2i

• ${\displaystyle 2i}$ 不属于实数，是一个纯虚数，同时也是复数位于复数平面，其实部为0、虚部为2^[12]，辐角为90度（${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ 弧度）^[13]，其也能表达为${\displaystyle 2e^{i\pi /2}}$ ^[14]:7或${\displaystyle 2\left(\cos {\frac {\pi }{2}}+i\sin {\frac {\pi }{2}}\right)}$ ^[15]。
• ${\displaystyle 2i}$ 是一个高斯整数^[16][17][18]，高斯整数分解为${\displaystyle (1+i)^{2}}$ ^[19]:711，或${\displaystyle (1+i)(1+i)}$ ^[20]:433，其中，1+i为2i的高斯质因数。^{[19]:711[21][22]:247}
• 所有复数的可以表达为${\displaystyle 2i}$ 之幂的线性组合。^[23]换句话说若进位制以${\displaystyle 2i}$ 为底数，则可独一无二地表示全体复数^[24]。该进制称为2i进制，由高德纳于1955年发现。^[25]
• 复数的虚数部可以定义为复数与其共轭复数之差除以${\displaystyle 2i}$ 的商，^[26]换言之，则${\displaystyle z-z^{*}=2i\,Im(z)}$ 。^[2]:32

  ${\displaystyle Im(z)={\frac {z-z^{*}}{2i}}}$ 

• 正弦函数可以定义为纯虚指数函数与其倒数之差除以${\displaystyle 2i}$ 的商。^{[27][28]:41[2]:64}

  ${\displaystyle \sin(z)={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}}$ 

• ${\displaystyle 2i}$ 等于最小的质数和虚数单位的积，即${\displaystyle p_{_{1}}\times i=2i}$ ^[15]，其中${\displaystyle p_{n}}$ 为第${\displaystyle n}$ 个质数。
• 虚数单位和虚数单位的倒数相差${\displaystyle 2i}$ 。
• 任意数与${\displaystyle 2i}$ 相乘的意义为模放大两倍并在复平面上以原点为中心逆时针旋转90度。^{[14]:7[2]:20-21}

${\displaystyle 2i}$ 的前几次幂为1、 2i、 −4、 −8i、 16、 32i、 −64...^[29]，其会在实部和虚部交错变换，其单位会在1、i、−1、−i中变化。其中，实数项为−4的幂^[30] ，虚数的正值项为16的幂的2倍^[31] 、虚数的负值项为16的幂的−8倍^[32]，因此这种特性使得${\displaystyle 2i}$ 作为底数可以不将复数表达为实部与虚部就能表示全体复数，^[29]并且有研究以此特性设计复数运算电路^[33]。

${\displaystyle 2i}$ 的平方根正好是实数单位与虚数单位的和，即${\displaystyle {\sqrt {2i}}=1+i}$ ^[28]:3，反过来说${\displaystyle 2i}$ 正好是实数单位与虚数单位相加的平方，${\displaystyle (1+i)^{2}=2i}$ ^[34][35]:388。若考虑平方根的正负，则1+i和−1−i都是${\displaystyle 2i}$ 的平方根。

${\displaystyle -2i}$ 是${\displaystyle 2i}$ 的相反数，其平方根曾提议作为复数进位制的底数。^[36]

${\displaystyle 1+i}$ 是${\displaystyle 2i}$ 的平方根^[28]，同时也是高斯质数^[37]。由于其幂次为1+i、 2i、 −2+2i、 −4、 −4−4i、 −8i...，在正负、虚实交替变化，因此若作为进位制底数可以表达全体复数。但其组合变化相较于${\displaystyle -1+i}$ 为底数的进位制，${\displaystyle -1+i}$ 做为底数更为适合。^[38]亦有另外一个数也为${\displaystyle 2i}$ 的平方根，即${\displaystyle -1-i}$ ，但这个数较少出现于探讨进位制底数的文章中，也没有其他特殊的性质。此外，${\displaystyle -1-i}$ 也不是第一象限高斯质数，因此鲜少被拿出来讨论。

−1+i

−1+i
命名
名称	−1+i
性质
高斯整数分解	${\displaystyle }$${\displaystyle i\times \left(1+i\right)}$
绝对值	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
表示方式
值	${\displaystyle -1+i}$
代数形式	${\displaystyle {\sqrt {-2i}}}$
十进制	−1+i
2i进制	113.2
查 论 编

 

${\displaystyle -1+i}$ 是${\displaystyle -2i}$ 的平方根。距离原点${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ 单位，辐角为135度（${\displaystyle {\frac {3\pi }{4}}}$ 弧度^[39]），其实部为负一、虚部为1。${\displaystyle -1+i}$ 不是高斯质数，其可以分解为i和1+i的乘积。由于其幂次为−1+i、 −2i、 2+2i、 −4、 4−4i、 8i...，其在正负、虚实交替变化，因此其可以构建一个以${\displaystyle -1+i}$ 为底数并用1和0表达复数的进位制^[36][40]。其他复数虽然也可以，如${\displaystyle 1-i}$ ，但对高斯整数而言，以${\displaystyle 1-i}$ 为底并不是一个优良的选择。^[38]虽然${\displaystyle 1-i}$ 也是${\displaystyle -2i}$ 的平方根，但因为上述原因，所以${\displaystyle 1-i}$ 这个数字通不会用来作为进制的底数来使用。

除了${\displaystyle -1+i}$ 外，其他${\displaystyle -n+i}$ 形式的复数也能作为进位制底数，但其在表达数的范围不同，以${\displaystyle -1+i}$ 为例，其表达的范围较为均匀，而${\displaystyle -2+i}$ 、${\displaystyle -3+i}$ 等则会越来越狭长。^[41]

−1+3i	3i	1+3i
−1+2i	2i	1+2i
−1+i	i	1+i
与${\displaystyle 2i}$ 相邻的高斯整数示意图

 “3i”重定向至此。关于与本条目同名之其他主题，请见“3I”。

${\displaystyle 3i}$ 是在虚数轴正向距离原点3个单位的纯虚数，是虚数单位的三倍，同时也是负九（−9）的平方根，与纯虚数2i和4i相邻、并与高斯整数−1+3i和1+3i相邻。

${\displaystyle 3i}$ 的为虚数单位与质数3的乘积，其中，3也是高斯质数，因此${\displaystyle 3i}$ 的高斯整数分解为${\displaystyle }$${\displaystyle i\times 3}$ 。

${\displaystyle -1+2i}$ 是在虚数轴正向距离原点${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ 个单位的高斯整数，其实部为负一、虚部为2i，与纯虚数2i相邻、并与高斯整数−1+3i、−1+i和−2+2i相邻。

${\displaystyle -1+2i}$ 不是高斯质数，其具有高斯质因数${\displaystyle 2+i}$ 。${\displaystyle -1+2i}$ 的高斯整数分解为${\displaystyle }$${\displaystyle i\times \left(2+i\right)}$ 。

${\displaystyle 1+2i}$ 是一个高斯质数 ^[37]，在虚数轴正向距离原点${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ 个单位，其实部为一、虚部为2i，与纯虚数2i相邻、并与高斯整数1+3i、1+i和3+2i相邻。

• 虚数单位
• -2