerova jednačina u okviru kvantne mehanike ima ulogu koju u klasičnoj mehanici ima drugi Newtonov zakon kretanja. Iako se do ove jednačine ne može doći egzaktnim matematičkim izvodom, ona je plauzibilna sa drugim poznatim fizikalnim činjenicama i očekivanim rezultatima:

- U slučaju slobodne čestice (potencijalna energija je nula), dobija se talasno rješenje, što je u skladu sa pretpostavkom o talasnim svojstvima čestica, koju je postavio Louis de Broglie.

- Za makroskopske objekte mogu se zanemariti kvantni efekti, pa uz ${\displaystyle \hbar =0}$ jednačina prelazi u Hamilton-Jacobijevu jednačinu klasične mehanike.

U mnogim slučajevima razmatra se stanje koje je stacionarno u vremenu, pa jednačina izgleda kao:

${\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(r)\right]\psi (r)=E\psi (r),}$

ili:

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi +(V(r)-E)\psi =0,}$

Posmatrano sa matematičkog stajališta, talasna funkcija, koja je rješenje diferencijalne jednačine drugog reda Sturm-Liouville tipa, mora biti kontinuirana i mora imati kontinuiranu derivaciju drugog reda. S obzirom da su električni naboj i struja definirani pomoću talasne funkcije, naboj i struja također su kontinuirani. Osim matematičkih uslova, talasna funkcija, kao rješenje Schrodingerove jednačine, mora zadovoljavati i neke fizikalne uslove. Očito je da talasna funkcija mora biti jednoznačna i konačna u cijelom prostoru. Rubni uvjeti na gore navedenu jednačinu, također su fizikalni uslovi. Tako za slučaj vezanog stanja, u kojemu je ${\displaystyle \ V>E}$, talasna funkcija na velikim udaljenostima (${\displaystyle \ r\rightarrow \infty }$) mora težiti prema nuli.

U tom slučaju za svaku vremenski neovisnu Hamiltonovu funkciju ${\displaystyle \ H\ }$ postoji skup vlastitih funkcija (eigenfunctions) ${\displaystyle \psi _{n}\ }$ i odgovarajućih realnih vrijednosti ${\displaystyle \ E_{n}\ }$ (vlastite vrijednosti, eigenvalues), za koje vrijedi:

${\displaystyle \ H\psi _{n}=E_{n}\psi _{n}}$

Ovo je svojstvo rješenja samo za najjednostavnije slučajeve, npr. jednodimenzionalni problemi. Često se pojavljuje slučaj da jedna vlastita vrijednost tj. jednom stanju energije odgovara nekoliko različitih talasnih funkcija. Takav sistem naziva se degeneriranim. Stoga u gornjim izrazima ineks n može zapravo predstavljati nekoliko indeksa (kvantnih brojeva).

Kada postoje određeni ${\displaystyle \ E_{n}\ ,\psi _{n}\ }$, rješenje vremenski zavisne Schrodingerove jednčine je:

${\displaystyle \psi _{n}(r,t)=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} E_{n}t/\hbar }\psi _{n}(r)}$

S obzirom da je Schrodingerova jednačina linearna, vrijedi princip superpozicije rješenja, ta se generalno rješenje može prikazati kao linearna kombinacija:

${\displaystyle \psi (r,t)=\sum _{n}C_{n}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} E_{n}t/\hbar }\psi _{n}(r)}$

Da bi ovo rješenje zadovoljavalo Schrodingerovu jednačinu u nedegeneriranom slučaju, talasne funkcije moraju biti ortogonalne, a odabrano je i da budu normirane na 1, tj. vrijedi:

${\displaystyle \int \psi _{n}^{*}(r)\psi _{m}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\delta _{ij}}$

gdje je:

${\displaystyle \delta _{ij}\ }$ - Kronecker delta simbol, ${\displaystyle \delta _{ij}=1\ }$ za ${\displaystyle i=j\ }$, inače ${\displaystyle \delta _{ij}=0\ }$

${\displaystyle \psi _{n}^{*}(r)\ }$ - kompleksno konjugirana funkcija od ${\displaystyle \psi _{n}(r)\ }$

Sama Schrodingerova jednačina ne daje tačno fizikalno značenje talasne funkcije:${\displaystyle \psi (r)\ }$. Do interpretacije značenja talasne funkcije može se doći razmotranjem jednačine kontinuiteta iz klasične fizike:

${\displaystyle {\partial {\rho (r,t)} \over \partial t}+\nabla \cdot j=0}$

gdje je:

${\displaystyle \rho (r,t)\ }$ - gustoća naboja ovisna o položaju i vremenu

${\displaystyle \ j\ }$ - gustoća struje

${\displaystyle \nabla }$ - operator divergencije

Ako se Schrodingerova jednačina pomnoži sa ${\displaystyle \psi _{n}^{*}(r)}$, a kompleksno konjugirana Schrodingerova jednačina pomnoži sa ${\displaystyle \psi _{n}(r)\ }$, te dobivene izrazi oduzmu jedan od drugog, dobija se izraz:

${\displaystyle {\partial {\psi ^{*}\psi } \over \partial t}+{i\hbar \over {2m}}\nabla \cdot (\psi \nabla \psi ^{*}-\psi ^{*}\nabla \psi )=0}$

Ako se ova jednačina uporedi sa jednačinom kontinuiteta, slijede izrazi za gustoću naboja i gustoću struje kao:

${\displaystyle \rho (r,t)\ =e\psi ^{*}\psi }$

${\displaystyle j={i\hbar e \over {2m}}(\psi \nabla \psi ^{*}-\psi ^{*}\nabla \psi )}$

Iako jednačina kontinuiteta vrijedi u klasičnoj i kvantnoj mehanici, postoji fundamentalna razlika u interpretaciji. U klasičnoj fizici gustoća ${\displaystyle \rho (r,t)\ }$ se tretira kao broj čestica (diskretni broj), a struja ${\displaystyle \ j\ }$ je tok čestica (opet diskretni broj). U kvantnoj mehanici jednačina kontinuiteta može se odnositi na ponašanje samo jedne čestice. U kvantnoj mehanici impuls i položaj čestice ne mogu se istovremeno proizvoljno tačno odrediti, već je njihovo određivanje ograničeno Heisenbergovim principom neodređenosti. Stoga se i interpretacija ${\displaystyle \rho (r,t)\ }$ i ${\displaystyle \ j\ }$ u jednačini kontinuiteta mora redefinisati.

Danas je pretežito prihvaćena statistička (probabilistička, vjerovatnoćna) interpretacija Maxa Borna. Prema takvoj interpretaciji, produkt ${\displaystyle \ f(r)\ =\psi ^{*}\psi }$ treba shvatiti kao gustoću vjerovatnoće da se čestica nalazi u tački prostora definiranoj sa ${\displaystyle \ r\ }$. To znači da kvantna mehanika čak i pri opisu samo jedne čestice daje statističko ponašanje.

Pri tome, sama talasna funkcija ${\displaystyle \psi _{n}(r)\ }$, koja može biti i kompleksna veličina, nije mjerljiva fizikalna veličina.

Prema statističkoj interpretaciji, vjerovatnoća da se čestica nalazi u infinitezimalnom volumnom elementu ${\displaystyle \ d^{3}x\ }$ jednaka je ${\displaystyle \psi ^{*}\psi d^{3}x\ }$. Ovaj izraz može se integrirati preko cijelog prostora, a tada zbog uslova ortogonalnosti i normiranosti takva integral daje vrijednost 1. Dakle, čestica se sigurno nalazi negdje u tom prostoru.

Schrodingerova jednačina ima mnoga bitna ograničenja, ova jednačina ne može se primjenit na opis fotona. Također, nije uzet u obzir spin čestica, koji je važna fizikalna osobina nužno za opis mnogih fizikalnih pojava.