Fractal

Un fractal ye un oxetu xeométricu que la so estructura básica, estazada o aparentemente irregular, repitir a distintes escales.^[1] El términu foi propuestu pol matemáticu Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del llatín fractus, que significa quebráu o quebráu. Munches estructures naturales son de tipu fractal. La propiedá matemática clave d'un oxetu genuinamente fractal ye que la so dimensión métrica fractal ye un númberu non enteru.

Magar el términu "fractal" ye recién, los oxetos güei denominaos fractales yeren bien conocíos en matemátiques dende principios del sieglu XX. Les maneres más comunes de determinar lo que güei denominamos dimensión fractal fueron establecíes a principios del sieglu XX nel senu de la teoría de la midida.

La definición de fractal desenvuelta nos años 1970 dio unidá a una serie d'exemplos, dalgunos de los cualos remontábense a un sieglu tras. A un oxetu xeométricu fractal atribúyense-y les siguientes carauterístiques:^[2]

• Ye demasiáu irregular pa ser descritu en términos xeométricos tradicionales.
• Ye autosimilar, la so forma ye fecha de copies más pequeñes de la mesma figura.

Les copies son similares al tou: mesma forma pero distintu tamañu. Exemplos de autosimilaridad

• Fractales naturales son oxetos naturales que pueden representase con bien bonu aproximamientu por aciu fractales matemáticos con autosimilaridad estadística. Los fractales atopaos na naturaleza estremar de los fractales matemáticos en que los naturales son averaos o estadísticos y el so autosimilaridad estiéndese solo a un rangu d'escales (por casu, a escala cercana a l'atómica la so estructura difier de la estructura macroscópica).
• Conxuntu de Mandelbrot ye un fractal autosimilar, xeneráu pol conxuntu de puntos estables d'órbita acutada so ciertu tresformamientu iterativu non llinial.
• Paisaxes fractales, esti tipu de fractales xeneraos computacionalmente pueden producir paisaxes realistes convincentes.
• Fractales de pintures, utilizar pa realizar el procesu de decalcomanía.

• El so dimensión de Hausdorff-Besicovitch ye puramente mayor que la so dimensión topolóxica.
• Definir por aciu un simple algoritmu recursivo.

Nun basta con una sola d'estes carauterístiques pa definir un fractal. Por casu, la recta real nun se considera un fractal, pos a pesar de ser un oxetu autosimilar escarez del restu de carauterístiques esixíes.

Un fractal natural ye un elementu de la naturaleza que puede ser descritu por aciu la xeometría fractal. Les nubes, los montes, el sistema circulatoriu, les llinies costeres^[3] o los falopos de nieve son fractales naturales. Esta representación ye averada, pos les propiedaes atribuyíes a los oxetos fractales ideales, como'l detalle infinitu, tienen llendes nel mundu natural.

P'atopar los primeros exemplos de fractales tenemos de remontanos a finales del sieglu XIX: en 1872 apaeció la función de Weierstrass, que'l so grafo anguaño consideraríamos fractal, como exemplu de función continua pero non diferenciable en nengún puntu.

Darréu apaecieron exemplos con propiedaes similares pero una definición más xeométrica. Dichos exemplos podíen construyise partiendo d'una figura inicial (grana), a la que s'aplicaben una serie de construcciones xeométriques sencielles. La serie de figures llograes averar a una figura llende que correspondía a lo que güei llamamos conxuntu fractal. Asina, en 1904, Helge von Koch definió una curva con propiedaes similares a la de Weierstrass: el falopu de nieve de Koch. En 1915, Waclaw Sierpinski construyó'l so triángulu y, un añu dempués, el so alfombra.

Construcción de l'alfombra de Sierpinski:
Pasu 1 (grana)	Pasu 2	Pasu 3	Pasu 4	Pasu 5

Estos conxuntos amosaben les llimitaciones del analís clásicu, pero yeren vistos como oxetos artificiales, una "galería de bisarmes", como los denominó Poincaré. Pocos matemáticos vieron la necesidá d'estudiar estos oxetos en sí mesmos.^[4]

En 1919 surde una ferramienta básico na descripción y midida d'estos conxuntos: la dimensión de Hausdorff-Besicovitch.

Estos conxuntos, frutu de los trabayos de Pierre Fatou y Gaston Julia nos años 1920, surden como resultáu de l'aplicación repitida de funciones holomorfas ${\displaystyle z\mapsto f(z)\mapsto f(f(z))\mapsto \ldots }$.

Analicemos el casu particular de funciones polinómiques de grau mayor qu'unu. Al aplicar socesives vegaes una función polinómica ye bien posible que'l resultáu tienda a ${\displaystyle \infty }$. Al conxuntu de valores de ${\displaystyle z\in C}$ que nun escapen al infinitu por aciu esta operación denominar conxuntu de Julia relleno, y a la so frontera, a cencielles conxuntu de Julia.

Estos conxuntos representar por aciu un algoritmu de tiempu d'escape, en que cada pixel se colorea según el númberu de iteraciones necesaries pa escapar. Suel usase un color especial, de cutiu el negru, pa representar los puntos que nun escaparon tres un númberu grande y prefijado de iteraciones.

Exemplos de conxuntos de Julia pa ${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}$

• 
  En negru, conxuntu de Julia relleno acomuñáu a f_c, c=1-φ, onde φ ye'l númberu áureo
• 
  Conxuntu de Julia relleno acomuñáu a f_c, c=(φ−2)+(φ−1)i =-0.382+0.618i
• 
  Conxuntu de Julia relleno acomuñáu a f_c, c=-0.835-0.2321i

La familia de conxuntos de Julia ${\displaystyle \{f_{c}\}}$, acomuñaes a la reiteración de funciones de la forma ${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}$ presenta conxuntos d'una variedá sorprendente.

Dicha familia va tener especial relevancia al quedar parametrizada nun mapa de fractales, popularizáu nos años 1980, llamáu conxuntu de Mandelbrot. Esti conxuntu M representa un mapa en que cada pixel, correspondiente a un valor del parámetru ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$, se colorea de cuenta que reflexe una propiedá básica del conxuntu de Julia acomuñáu a ${\displaystyle f_{c}}$. En concretu, ${\displaystyle c\in M}$ si'l conxuntu de Julia acomuñáu a ${\displaystyle f_{c}}$ ye conexu.

Iterando funciones de forma alternativa xenérense los fractales trémboles.

De siguío amuésase una serie de fractales de les distintes potencies de Z = Z^m + C , según el métodu de Mandelbrot. Tolos puntos del planu complexu C=(Cx,iCy) son iterados por adición a la función correspondiente. Toles iteraciones parten de los puntos x=0 iy=0. Cuando la iteración converxe se colorea de mariellu pálido. La diverxencia a infinitu ye coloriada por aciu un patrón cromáticu dende'l negru al azul. El fractal deriváu de la función Z = Z² + C denominar conxuntu de Mandelbrot.

Exemplos de fractales del tipu Mandelbrot Z = Z^m + C

• 
  Z = Z² + CConxuntu de Mandelbrot
• 
  Z = Z³ + C
• 
  Z = Z⁴ + C
• 
  Z = Z⁵ + C
• 
  Z = Z⁶ + C
• 
  Z = Z⁷ + C
• 
  Z = Z⁸ + C
• 
  Z = Z⁹ + C
• 
  Z = Z¹⁰ + C
• 
  Z = Z¹¹ + C
• 
  Z = Z¹² + C
• 
  Z = Z²⁰ + C

Exemplos de fractales del tipu Mandelbrot Z = Z^m + 1/C

• 
  Z=Z² + 1/C
• 
  Z=Z³ + 1/C
• 
  Z=Z⁴ + 1/C
• 
  Z=Z⁵ + 1/C
• 
  Z=Z⁶ + 1/C
• 
  Z=Z⁷ + 1/C

Más fractales según el métodu de Mandelbrot.

• 
  Z = Z²+C⁶ - 1
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Cos(Z)+ 1/C
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Exp[(Z²+Z)/Sqr(C³)]
  Zo = (1,1i)
• 
  Z = Exp[(Z²-1.00001*Z)/Sqr(C³)]
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Exp[(Z²- 1.00001*Z)/C³]
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Ensin(Z*C²)
  Zo = (1,0i)
• 
  Z = Cos(Z/C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Cos(Z*C^3)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Exp(Z^3/C^3)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Exp(C^3/Z^3)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Exp(Z/C^4)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² + C² / (Z²+C) + C
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² + C² / (C⁴ + 0.1)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² + C² / (C⁴ - 0.25)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = SinH(Z / C )
  Zo = (0,1i)
• 
  Z = SinH(Z) + 1/C
  Zo = (0.90, -0.05i)
• 
  Z = SinH(Z) + 1/C²
  Zo = (1, 0.1i)
• 
  Z = Exp[Z² / ( C⁵ + C )]
  Zo = (0,0i)

De siguío amuésase una serie de fractales de les distintes potencies de Z = Z^m + C, según el métodu de Julia, pol matemáticu francés Gaston Julia.

Tolos puntos del planu complexu Z=(x,iy) son iterados na función correspondiente. A toles iteraciones añader una constante arbitraria (Cx,iCy) de cuenta que la eleición de la constante "grana" determina de forma unívoca la forma y el color del fractal, una vegada foi definíu'l patrón cromáticu. Nos exemplos amosaos de siguío escoyóse una constante tal que solo produz diverxencia, y haise coloriáu col algoritmu de la velocidá d'escape.

Exemplos de fractales del tipu Julia Z = Z^m + C

• 
  Z = Z² + C Cx=0.279 Cy=0.000
• 
  Z = Z³ + C Cx=0.400 Cy=0.000
• 
  Z = Z⁴ + C Cx=0.484 Cy=0.000
• 
  Z = Z⁵ + C Cx=0.544 Cy=0.000
• 
  Z = Z⁶ + C Cx=0.590 Cy=0.000
• 
  Z = Z⁷ + C Cx=0.626 Cy=0.000

Exemplos de fractales de tipo Julia, de la función esponencial: Z = Z^m + C

• 
  Z = Exp(Z) + C
  Cx= -0.65 Cy=0.00
• 
  Z = Exp(Z³) + C
  Cx= -0.59 Cy=0.00
• 
  Z = Exp(Z³) + C
  Cx= -0.621 Cy=0.00
  Zoom x9
• 
  Z = Z * Exp(Z) + C
  Cx= 0.04 Cy=0.00
• 
  Z = Z² * Exp(Z) + C
  Cx= 0.21 Cy=0.00
• 
  Z = Z³ * Exp(Z) + C
  Cx= 0.33 Cy=0.00
• 
  Z = Z⁴ * Exp(Z) + C
  Cx= 0.41 Cy=0.00

Exemplos de fractales del tipu Julia de funciones complexes.

• 
  Z = Sqr[SinH(Z²)] + C
  Cx= 0.065 Cy=0.122
• 
  Z = [(Z²+Z) / LN(Z)] + C
  Cx= 0.268 Cy=0.060

El métodu de Newton intenta atopar por iteración los raigaños de la función F(Z)-1 = 0.

Se itera la función F(Z) con cada puntu del planu complexu (x + iy), siendo Z=(x1 + iy1) hasta la converxencia de x1 i y1, según la siguiente fórmula: Z_n+1 = Z_n - F(Z_n) / F'(Z_n), onde F'(Z) ye la derivada. Haise coloriáu col algoritmu de la velocidá de converxencia, conceptualmente idénticu al de la velocidá d'escape, y presenta semeyances col métodu de Julia.

Exemplos de fractales de tipu Newton, de delles funciones de variable complexa:

• 
  Z⁴-1 = 0
  Z_n+1 = [(3 * Z_n⁴ + 1) / (4 * Z_n³)]
• 
  Z⁶ + Z³ - 1 = 0
• 
  ENSIN(Z)- 1 = 0
• 
  COSH(Z)- 1 = 0

Según B. Mandelbrot, un oxetu ye autosimilar o autosemejante si los sos partes tienen la mesma forma o estructura que'l tou, anque pueden presentase a distinta escala y pueden tar llixeramente deformadas.^[5]

Los fractales pueden presentar tres tipos d'autosimilitud:

• Autosimilitud exacta. este ye'l tipu más restrictivu de autosimilitud: esixe que'l fractal paeza idénticu a distintes escales. De cutiu atópase en fractales definíos por sistemes de funciones iteradas (IFS).

• Cuasiautosimilitud: esixe que'l fractal paeza aproximao idénticu a distintes escales. Los fractales d'esti tipu contienen copies menores y aburuyaes de sigo mesmos. Matemáticamente D. Sullivan definió'l conceutu de conxuntu cuasiauto-similar a partir del conceutu de cuasi-isometría. Los fractales definíos por rellación de recurrencia son de normal d'esti tipu.
• Autosimilitud estadística. Ye'l tipu más débil de autosimilitud: esíxese que'l fractal tenga midíes numbériques o estadístiques que se caltengan col cambéu d'escala. Los fractales aleatorios son exemplos de fractales d'esti tipu.

Ente los fractales podemos atopar exemplos como curves qu'enllenen tol planu. Nesi casu, la dimensión topolóxica de la curva, que ye unu, nun nos informa sobre la forma en qu'esta ocupa l'espaciu ambiente. De manera xeneral, podríamos preguntar cómo densamente un conxuntu ocupa l'espaciu métricu que lu contién. Los númberos que nos informen oxetivamente d'esti tipu de cuestiones son:

• La dimensión fractal. Les fórmules que la definen tienen que ver col recuentu de les boles necesaries p'anubrir el conxuntu o col de caxes d'una cuadrícula que contienen parte del conxuntu, cuando les dimensiones d'unes y otres tienden a cero. Podemos midir la dimensión fractal d'oxetos reales: llinies de la mariña (1.2), nubes, árboles, etc, Con estes midíes podemos comparar oxetos del mundu real con fractales xeneraos por algoritmos matemáticos.

• La dimensión de Hausdorff-Besicovitch. Tien una definición más complexa que la de dimensión fractal. La so definición nun suel usase pa comparar conxuntos del mundu real.

Podemos destacar trés téuniques comunes pa xenerar fractales:

• Sistemes de funciones iteradas (IFS). Unos conxuntos reemplácense recursivamente pola so imaxe so un sistema d'aplicaciones: el conxuntu de Cantor, l'alfombra de Sierpinski, el triángulu de Sierpinski, la curva de Peano, la curva del dragón, el falopu de nieve de Koch o la Esponxa de Menger, son dellos exemplos.
• Fractales d'algoritmos d'Escape, definíos por una rellación de recurrencia en cada puntu del espaciu (por casu, el planu complexu): el conxuntu de Mandelbrot, conxuntu de Julia, y el fractal de Lyapunov.
• Fractales aleatorios, xeneraos por procesos estocásticos, non deterministes: el movimientu browniano,el vuelu de Lévy, los paisaxes fractales o los árboles brownianos. Estos postreros son producíos por procesos d'agregamientu per espardimientu llindada..

El conceutu de fractal nun dispón nel añu 2008 d'una definición matemática precisa y d'aceptación xeneral. Intentos parciales de dar una definición fueron realizaos por:

• B. Mandelbrot, qu'en 1982 definió fractal como un conxuntu que la so dimensión de Hausdorff-Besicovitch ye puramente mayor que la so dimensión topolóxica. Él mesmu reconoció que la so definición nun yera lo suficientemente xeneral.
• D. Sullivan, que definió matemáticamente una de les categoríes de fractales cola so definición de conxuntu cuasiautosimilar que faía usu del conceutu de cuasi-isometría.

Puede definise en términos del mínimu númberu ${\displaystyle N(\epsilon )}$ de boles de radiu ${\displaystyle \epsilon }$ necesaries p'anubrir el conxuntu, como la llende:

${\displaystyle D_{F}=\lim _{\epsilon \to 0}{\ln N(\epsilon ) \over \ln(1/\epsilon )}}$

O en función del recuentu del númberu de caxes ${\displaystyle N_{n}}$ d'una cuadrícula d'anchor ${\displaystyle 1/2^{n}}$ que intersecan al conxuntu:

${\displaystyle D_{F}=\lim _{n\to \infty }{\ln N_{n} \over \ln(2^{n})}}$

Demuéstrase que dambes definiciones son equivalentes, y que son invariantes so isometrías.^[6]

D'una definición más complexa, la dimensión de Hausdorff-Besicovitch apúrrenos un númberu ${\displaystyle D_{H}(A)}$, tamién invariante so isometrías, que la so rellación cola dimensión fractal ${\displaystyle D_{F}(A)}$ ye la siguiente:

${\displaystyle 0\leq D_{H}(A)\leq D_{F}(A)}$

Esto dexa estremar en dellos casos ente conxuntos cola mesma dimensión fractal.

Un sistema iterativu de funciones (IFS) ye un conxuntu de funciones contractivas definíes sobre un subconxuntu de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Cuando nun hai solapamiento ente les imáxenes de cada función, demuéstrase que ${\displaystyle D_{F}=D_{H}}$ y que dambes pueden calculase como solución de la ecuación:

${\displaystyle c_{1}^{D}+c_{2}^{D}+\dots +c_{k}^{D}=1}$

onde c_i designa'l factor de contraición de cada aplicación contractiva del IFS.

Utilizáronse téuniques de fractales na compresión de datos y en diverses disciplines científiques.

Estruyir la imaxe d'un oxetu autosemejante como'l felechu de la figura nun ye difícil: faciendo usu del teorema del colax, tenemos d'atopar un IFS, conxuntu de tresformamientos que lleva la figura completa (en negru) en caúna de los sos partes autosemejantes (colloráu, azul celeste y azul marino). La información sobre la imaxe va quedar codificada nel IFS, y l'aplicación repitida de diches tresformamientos dexa llograr la imaxe procesada en cuestión.

Pero l'enfoque anterior plantega problemes con munches imáxenes reales: nun esperamos, por casu, que la imaxe d'un gatu presente pequeños gatinos aburuyaos sobre sí mesmu. P'arreglalo, en 1989 Arnaud Jacquin creó l'esquema de sistemes de funciones iteradas particionadas: nél subdivídese la imaxe por aciu una partición y pa cada rexón resultante búscase otra rexón similar a la primera so los tresformamientos apropiaos.^[7]

L'esquema resultante ye un sistema de compresión con perdes, de tiempu asimétricu. Lamentablemente entá se tarda enforma n'atopar los tresformamientos que definen la imaxe. Sicasí, una vegada atopaes, la descodificación ye bien rápida. La compresión, anque dependa de munchos factores, suel ser equiparable a la compresión JPEG, colo cual el factor tiempu resulta determinante pa decantase por unu o otru sistema.

Les formes fractales, les formes na que les partes asemeyar al tou, tán presentes na materia biolóxico, xunto coles simetríes (les formes básiques que solo precisen la metá d'información xenética) y les espirales (les formes de crecedera y desenvolvimientu de la forma básica escontra la ocupación d'un mayor espaciu), como les formes más sofisticaes nel desenvolvimientu evolutivu de la materia biolóxico en cuantes que se presenten en procesos nos que se producen saltos cualitativos nes formes biolóxiques, ye dicir faen posible catástrofes (fechos estraordinarios) que dan llugar a nueves realidaes más complexes, como les fueyes que presenten una morfoloxía similar a la pequeña caña de la que formen parte que, de la mesma, presenten una forma similar a la caña, que de la mesma ye similar a la forma del árbol, y sicasí cualitativamente nun ye lo mesmo una fueya (forma biolóxica simple), qu'una caña o un árbol (forma biolóxica complexa).

Pero amás les formes fractales non solo preséntense nes formes espaciales de los oxetos sinón que se reparen na mesma dinámica evolutiva de los sistemes complexos (ver teoría del caos). Dinámica que consta de ciclos (nos que partiendo d'una realidá establecida simple acaben na creación d'una nueva realidá más complexa) que de la mesma formen parte de ciclos más complexos los cualos formen parte del desenvolvimientu de la dinámica d'otru gran ciclu. Les evoluciones dinámiques de toos estos ciclos presenten les semeyances propies de los sistemes caóticos.

La música puede contener formes fractales. Delles obres clásiques de Beethoven, Bach y Mozart son exemplos representativos según reveló un estudiu.^{[ensin referencies]} El métodu que siguieron esti compositores, yá seya de manera intencional o non, pa integrar fractales y matemátiques yera por aciu una analoxía ente una dimensión fractal y el númberu y la disposición de les distintes notes d'una obra o pieza.^{[ensin referencies]}

Úsense tantu na composición harmónico y rítmico d'una melodía como na síntesis de soníos. Esto debe al usu de lo qu'en composición se llamen "micromodos", o pequeños grupos de trés notes, a partir de los cualos unu puede trabayalos de manera horizontal (melódica), o vertical (harmónica). De la mesma, el ritmu puede ser trabayáu en socesiones temporales específiques, que son determinaes por socesión de fractales.

Per otra parte, les litografíes del artista holandés Maurits Cornelis Escher (1898-1972) desenvolvieron con frecuencia estructures matemátiques complexes y avanzaes.

Con programes informáticos como Apophysis, Sterling o Ultra Fractal pueden faese imáxenes con téuniques diverses; camudando parámetros, xeometría de triángulos o con tresformamientos aleatorios.

• Fractales por dimensión de Hausdorff
• Desarrollu de fractales por aciu el métodu de Mandelbrot
• Caos y fractales
• ¿Cuántu mide la mariña de Gran Bretaña?
• Grafo simétricu
• Dimensión
• Paisaxe fractal
• Recursividad
• Sistema de funciones iteradas
• Sistema-L
• Cosmoloxía Fractal
• Relatividá d'Escala

• Fractovía Información sobre fractales.

• Wikimedia Commons tien conteníu multimedia tocante a fractales.

Arte fractal

• Galeríes d'arte fractal nel Open directory Project
• Música fractal nel Open Directory Project (enllaz rotu disponible n'Internet Archive; ver l'historial y la última versión).
• Coleiciones d'Arte Fractal
• FRACTALJMB BLOGUE bien interesante, ónde s'amuesen una gran variedá de fractales.

Tutoriales

• 3 Senciellos métodos pa faer un fractal

Llibros con llicencia CC

• Música fractal: el soníu del caos Introducción xeneral sobre fractales y aplicación a la composición automática de música
• Codificación fractal d'imáxenes Analiza l'aplicación de téuniques fractales a la compresión con perdes d'imáxenes

Software

• Esplorador FF (enllaz rotu disponible n'Internet Archive; ver l'historial y la última versión). Esplorador interactivo de fractales freeware, para Windows
• Borlandia Applets en java que xeneren Fractales interactivos
• Apophysis Archiváu 2018-03-06 en Wayback Machine Programa de códigu abiertu pa la creación de fractales (n'inglés)
• IFS Illusions Archiváu 2017-02-06 en Wayback Machine xenerador IFS freeware, para Windows
• FractInt xenerador fractal freeware, para DOS, Windows y esiste un porte a Linux Archiváu 2006-12-05 en Wayback Machine disponible. (n'inglés)
• XaoS zoomer interactivo de fractales pa linux.
• Ambura programa de diseñu de fractales 3D donationware.
• WMANJUL v2 Archiváu 2017-07-02 en Wayback Machine Fractal de Mandelbrot (n'inglés).
• FractNep Esplorador interactivo de fractales (Mandelbrot, Julia, Newton), freeware, para Windows.

Videos

• Videos de fractales en Commons
• Videu Mandelbox(Exemplu de 3D fractal)