2i

• ${\displaystyle 2i}$ 不屬於實數，是一個純虛數，同時也是複數位於複數平面，其實部為0、虛部為2^[12]，輻角為90度（${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ 弧度）^[13]，其也能表達為${\displaystyle 2e^{i\pi /2}}$ ^[14]:7或${\displaystyle 2\left(\cos {\frac {\pi }{2}}+i\sin {\frac {\pi }{2}}\right)}$ ^[15]。
• ${\displaystyle 2i}$ 是一個高斯整數^[16][17][18]，高斯整數分解為${\displaystyle (1+i)^{2}}$ ^[19]:711，或${\displaystyle (1+i)(1+i)}$ ^[20]:433，其中，1+i為2i的高斯質因數。^{[19]:711[21][22]:247}
• 所有複數的可以表達為${\displaystyle 2i}$ 之冪的線性組合。^[23]換句話說若進位制以${\displaystyle 2i}$ 為底數，則可獨一無二地表示全體複數^[24]。該進制稱為2i進制，由高德納於1955年發現。^[25]
• 複數的虛數部可以定義為複數與其共軛複數之差除以${\displaystyle 2i}$ 的商，^[26]換言之，則${\displaystyle z-z^{*}=2i\,Im(z)}$ 。^[2]:32

  ${\displaystyle Im(z)={\frac {z-z^{*}}{2i}}}$ 

• 正弦函數可以定義為純虛指數函數與其倒數之差除以${\displaystyle 2i}$ 的商。^{[27][28]:41[2]:64}

  ${\displaystyle \sin(z)={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}}$ 

• ${\displaystyle 2i}$ 等於最小的質數和虛數單位的積，即${\displaystyle p_{_{1}}\times i=2i}$ ^[15]，其中${\displaystyle p_{n}}$ 為第${\displaystyle n}$ 個質數。
• 虛數單位和虛數單位的倒數相差${\displaystyle 2i}$ 。
• 任意數與${\displaystyle 2i}$ 相乘的意義為模放大兩倍並在複平面上以原點為中心逆時針旋轉90度。^{[14]:7[2]:20-21}

${\displaystyle 2i}$ 的前幾次冪為1、 2i、 −4、 −8i、 16、 32i、 −64...^[29]，其會在實部和虛部交錯變換，其單位會在1、i、−1、−i中變化。其中，實數項為−4的冪^[30] ，虛數的正值項為16的冪的2倍^[31] 、虛數的負值項為16的冪的−8倍^[32]，因此這種特性使得${\displaystyle 2i}$ 作為底數可以不將複數表達為實部與虛部就能表示全體複數，^[29]並且有研究以此特性設計複數運算電路^[33]。

${\displaystyle 2i}$ 的平方根正好是實數單位與虛數單位的和，即${\displaystyle {\sqrt {2i}}=1+i}$ ^[28]:3，反過來說${\displaystyle 2i}$ 正好是實數單位與虛數單位相加的平方，${\displaystyle (1+i)^{2}=2i}$ ^[34][35]:388。若考慮平方根的正負，則1+i和−1−i都是${\displaystyle 2i}$ 的平方根。

${\displaystyle -2i}$ 是${\displaystyle 2i}$ 的相反數，其平方根曾提議作為複數進位制的底數。^[36]

${\displaystyle 1+i}$ 是${\displaystyle 2i}$ 的平方根^[28]，同時也是高斯質數^[37]。由於其冪次為1+i、 2i、 −2+2i、 −4、 −4−4i、 −8i...，在正負、虛實交替變化，因此若作為進位制底數可以表達全體複數。但其組合變化相較於${\displaystyle -1+i}$ 為底數的進位制，${\displaystyle -1+i}$ 做為底數更為適合。^[38]亦有另外一個數也為${\displaystyle 2i}$ 的平方根，即${\displaystyle -1-i}$ ，但這個數較少出現於探討進位制底數的文章中，也沒有其他特殊的性質。此外，${\displaystyle -1-i}$ 也不是第一象限高斯質數，因此鮮少被拿出來討論。

−1+i

−1+i
命名
名稱	−1+i
性質
高斯整數分解	${\displaystyle }$${\displaystyle i\times \left(1+i\right)}$
絕對值	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
表示方式
值	${\displaystyle -1+i}$
代數形式	${\displaystyle {\sqrt {-2i}}}$
十进制	−1+i
2i进制	113.2
查 论 编

 

${\displaystyle -1+i}$ 是${\displaystyle -2i}$ 的平方根。距離原點${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ 單位，輻角為135度（${\displaystyle {\frac {3\pi }{4}}}$ 弧度^[39]），其實部為負一、虛部為1。${\displaystyle -1+i}$ 不是高斯質數，其可以分解為i和1+i的乘積。由於其冪次為−1+i、 −2i、 2+2i、 −4、 4−4i、 8i...，其在正負、虛實交替變化，因此其可以構建一個以${\displaystyle -1+i}$ 為底數並用1和0表達複數的進位制^[36][40]。其他複數雖然也可以，如${\displaystyle 1-i}$ ，但對高斯整數而言，以${\displaystyle 1-i}$ 為底並不是一個優良的選擇。^[38]雖然${\displaystyle 1-i}$ 也是${\displaystyle -2i}$ 的平方根，但因為上述原因，所以${\displaystyle 1-i}$ 這個數字通不會用來作為進制的底數來使用。

除了${\displaystyle -1+i}$ 外，其他${\displaystyle -n+i}$ 形式的複數也能作為進位制底數，但其在表達數的範圍不同，以${\displaystyle -1+i}$ 為例，其表達的範圍較為均勻，而${\displaystyle -2+i}$ 、${\displaystyle -3+i}$ 等則會越來越狹長。^[41]

−1+3i	3i	1+3i
−1+2i	2i	1+2i
−1+i	i	1+i
與${\displaystyle 2i}$ 相鄰的高斯整數示意圖

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${\displaystyle 3i}$ 是在虛數軸正向距離原點3個單位的純虛數，是虛數單位的三倍，同時也是負九（−9）的平方根，與純虛數2i和4i相鄰、並與高斯整數−1+3i和1+3i相鄰。

${\displaystyle 3i}$ 的為虛數單位與質數3的乘積，其中，3也是高斯質數，因此${\displaystyle 3i}$ 的高斯整數分解為${\displaystyle }$${\displaystyle i\times 3}$ 。

${\displaystyle -1+2i}$ 是在虛數軸正向距離原點${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ 個單位的高斯整數，其實部為負一、虛部為2i，與純虛數2i相鄰、並與高斯整數−1+3i、−1+i和−2+2i相鄰。

${\displaystyle -1+2i}$ 不是高斯質數，其具有高斯質因數${\displaystyle 2+i}$ 。${\displaystyle -1+2i}$ 的高斯整數分解為${\displaystyle }$${\displaystyle i\times \left(2+i\right)}$ 。

${\displaystyle 1+2i}$ 是一個高斯質數 ^[37]，在虛數軸正向距離原點${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ 個單位，其實部為一、虛部為2i，與純虛數2i相鄰、並與高斯整數1+3i、1+i和3+2i相鄰。

• 虛數單位
• -2